Teorema de Pitágoras

Sumário

1.1 INTRODUÇÃO
1.2 AULA
1.3 EXEMPLOS
1.4 ILUSTRAÇÃO
- 1.4.1 Horizontes Infinitos na Matemática
EXERCÍCIOS

1.1 INTRODUÇÃO

1.1.1 Explorando o Teorema de Pitágoras: Sua História e Significado

Nesta primeira aula, examinamos um dos teoremas mais importantes da matemática, o teorema de Pitágoras. As raízes históricas do teorema são fascinantes: os primeiros exemplos de identidades como $5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$ já apareceram na matemática suméria. Triplas de números como $(5, 12, 13)$ são chamadas de triplas pitagóricas. O teorema em si é muito mais do que isso. O teorema não apenas lista alguns exemplos como evidência, mas afirma e prova que, para todos os triângulos, a relação $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ é válida se, e somente se, o triângulo for um triângulo retângulo. Sem exagero, o teorema de Pitágoras é um dos mais belos e mais importantes teoremas. Ele aparece de forma sutil em várias outras partes da matemática. Na análise harmônica, por exemplo, ele diz que o quadrado do comprimento de uma função periódica é a soma dos quadrados de seus coeficientes de Fourier. Na teoria da probabilidade, ele diz que se duas variáveis aleatórias $X, Y$ são não correlacionadas, então a variância de $X + Y$ é a soma da variância de $X$ e $Y$ .

**Figura 1.** A imagem aparece em "The story of the greatest nations" (1910) e mostra Pitágoras ensinando matemática.

1.1.2 Redefinindo Vetores

Usamos aqui o teorema também ao introduzir vetores e espaços lineares. A linguagem das matrizes não é apenas uma questão de notação, mas também permite uma abordagem um pouco mais sofisticada ao cálculo vetorial, na qual se distingue entre vetores coluna e vetores linha. Diferentemente dos cursos padrão de análise vetorial, isso é possível ao trabalhar mais próximo da álgebra linear. Tradicionalmente, muitas fontes definem um vetor como uma grandeza com "magnitude" e "direção". Isso é altamente problemático, pois um "filme" se qualifica para essa noção: ele tem uma duração e um diretor. Mas não precisamos zombar disso com um trocadilho: o vetor nulo $0$ é uma grandeza que não se qualificaria como vetor porque o vetor nulo não tem uma direção. Devido a tais problemas, geralmente se define um vetor como uma grandeza definida por dois pontos $A, B$ no espaço, escreve-se $\vec{A B}$ e pensa-se no vetor como uma translação de $A$ para $B$ ou como uma "seta" partindo de $A$ e terminando em $B$ . Agora, tem-se a dificuldade de que dois vetores paralelos de mesmo comprimento são identificados. Na verdade, usam-se classes de equivalência para passar do espaço afim ao espaço linear. O ponto de vista moderno é que se pode anexar um espaço linear de vetores em cada ponto e pensar em $\vec{A B}$ como um vetor anexado ao ponto $A$ . Veremos, por exemplo, o conceito de campo gradiente, que anexa em cada ponto um vetor linha. Campos de força são exemplos.

1.1.3 Fundamentos de Matrizes em Análise de Dados

De qualquer forma, introduzir espaços de matrizes cedo tem vantagens também em uma época em que a análise de dados é reconhecida como uma ferramenta importante. Bancos de dados relacionais são fundamentados no conceito de matrizes. As mais familiares são as planilhas eletrônicas, que são arranjos bidimensionais nos quais os dados são organizados. Mais recentemente, tais conceitos também estão sendo substituídos por estruturas de dados mais sofisticadas, como bancos de dados em grafos. Ainda assim, um grafo também pode ser descrito por matrizes. Dados dois nós $x, y$ da rede, escrever na entrada da matriz $A_{x y}$ indica como eles estão relacionados. No caso mais simples, coloca-se um $1$ se os nós estão conectados e $0$ se não estão conectados. De qualquer forma, os dados são sempre arranjos de grandezas mais básicas. A estrutura de memória de um computador é organizada como um arranjo. Como Alan Turing mostrou, todos os cálculos que formalizamos podem ser feitos em uma fita unidimensional com entradas $0$ e $1$ . Os dispositivos modernos de armazenamento de computador são essencialmente tais fitas de Turing, mas organizados de maneira mais sofisticada, usando partições ou setores, da mesma forma que as matrizes são organizadas com linhas e colunas.

1.2 AULA

1.2.1 Fundamentos de Matrizes

Um arranjo retangular finito $A$ de números reais é chamado de matriz. Se houver $n$ linhas e $m$ colunas em $A$ , ela é chamada de matriz $n \times m$ . Referimo-nos à entrada na $i$ -ésima linha e $j$ -ésima coluna por $A_{i j}$ . Uma matriz $n \times 1$ é um vetor coluna, uma matriz $1 \times n$ é um vetor linha. Uma matriz $1 \times 1$ é chamada de escalar. Dada uma matriz $A$ $n \times p$ e uma matriz $B$ $p \times m$ , a matriz $n \times m$ $A B$ é definida como $(A B)_{i j} = \sum_{k = 1}^{p} A_{i k} B_{k j} .$ É chamado de produto matricial. A transposta de uma matriz $A$ $n \times m$ é a matriz $m \times n$ $A_{i j}^{T} = A_{j i}$ . A transposta de um vetor coluna é um vetor linha.

1.2.2 Espaço Vetorial de Matrizes

Denote por $M (n, m)$ o conjunto das matrizes $n \times m$ . Ele contém a matriz nula $O$ com $O_{i j} = 0$ . No caso $m = 1$ , é o vetor nulo. A adição $A + B$ de duas matrizes em $M (n, m)$ é definida como $(A + B)_{i j} = A_{i j} + B_{i j} .$ A multiplicação por escalar $λ A$ é definida como $(λ A)_{i j} = λ A_{i j}$ se $λ$ é um número real. Essas operações fazem de $M (n, m)$ um espaço vetorial $=$ espaço linear: a adição é associativa, comutativa, com um inverso aditivo único $- A$ satisfazendo $A - A = 0.$ As multiplicações são distributivas: $A (B + C) = A B + A C$ e $λ (A + B) = λ A + λ B$ e $λ (μ A) = (λ μ) A .$

1.2.3 Espaços Euclidianos, Produtos Escalares e Comprimento

O espaço $M (n, 1)$ também é chamado de $ℝ^{n}$ . É o espaço euclidiano $𝒏$ -dimensional. O espaço vetorial $ℝ^{2}$ é o plano e $ℝ^{3}$ é o espaço físico. Esses espaços nos são caros, pois desenhamos no papel e vivemos no espaço. O produto escalar entre dois vetores coluna $v, w \in ℝ^{n}$ é o produto matricial $v \cdot w = v^{T} w .$ Como o produto escalar é um escalar, o produto também é chamado de produto escalar. No produto matricial de duas matrizes $A, B$ , a entrada na posição $(i, j)$ é o produto escalar da $i$ -ésima linha de $A$ com a $j$ -ésima coluna de $B$ . De forma mais geral, o produto escalar entre duas matrizes $n \times m$ arbitrárias pode ser definido por $A \cdot B = tr (A^{T} B),$ onde o traço de uma matriz é a soma de suas entradas diagonais. Isso significa $tr (A^{T} B) = \sum_{i, j} A_{i j} B_{i j} .$ Simplesmente tomamos o produto sobre todas as entradas da matriz e as somamos. O produto escalar é distributivo $(u + v) \cdot w = u \cdot w + v \cdot w$ e comutativo $v \cdot w = w \cdot v .$ Podemos usá-lo para definir o comprimento $| v | = \sqrt{v \cdot v}$ de um vetor ou o comprimento $| A |$ de uma matriz, onde tomamos a raiz quadrada positiva. A soma dos quadrados é zero exatamente se todas as componentes forem zero. O único vetor que satisfaz $| v | = 0$ é, portanto, $v = 0$ .

1.2.4 Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Um resultado chave importante é a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Teorema 1. $| v \cdot w | \leq | v | | w |$

Prova. Se $w = 0$ , não há nada a provar, pois ambos os lados são zero. Se $w \neq 0$ , então podemos dividir ambos os lados da equação por $| w |$ e assim obter que $| w | = 1$ . Defina $a = v \cdot w$ . Agora, \begin{aligned} 0 \leq(v-a w) \cdot(v-a w)&=|v|^{2}-2 a v \cdot w+a^{2}|w|^{2}\\ &=|v|^{2}-2 a^{2}+a^{2}\\ &=|v|^{2}-a^{2} \end{aligned} significando $a^{2} \leq | v |^{2}$ ou $v \cdot w \leq | v | = | v | | w |$ . ◻

1.2.5 Ângulo Entre Dois Vetores

Da desigualdade de Cauchy-Schwarz segue que, para quaisquer dois vetores não nulos $v, w$ , o número $(v \cdot w) / (| v | | w |)$ está no intervalo fechado $[- 1, 1]$ : $- 1 \leq \frac{v \cdot w}{| v | | w |} \leq 1.$ Existe, portanto, um único ângulo $α \in [0, π]$ tal que $\cos (α) = \frac{v \cdot w}{| v | | w |} .$ Se este ângulo entre $v$ e $w$ é igual a $α = π / 2$ , os dois vetores são ortogonais. Se $α = 0$ ou $π$ , os dois vetores são chamados de paralelos. Existe então um número real $λ$ tal que $v = λ w$ . O vetor nulo é considerado tanto ortogonal quanto paralelo a qualquer outro vetor.

1.2.6 Lei dos Cossenos

Dois vetores $v, w$ definem um triângulo (possivelmente degenerado) ${0, v, w}$ no espaço euclidiano $ℝ^{n}$ . A fórmula acima define um ângulo $α$ no ponto $0$ (que pode ser o ângulo nulo). Os comprimentos dos lados $a = | v |, b = | w |, c = | v - w |$ do triângulo satisfazem a seguinte fórmula do cosseno. Também é chamada de identidade de Al-Kashi.

Corolário 1. $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (α)$

Prova. Usamos as definições, bem como a propriedade distributiva (expandir): \begin{aligned} c^{2}&=|v-w|^{2}\\ &=(v-w) \cdot(v-w)\\ &=v \cdot v+w \cdot w-2 v \cdot w\\ &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos (\alpha) \end{aligned} ◻

1.2.7 Compreendendo o Teorema de Pitágoras: Um Caso Especial da Lei dos Cossenos

O caso $α = π / 2$ é particularmente importante. É o teorema de Pitágoras:

Teorema 2. Em um triângulo retângulo, temos $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

1.3 EXEMPLOS

Exemplo 1. O produto escalar $[\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}] \cdot [\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}]$ é $[1, 3, 1] [\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}] = 1 - 6 - 1 = - 6.$ Temos $| v | = \sqrt{11}, | w | = \sqrt{6}$ e ângulo $α = \arccos (- 6 / \sqrt{66})$ .

Exemplo 2. O produto escalar de $A = [\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}]$ e $B = [\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 4 & - 1 \end{array}]$ é $tr (A^{T} B) = 6 + 2 + 8 + (- 1) = 15.$ O comprimento de $A$ é $\sqrt{tr (A^{T} A)} = \sqrt{12}$ , o comprimento de $B$ é $\sqrt{tr (B^{T} B)} = 5$ . O ângulo entre $A$ e $B$ é $α = \arccos \frac{15}{5 \sqrt{12}} = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{6} .$

Exemplo 3. $A = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}]$ e $B = [\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$ são perpendiculares porque $tr (A^{T} B) = 0.$ O ângulo entre eles é $\frac{π}{2}$ . O comprimento de $A$ é $a = \sqrt{10}$ . O comprimento de $B$ é $b = \sqrt{4} = 2$ . O comprimento de $A + B = [\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{array}]$ é $c = \sqrt{14}$ . Confirmamos $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$ Note que $A B \neq B A$ . A multiplicação não é comutativa.

Exemplo 4. Encontre os ângulos em um triângulo de comprimentos $a = 4, b = 5$ e $c = 6$ .

Resposta: Al-Kashi fornece $2 \cdot 4 \cdot 5 \cos (γ) = 4^{2} + 5^{2} - 6^{2} = 5$ de modo que $γ = \arccos (5 / 40) .$ Analogamente $2 \cdot 4 \cdot 6 \cos (β) = 27$ de modo que $γ = \arccos (27 / 48)$ e $2 \cdot 5 \cdot 6 \cos (α) = 45$ de modo que $α = \arccos (45 / 60) .$

1.4 ILUSTRAÇÃO

**Figura 2.** Um paralelepípedo com lados de comprimento inteiro $a, b$ e $c$ tal que $a^{2} +$ $b^{2}, a^{2} + c^{2}, b^{2} + c^{2}$ são quadrados perfeitos é um tijolo de Euler. Suas diagonais laterais são agora números inteiros. O menor $(a, b, c) = (44, 117, 24)$ foi encontrado em 1719. Se também $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ é um quadrado perfeito, o que significa que a diagonal do espaço também é um inteiro, então temos um tijolo de Euler perfeito. Ninguém encontrou um. É um famoso problema em aberto devido a Euler, se existe um.

**Figura 3.** Esta **cena Povray** foi gerada por um método que envolve muito cálculo vetorial e álgebra linear: este **ray tracer** de código aberto faz a luz quicar na cena virtual e calcula as reflexões. Uma câmera então captura os fótons, de forma semelhante a uma câmera real. As texturas são implementadas por imagens, aqui um cartão postal da Harvard Square de 1930. É um arquivo de imagem que codifica três matrizes $1688 \times 1104$ R, G, B, valores de vermelho, verde e azul em cada pixel. A cena é uma "homenagem" ao romance "On Time and the River" de Thomas Wolfe, que foi aluno de graduação em Harvard aqui de 1920 a 1922 (observe o 22!)

1.4.1 Horizontes Infinitos na Matemática

A matemática não é apenas eterna, mas também infinita. Para ilustrar isso, veja o problema dos "Eternos".¹ Defina o grafo babilônico $B$ no qual os inteiros positivos são os vértices e onde $(a, b)$ estão conectados, se $a^{2} + b^{2}$ é um quadrado perfeito. Cada aresta em $B$ pertence a um triplo pitagórico $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Pode-se perguntar que tipo de subgrafos aparecem, quantos componentes conexos existem, se o diâmetro é infinito, ou quão grandes os ciclos fechados podem se tornar. Centenas de perguntas podem ser feitas. Triângulos embutidos $K_{3}$ em $B$ , por exemplo, são tijolos de Euler! Existem tetraedros embutidos $K_{4}$ , cliques de números $(a, b, c, d)$ para os quais cada par é um triplo pitagórico? Isso seria um tesserato euleriano. Existe algum? Antes de provar qualquer coisa, temos um problema de dados. Experimente!

**Figura 4.** À esquerda vemos o maior componente $B_{1000}$ . Um experimento como `ListPlot[Table[GraphDiameter[Babylonian[n]],n,1000]]` fornece o diâmetro do maior componente $B_{1} (n)$ de $B (n)$ . Temos $Diam (B_{1} (5000)) = 18, Diam (B_{1} (10000)) = 29$ .

EXERCÍCIOS

Exercício 1. Use as definições para encontrar o ângulo $α$ entre o vetor $v = [1, 1, 0, - 3, 2, 1]^{T}$ e $w = [1, 1, 9, - 3, - 5, - 3]^{T}$ em $ℝ^{6}$ . Se pensarmos em $v, w$ como dados, o valor $\cos (α)$ é a correlação entre os dois pontos de dados $v$ e $w$ . Se o cosseno for positivo, os dados têm correlação positiva. Se o cosseno for negativo, eles têm correlação negativa.

Exercício 2. Dada a matriz $A = [\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$ .

Encontre $A^{T}$ , depois construa $B = A + A^{T}$ e $C = A - A^{T}$ . A primeira matriz é chamada de simétrica, a segunda é chamada de antissimétrica.
Calcule $A A^{T}$ e $A^{T} A$ . Em seguida, avalie $tr (A^{T} A)$ e $tr (A A^{T})$ .
Por que esses dois números calculados em b) são iguais? Isso é verdade em geral para duas matrizes $n \times m$ que $tr (A^{T} B) = tr (B^{T} A)$ ? (Há uma verificação curta usando a notação de soma).

Exercício 3.

Verifique a desigualdade triangular $| v - w | \leq | v | + | w |$ em geral expandindo $(v - w) \cdot (v - w)$ por FOIL, depois gere um exemplo de dois vetores com coordenadas inteiras no plano $ℝ^{2}$ , onde se pode aplicar isso. Desenhe a situação.
Verifique que se $v$ e $w$ têm o mesmo comprimento, então $(v - w)$ e $(v + w)$ são perpendiculares. Descreva a situação em b) geometricamente em uma frase.

Exercício 4. Escreva o vetor $F = [2, 3, 4]^{T}$ como uma soma de um vetor paralelo a $v = [1, 1, 1]^{T}$ e um vetor perpendicular a $v$ . Se interpretarmos $F$ como uma força atuando sobre uma pipa de massa $1$ e $v$ como a velocidade, então $F \cdot v$ tem uma interpretação como potência, a taxa de variação da energia da pipa. O vetor paralelo a $v$ seria, por Newton, a aceleração da pipa.

Exercício 5.

Encontre dois vetores em $ℝ^{2}$ para os quais todas as entradas das coordenadas são $1$ ou $- 1$ e que são perpendiculares entre si.
Projete quatro vetores em $ℝ^{4}$ para os quais todas as entradas das coordenadas são $1$ ou $- 1$ e que são todos perpendiculares entre si.

Opcional: você pode inventar uma estratégia que permita, por exemplo, encontrar $16$ vetores em $ℝ^{16}$ que sejam todos perpendiculares entre si e ainda tenham entradas em ${- 1, 1}$ ?

Este problema nos foi comunicado por Ajak, que conhece milhares de anos de matemática↩︎