Elementos de Teoria da Plasticidade

Plasticidade descreve o comportamento de um material que permanece deformado permanentemente após a remoção de uma força externa. Muitas substâncias, como argila ou metais dúcteis, tornam-se plásticas quando a tensão ultrapassa um determinado limite. Isso difere dos materiais frágeis, que geralmente fraturam em vez de se alongarem quando as forças atingem um limite. Notavelmente, enquanto a fratura é geralmente induzida por tensões normais que separam o material, a deformação plástica é impulsionada principalmente por tensões de cisalhamento que deslizam as camadas do material umas sobre as outras.

Historicamente, os engenheiros estudavam a plasticidade principalmente para garantir que as estruturas permanecessem elásticas e retornassem à sua forma original. Embora prever o início da plasticidade seja simples se um corpo está sendo tracionado em apenas uma direção, as estruturas do mundo real enfrentam tensões complexas em muitas direções ao mesmo tempo. Precisamos da teoria da plasticidade para determinar exatamente quando e onde as partes de um material sob carregamento complexo começarão a escoar e se tornar plásticas.

Além disso, ao observar um metal dúctil típico, a zona elástica é muito pequena em comparação com o quanto o material pode se alongar antes de se romper. Os engenheiros perceberam que se esforçar para manter o material estritamente na zona elástica desperdiça grande parte de seu potencial de suporte de carga e absorção de energia. Portanto, o design moderno utiliza a teoria da plasticidade para acessar esse potencial com segurança.

Por que os engenheiros precisam da teoria da plasticidade

Os engenheiros precisam da teoria da plasticidade por três razões principais: primeiro, para calcular precisamente quando os materiais irão escoar sob forças complexas e multidirecionais; segundo, para projetar estruturas mais seguras que possam absorver enorme energia durante eventos extremos, como colisões de carros ou terremotos, sem colapsar; e terceiro, para simular processos de fabricação onde o objetivo é remodelar permanentemente o metal.

Por que modelar o comportamento plástico é muito mais complicado do que o comportamento elástico

Modelar e entender a deformação plástica é significativamente mais complexo do que a elasticidade linear por várias razões:

1. Não linearidade: A deformação plástica é inerentemente não linear. Na matemática e na física, sistemas não lineares são geralmente mais difíceis de resolver do que os lineares, assim como as equações diferenciais não lineares são muito mais difíceis de resolver do que as equações diferenciais lineares. Embora existam métodos estabelecidos para resolver sistemas de equações lineares, não existe um método universal para equações não lineares.
2. Dependência do caminho: Na elasticidade linear, a tensão é determinada unicamente pela deformação atual. No entanto, na plasticidade, um único estado de deformação pode estar associado a vários valores de tensão, dependendo do histórico de carregamento. Como o comportamento do material é dependente do caminho, não podemos simplesmente relacionar a tensão total à deformação total; em vez disso, devemos relacionar incrementos de tensão a incrementos de deformação.
3. Variabilidade constitutiva: O comportamento plástico varia fundamentalmente de um material para outro. Além disso, vários parâmetros, como temperatura, taxa de carregamento e tamanho de grão, podem alterar fundamentalmente o comportamento plástico de um material. Em contraste, a elasticidade linear é uniforme entre os materiais, diferindo apenas por suas constantes de complacência (a inclinação da curva tensão-deformação).
4. Irreversibilidade e dissipação de energia: A deformação elástica é um processo conservativo; a energia armazenada no material é essencialmente uma energia potencial que é totalmente recuperável no descarregamento. A deformação plástica, no entanto, é dissipativa. A energia é perdida permanentemente (principalmente convertida em calor) e não pode ser recuperada. Isso significa que a modelagem plástica deve satisfazer leis termodinâmicas estritas para garantir que o modelo seja fisicamente válido, adicionando uma camada de complexidade termodinâmica que não está presente na elasticidade.
5. Não linearidade geométrica e grandes deformações: Na elasticidade linear, as deformações são consideradas infinitesimais. Isso permite grandes simplificações: o equilíbrio é calculado na forma original e todas as definições de tensão/deformação essencialmente coincidem. Na plasticidade, essas suposições podem falhar devido a grandes alongamentos e rotações, introduzindo duas camadas de complexidade:
   • Distinção de configurações: Como a geometria muda significativamente, não podemos assumir uma forma fixa. Devemos distinguir estritamente entre a configuração de referência (não deformada) e a configuração atual (deformada), e impor o equilíbrio em um corpo que se move e se deforma continuamente.
   • Multiplicidade de medidas de tensão e deformação: Enquanto uma única definição é suficiente para pequenas deformações, grandes deformações exigem medidas específicas para garantir precisão física e balanço de energia (conjugação de trabalho):
     • Tensão de Cauchy: Definida na configuração atual (força por área atual).
     • Tensões de Piola-Kirchhoff: Mapeadas de volta para a configuração de referência. A 1ª Piola-Kirchhoff relaciona a força atual à área original, enquanto a 2ª Piola-Kirchhoff transforma o próprio vetor de força para levar em conta a rotação do material.
     • Conjugação: Cada medida de tensão deve ser emparelhada com uma taxa de deformação matematicamente correspondente para garantir que o cálculo do trabalho interno esteja correto.