مبانی نظریه پلاستیسیته

پلاستیسیته توصیف‌کننده‌ی رفتار ماده‌ای است که پس از حذف نیروی خارجی به‌طور دائمی تغییر شکل می‌دهد. بسیاری از مواد، مانند رس یا فلزات انعطاف‌پذیر، وقتی تنش از آستانه‌ای مشخص عبور کند، پلاستیک می‌شوند. این با مواد ترد تفاوت دارد که معمولاً به‌جای کش‌آمدن در هنگام رسیدن نیرو به حد مجاز، می‌شکنند. قابل توجه است که در حالی که شکست معمولاً توسط تنش‌های عمودی که ماده را از هم جدا می‌کنند القا می‌شود، تغییر شکل پلاستیک عمدتاً توسط تنش‌های برشی که لایه‌های ماده را از روی یکدیگر می‌لغزانند، به پیش رانده می‌شود.

از نظر تاریخی، مهندسان عمدتاً پلاستیسیته را مطالعه می‌کردند تا اطمینان حاصل کنند که سازه‌ها الاستیک باقی می‌مانند و به شکل اولیه‌ی خود بازمی‌گردند. در حالی که پیش‌بینی شروع پلاستیسیته در صورتی که جسم تنها در یک جهت کشیده شود ساده است، سازه‌های دنیای واقعی با تنش‌های پیچیده در جهات مختلف به‌طور هم‌زمان مواجه‌اند. ما به نظریه‌ی پلاستیسیته نیاز داریم تا دقیقاً تعیین کنیم که چه زمانی و در کدام بخش‌های یک ماده تحت بارگذاری پیچیده، شروع به تسلیم و پلاستیک می‌شوند.

علاوه بر این، با نگاه به یک فلز انعطاف‌پذیر معمولی، ناحیه‌ی الاستیک در مقایسه با میزانی که ماده می‌تواند قبل از گسیختگی کشیده شود، بسیار کوچک است. مهندسان دریافتند که تلاش برای نگه‌داشتن ماده صرفاً در ناحیه‌ی الاستیک، بخش بزرگی از ظرفیت باربری و جذب انرژی آن را هدر می‌دهد. بنابراین، طراحی‌های مدرن از نظریه‌ی پلاستیسیته برای دسترسی ایمن به این ظرفیت استفاده می‌کنند.

چرا مهندسان به نظریه‌ی پلاستیسیته نیاز دارند

مهندسان به سه دلیل عمده به نظریه‌ی پلاستیسیته نیاز دارند: اول، برای محاسبه‌ی دقیق زمان تسلیم مواد تحت نیروهای پیچیده و چندجهته؛ دوم، برای طراحی سازه‌های ایمن‌تری که بتوانند انرژی عظیمی را در رویدادهای شدید مانند تصادفات خودرو یا زمین‌لرزه‌ها بدون فروریختن جذب کنند؛ و سوم، برای شبیه‌سازی فرآیندهای تولیدی که در آن‌ها تغییر شکل دائمی فلز هدف است.

چرا مدل‌سازی رفتار پلاستیک بسیار پیچیده‌تر از رفتار الاستیک است

مدل‌سازی و درک تغییر شکل پلاستیک به دلایل متعددی به‌طور قابل توجهی پیچیده‌تر از الاستیسیته‌ی خطی است:

غیرخطی بودن: تغییر شکل پلاستیک ذاتاً غیرخطی است. در ریاضیات و فیزیک، سیستم‌های غیرخطی به‌طور کلی دشوارتر از سیستم‌های خطی حل می‌شوند، بسیار شبیه اینکه معادلات دیفرانسیل غیرخطی بسیار سخت‌تر از معادلات دیفرانسیل خطی حل می‌شوند. در حالی که روش‌های تثبیت‌شده‌ای برای حل دستگاه‌های معادلات خطی وجود دارد، هیچ روش جهانی مشابهی برای معادلات غیرخطی موجود نیست.
وابستگی به مسیر: در الاستیسیته‌ی خطی، تنش به‌طور یکتا توسط کرنش فعلی تعیین می‌شود. اما در پلاستیسیته، یک حالت کرنش مشخص می‌تواند بسته به تاریخچه‌ی بارگذاری، با مقادیر تنش مختلفی همراه باشد. از آنجا که رفتار ماده به مسیر وابسته است، نمی‌توانیم به‌سادگی تنش کل را به کرنش کل مربوط کنیم؛ در عوض، باید افزایش‌های تنش را به افزایش‌های کرنش مربوط سازیم.
تغییرپذیری ساختاری: رفتار پلاستیک از یک ماده به ماده‌ی دیگر اساساً متفاوت است. همچنین پارامترهای مختلفی مانند دما، نرخ بارگذاری و اندازه‌ی دانه می‌توانند رفتار پلاستیک ماده را به‌طور اساسی تغییر دهند. در مقابل، الاستیسیته‌ی خطی در میان مواد یکنواخت است و تنها در ثوابت نرمی آن‌ها (شیب منحنی تنش-کرنش) تفاوت دارد.
برگشت‌ناپذیری و اتلاف انرژی: تغییر شکل الاستیک یک فرآیند محافظه‌کارانه است؛ انرژی ذخیره‌شده در ماده اساساً یک انرژی پتانسیل است که هنگام باربرداری به‌طور کامل بازیابی می‌شود. اما تغییر شکل پلاستیک اتلافی است. انرژی به‌طور دائمی از دست می‌رود (عمدتاً به گرما تبدیل می‌شود) و قابل بازیابی نیست. این بدان معناست که مدل‌سازی پلاستیک باید قوانین سخت‌گیرانه‌ی ترمودینامیکی را برآورده سازد تا اطمینان حاصل شود که مدل از نظر فیزیکی معتبر است، و این لایه‌ای از پیچیدگی ترمودینامیکی را اضافه می‌کند که در الاستیسیته وجود ندارد.
غیرخطی بودن هندسی و تغییر شکل‌های بزرگ: در الاستیسیته‌ی خطی، فرض بر آن است که تغییر شکل‌ها بی‌نهایت کوچک هستند. این امکان ساده‌سازی‌های عمده‌ای را فراهم می‌کند: تعادل بر روی شکل اولیه محاسبه می‌شود، و تمام تعاریف تنش/کرنش اساساً بر هم منطبق‌اند. در پلاستیسیته، این فرضیات ممکن است به دلیل کش‌ها و دوران‌های بزرگ فرو بریزند و دو لایه پیچیدگی را معرفی کنند:
- تمایز پیکربندی‌ها: از آنجا که هندسه به‌طور قابل توجهی تغییر می‌کند، نمی‌توانیم یک شکل ثابت را فرض کنیم. ما باید به‌طور دقیق بین پیکربندی مرجع (تغییر شکل نیافته) و پیکربندی فعلی (تغییر شکل یافته) تمایز قائل شویم و تعادل را بر روی جسمی که به‌طور پیوسته در حال حرکت و تغییر شکل است، اعمال کنیم.
- تعدد معیارهای تنش و کرنش: در حالی که یک تعریف واحد برای کرنش‌های کوچک کافی است، تغییر شکل‌های بزرگ نیازمند معیارهای خاصی برای تضمین دقت فیزیکی و توازن انرژی (هم‌آوایی کار) هستند:
  - تنش کوشی: تعریف‌شده بر روی پیکربندی فعلی (نیرو بر واحد سطح فعلی).
  - تنش‌های پیولا-کیرشهف: نگاشت‌شده به پیکربندی مرجع. تنش پیولا-کیرشهف اول نیروی فعلی را به سطح اولیه مربوط می‌کند، در حالی که تنش پیولا-کیرشهف دوم خود بردار نیرو را برای در نظر گرفتن دوران ماده تبدیل می‌کند.
  - هم‌آوایی: هر معیار تنش باید با یک نرخ کرنش متناظر ریاضیاتی جفت شود تا محاسبه‌ی کار داخلی صحیح باشد.