Éléments de théorie de la plasticité

Plasticité décrit le comportement d'un matériau qui reste déformé de façon permanente après le retrait d'une force extérieure. De nombreuses substances, comme l'argile ou les métaux ductiles, deviennent plastiques lorsque la contrainte dépasse un certain seuil. Cela diffère des matériaux fragiles, qui se fracturent généralement plutôt que de s'étirer lorsque les forces atteignent une limite. Notamment, tandis que la rupture est généralement induite par des contraintes normales qui séparent le matériau, la déformation plastique est principalement entraînée par des contraintes de cisaillement qui font glisser les couches de matériau les unes sur les autres.

Historiquement, les ingénieurs étudiaient la plasticité principalement pour garantir que les structures restent élastiques et reprennent leur forme originale. Bien que prédire le début de la plasticité soit simple si un corps est tiré dans une seule direction, les structures réelles sont soumises à des contraintes complexes dans de nombreuses directions à la fois. Nous avons besoin de la théorie de la plasticité pour déterminer exactement quand et où les parties d'un matériau soumis à un chargement complexe commenceront à céder et à devenir plastiques.

En outre, en regardant un métal ductile typique, la zone élastique est très petite par rapport à la capacité d'étirement du matériau avant rupture. Les ingénieurs ont réalisé que chercher à maintenir le matériau strictement dans la zone élastique gaspille une grande partie de son potentiel de portance et d'absorption d'énergie. Par conséquent, la conception moderne utilise la théorie de la plasticité pour accéder de manière sécurisée à ce potentiel.

Pourquoi les ingénieurs ont besoin de la théorie de la plasticité

Les ingénieurs ont besoin de la théorie de la plasticité pour trois raisons principales : premièrement, calculer précisément quand les matériaux cèderont sous des forces complexes et multidirectionnelles ; deuxièmement, concevoir des structures plus sûres capables d'absorber une énergie massive lors d'événements extrêmes comme les accidents de voiture ou les tremblements de terre sans s'effondrer ; et troisièmement, simuler les processus de fabrication où le but est de remodeler le métal de manière permanente.

Pourquoi modéliser le comportement plastique est bien plus compliqué que le comportement élastique

La modélisation et la compréhension de la déformation plastique sont significativement plus complexes que l'élasticité linéaire pour plusieurs raisons :

1. Non-linéarité : La déformation plastique est intrinsèquement non linéaire. En mathématiques et en physique, les systèmes non linéaires sont généralement plus difficiles à résoudre que les systèmes linéaires, de la même manière que les équations différentielles non linéaires sont bien plus difficiles à résoudre que les équations différentielles linéaires. Alors qu'il existe des méthodes établies pour résoudre les systèmes d'équations linéaires, il n'existe pas de méthode universelle pour les équations non linéaires.
2. Dépendance au chemin : En élasticité linéaire, la contrainte est déterminée de manière unique par la déformation actuelle. Cependant, en plasticité, un même état de déformation peut être associé à différentes valeurs de contrainte selon l'historique de chargement. Parce que le comportement du matériau dépend du chemin parcouru, nous ne pouvons pas simplement relier la contrainte totale à la déformation totale ; à la place, nous devons relier les incréments de contrainte aux incréments de déformation.
3. Variabilité constitutive : Le comportement plastique varie fondamentalement d'un matériau à l'autre. De plus, divers paramètres, tels que la température, la vitesse de chargement et la taille des grains, peuvent modifier fondamentalement le comportement plastique d'un matériau. En revanche, l'élasticité linéaire est uniforme d'un matériau à l'autre, ne différant que par leurs constantes de souplesse (la pente de la courbe contrainte-déformation).
4. Irréversibilité et dissipation d'énergie : La déformation élastique est un processus conservatif ; l'énergie stockée dans le matériau est essentiellement une énergie potentielle entièrement récupérable lors de la décharge. La déformation plastique, en revanche, est dissipative. L'énergie est définitivement perdue (principalement convertie en chaleur) et ne peut pas être récupérée. Cela signifie que la modélisation plastique doit satisfaire des lois thermodynamiques strictes pour garantir que le modèle est physiquement valide, ajoutant une couche de complexité thermodynamique absente de l'élasticité.
5. Non-linéarité géométrique et grandes déformations : En élasticité linéaire, les déformations sont supposées infinitésimales. Cela permet des simplifications majeures : l'équilibre est calculé sur la forme d'origine, et toutes les définitions de contrainte/déformation coïncident essentiellement. En plasticité, ces hypothèses peuvent s'effondrer en raison de grands étirements et rotations, introduisant deux couches de complexité :
   • Distinction des configurations : Parce que la géométrie change de manière significative, nous ne pouvons pas supposer une forme fixe. Nous devons strictement distinguer entre la configuration de référence (non déformée) et la configuration actuelle (déformée), et imposer l'équilibre sur un corps en mouvement et en déformation continus.
   • Multiplicité des mesures de contrainte et de déformation : Alors qu'une seule définition suffit pour les petites déformations, les grandes déformations exigent des mesures spécifiques pour garantir l'exactitude physique et l'équilibre énergétique (travail conjugué) :
     • Contrainte de Cauchy : Définie sur la configuration actuelle (force par unité de surface actuelle).
     • Contraintes de Piola-Kirchhoff : Ramenées à la configuration de référence. La 1ère contrainte de Piola-Kirchhoff relie la force actuelle à la surface d'origine, tandis que la 2ème contrainte de Piola-Kirchhoff transforme le vecteur force lui-même pour tenir compte de la rotation du matériau.
     • Conjugaison : Chaque mesure de contrainte doit être associée à une vitesse de déformation mathématiquement correspondante pour garantir que le calcul du travail interne est correct.