塑性理论基础

塑性描述了材料在移除外力后仍保持永久变形的行为。许多物质，如粘土或延性金属，一旦应力超过某个阈值就会变成塑性。这与脆性材料不同，后者在力达到极限时通常会断裂而不是拉伸。值得注意的是，断裂通常由正应力拉开材料引起，而塑性变形主要由剪切应力使材料层相互滑移驱动。

历史上，工程师研究塑性主要是为了确保结构保持弹性，并恢复其原始形状。虽然预测塑性起始在物体仅受单向拉伸时很简单，但现实中的结构会同时承受多个方向的复杂应力。我们需要塑性理论来精确确定在复杂载荷下材料各部分何时何地开始屈服并转变为塑性。

此外，观察典型的延性金属，其弹性区域与材料在断裂前能拉伸的程度相比非常小。工程师们认识到，力求将材料严格保持在弹性区域会浪费其大量的承载和吸能潜力。因此，现代设计利用塑性理论来安全地利用这种潜力。

为什么工程师需要塑性理论

工程师需要塑性理论主要有三个原因：第一，精确计算材料在复杂多向力作用下何时屈服；第二，设计更安全的结构，使其在汽车碰撞或地震等极端事件中能够吸收巨大能量而不倒塌；第三，模拟以永久重塑金属为目标的制造过程。

为什么塑性行为建模比弹性行为建模复杂得多

塑性变形的建模和理解比线弹性复杂得多，原因如下：

非线性：塑性变形本质上是非线性的。在数学和物理学中，非线性系统通常比线性系统更难求解，就像非线性微分方程比线性微分方程难解得多一样。虽然求解线性方程组有公认的方法，但对于非线性方程却没有这种通用的方法。
路径依赖性：在线弹性中，应力由当前应变唯一确定。然而，在塑性中，同一个应变状态可能对应多种应力值，具体取决于加载历史。由于材料行为与路径相关，我们不能简单地将总应力与总应变联系起来；相反，我们必须将应力增量与应变增量联系起来。
本构可变性：塑性行为因材料而异，存在根本性差异。此外，温度、加载速率和晶粒尺寸等各种参数也会从根本上改变材料的塑性行为。相比之下，线弹性在所有材料中都是统一的，仅通过其柔度常数（应力-应变曲线的斜率）来区分。
不可逆性和能量耗散：弹性变形是一个保守过程；材料中储存的能量本质上是势能，卸载时可完全恢复。然而，塑性变形是耗散的。能量永久损失（大部分转化为热量），无法恢复。这意味着塑性建模必须满足严格的热力学定律，以确保模型在物理上有效，这增加了弹性力学中不存在的热力学复杂性。
几何非线性和大变形：在线弹性中，假定变形是无限小的。这允许进行重大简化：在原形状上计算平衡，所有应力/应变定义基本上一致。在塑性中，由于大拉伸和转动，这些假设可能失效，从而引入了两层复杂性：
- 构型的区分：因为几何形状显著变化，我们不能假设一个固定的形状。我们必须严格区分参考（未变形）构型和当前（变形）构型，并在一个持续运动和变形的物体上强制满足平衡条件。
- 应力和应变度量的多样性：虽然对于小应变，单一定义就足够，但大变形需要特定的度量来确保物理准确性和能量平衡（功共轭性）：
  - 柯西应力：定义在当前构型上（力除以当前面积）。
  - Piola-Kirchhoff应力：映射回参考构型。第一Piola-Kirchhoff应力将当前力与原始面积相关联，而第二Piola-Kirchhoff应力则转换力矢量本身以考虑材料转动。
  - 共轭性：每种应力度量必须与数学上对应的应变率配对，以确保内功计算正确。