قضیه فیثاغورث

1.1 مقدمه

1.1.1 بررسی قضیه فیثاغورث: تاریخچه و اهمیت آن

در این جلسه نخست، به یکی از مهم‌ترین قضایای ریاضیات، یعنی قضیه فیثاغورث می‌پردازیم. ریشه‌های تاریخی این قضیه شگفت‌انگیز است: نخستین مثال‌هایی از اتحادهایی مانند $5^2+{12}^2={13}^2$ پیش از این در ریاضیات سومری پدیدار شده بود. سه‌تایی‌های اعدادی مانند $(5,12,13)$ را سه‌تایی‌های فیثاغورثی می‌نامند. خود قضیه بسیار فراتر از این است. این قضیه نه‌تنها برای اثبات چند مثال انگشت‌شمار فهرست نمی‌کند، بلکه بیان و اثبات می‌کند که برای همه مثلث‌ها، رابطه $a^2+b^2=c^2$ برقرار است اگر و تنها اگر مثلث قائم‌الزاویه باشد. بدون اغراق، قضیه فیثاغورث یکی از زیباترین و مهم‌ترین قضایا است. این قضیه در بخش‌های گوناگون دیگری از ریاضیات نیز حضور چشمگیری دارد. برای نمونه در آنالیز هارمونیک، بیان می‌کند که مربع طول یک تابع متناوب برابر است با مجموع مربعات ضرایب فوریه‌اش. در نظریه احتمال، این قضیه می‌گوید که اگر دو متغیر تصادفی $X,Y$ ناهمبسته باشند، آنگاه واریانس $X+Y$ برابر است با مجموع واریانس $X$ و واریانس $Y$.

1.1.2 تعریف مجدد بردارها

ما در اینجا از این قضیه همچنین هنگام معرفی بردارها و فضاهای خطی استفاده می‌کنیم. زبان ماتریس‌ها تنها یک موضوع نشانه‌گذاری نیست، بلکه رهیافتی اندکی پیچیده‌تر به حساب بردارها را ممکن می‌سازد که در آن میان بردارهای ستونی و بردارهای سطری تمایز قائل می‌شویم. برخلاف درس‌های استاندارد آنالیز برداری، این امر زمانی که به جبر خطی نزدیک‌تر کار می‌کنیم امکان‌پذیر است. به طور سنتی، بسیاری از منابع یک بردار را کمیتی دارای «بزرگی» و «جهت» تعریف می‌کنند. این موضوع بسیار مسئله‌ساز است زیرا یک «فیلم» هم واجد این مفهوم است: طول دارد و کارگردان (director) هم دارد. اما نیازی نیست این را با یک جناس به سخره بگیریم: بردار صفر $0$ کمیتی است که به عنوان بردار واجد شرایط نیست، زیرا بردار صفر جهتی ندارد. به خاطر چنین مشکلاتی، معمولاً یک بردار را کمیتی تعریف می‌کنند که با دو نقطه $A,B$ در فضا مشخص می‌شود، آن را به صورت $\overrightarrow{AB}$ می‌نویسند و بردار را به‌مثابه یک انتقال از $A$ به $B$ یا «پیکانی» که از $A$ آغاز و به $B$ ختم می‌شود در نظر می‌گیرند. حال، این دشواری پیش می‌آید که دو بردار موازی با طول برابر، یکسان در نظر گرفته می‌شوند. در واقع برای گذار از فضای آفین به فضای خطی از کلاس‌های هم‌ارزی استفاده می‌شود. دیدگاه مدرن این است که می‌توان در هر نقطه یک فضای خطی از بردارها الصاق کرد و $\overrightarrow{AB}$ را به‌عنوان برداری متصل به نقطه $A$ در نظر گرفت. برای مثال مفهوم میدان گرادیان را خواهیم دید که در هر نقطه یک بردار سطری متصل می‌کند. میدان‌های نیرو مثال‌هایی از این دست هستند.

1.1.3 مبانی ماتریس در تحلیل داده‌ها

در هر حال، معرفی زودهنگام فضاهای ماتریسی مزایایی نیز در دورانی دارد که تحلیل داده‌ها به‌عنوان یک ابزار مهم شناخته شده است. پایگاه‌های داده رابطه‌ای بر مفهوم ماتریس‌ها بنا شده‌اند. آشناترین نمونه‌ها صفحات گسترده هستند که آرایه‌هایی دوبعدی می‌باشند که داده‌ها در آن‌ها سازماندهی می‌شوند. اخیراً چنین مفاهیمی با ساختارهای داده پیچیده‌تری مانند پایگاه‌های داده گرافی نیز جایگزین می‌شوند. با این حال، یک گراف را نیز می‌توان با ماتریس‌ها توصیف کرد. با داشتن دو گره $x,y$ از شبکه، نوشتن در درایه ماتریس $A_{xy}$ نشان می‌دهد که چگونه با هم مرتبط هستند. در ساده‌ترین حالت، اگر گره‌ها متصل باشند عدد $1$ و اگر متصل نباشند عدد $0$ قرار می‌دهیم. در هر صورت، داده‌ها همواره آرایه‌هایی از کمیت‌های پایه‌ای‌تر هستند. ساختار حافظه یک رایانه به‌صورت یک آرایه سازماندهی شده است. همان‌طور که آلن تورینگ نشان داد، تمام محاسباتی که ما صورت‌بندی کرده‌ایم می‌توانند روی یک نوار یک‌بعدی با درایه‌های $0$ و $1$ انجام شوند. دستگاه‌های ذخیره‌سازی مدرن رایانه‌ای اساساً همان نوارهای تورینگ هستند، اما به شیوه‌ای پیچیده‌تر و با استفاده از پارتیشن‌ها یا سکتورها سازماندهی شده‌اند، همان‌طور که ماتریس‌ها با سطرها و ستون‌ها سازماندهی می‌شوند.

1.2 درس

1.2.1 اصول ماتریس

یک آرایه مستطیلی متناهی $A$ از اعداد حقیقی یک ماتریس نامیده می‌شود. اگر $A$ دارای $n$ سطر و $m$ ستون باشد، آن را یک ماتریس $n\times m$ می‌نامیم. درایه واقع در سطر $i$اُم و ستون $j$اُم را با $A_{ij}$ نشان می‌دهیم. یک ماتریس $n\times 1$ یک بردار ستونی، و یک ماتریس $1\times n$ یک بردار سطری است. یک ماتریس $1\times 1$ یک اسکالر نامیده می‌شود. با داشتن یک ماتریس $n\times p$ مانند $A$ و یک ماتریس $p\times m$ مانند $B$، ماتریس $n\times m$ حاصل‌ضرب $AB$ به صورت زیر تعریف می‌شود: $$(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^p{A}_{ik}{B}_{kj}.$$ این حاصل‌ضرب ماتریسی نامیده می‌شود. ترانهاده یک ماتریس $n\times m$ مانند $A$، ماتریس $m\times n$ است با تعریف $A_{ij}^T=A_{ji}$. ترانهاده یک بردار ستونی یک بردار سطری است.

1.2.2 فضای برداری ماتریس‌ها

مجموعه ماتریس‌های $n\times m$ را با $M(n,m)$ نشان دهید. این مجموعه شامل ماتریس صفر $O$ با $O_{ij}=0$ است. در حالت $m=1$، این بردار صفر است. جمع $A+B$ دو ماتریس در $M(n,m)$ به صورت زیر تعریف می‌شود: $$(A+B{)}_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.$$ ضرب اسکالر $\lambda A$ نیز به صورت زیر تعریف می‌شود: $$(\lambda A{)}_{ij}=\lambda A_{ij}$$ اگر $\lambda$ یک عدد حقیقی باشد. این اعمال $M(n,m)$ را به یک فضای برداری $=$ فضای خطی تبدیل می‌کنند: جمع شرکت‌پذیر و جابه‌جایی‌پذیر است، و یک وارون جمعی یکتا $-A$ وجود دارد که در $$A-A=0.$$ صدق می‌کند. ضرب‌ها توزیع‌پذیر هستند: $$A(B+C)=AB+AC$$ و $$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$$ و $$\lambda (\mu A)=(\lambda \mu )A.$$

1.2.3 فضاهای اقلیدسی، ضرب نقطه‌ای و طول

فضای $M(n,1)$ همچنین ${ℝ}^n$ نامیده می‌شود. این $𝒏$-بعدی اقلیدسی است. فضای برداری ${ℝ}^2$ صفحه و ${ℝ}^3$ فضای فیزیکی است. این فضاها برای ما عزیز هستند، چرا که روی کاغذ رسم می‌کنیم و در فضا زندگی می‌کنیم. ضرب نقطه‌ای بین دو بردار ستونی $v,w\in {ℝ}^n$ حاصل‌ضرب ماتریسی $$v\cdot w=v^{T}w.$$ است. از آنجا که ضرب نقطه‌ای یک اسکالر است، این ضرب ضرب اسکالر نیز نامیده می‌شود. در حاصل‌ضرب ماتریسی دو ماتریس $A,B$، درایه در موقعیت $(i,j)$ برابر است با ضرب نقطه‌ای سطر $i$اُم $A$ در ستون $j$اُم $B$. به‌طور کلی‌تر، ضرب نقطه‌ای بین دو ماتریس دلخواه $n\times m$ را می‌توان چنین تعریف کرد: $$A\cdot B=\mathrm{tr}(A^{T}B),$$ که در آن اثر یک ماتریس مجموع درایه‌های قطر اصلی آن است. این یعنی $$\mathrm{tr}(A^{T}B)=\sum _{i,j}{A}_{ij}{B}_{ij}.$$ ما به‌سادگی حاصل‌ضرب تمام درایه‌های ماتریس را گرفته و با هم جمع می‌کنیم. ضرب نقطه‌ای توزیع‌پذیر است: $$(u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w$$ و جابه‌جایی‌پذیر است: $$v\cdot w=w\cdot v.$$ می‌توانیم از آن برای تعریف طول $$|v|=\sqrt{v\cdot v}$$ یک بردار یا طول $|A|$ یک ماتریس استفاده کنیم، جایی که ریشه دوم مثبت را گرفته‌ایم. مجموع مربعات دقیقاً زمانی صفر است که همه مؤلفه‌ها صفر باشند. بنابراین تنها برداری که در $|v|=0$ صدق می‌کند $v=0$ است.

1.2.4 نابرابری کوشی-شوارتز

یک نتیجه کلیدی مهم، نابرابری کوشی-شوارتز است.

1.2.5 زاویه بین دو بردار

از نابرابری کوشی-شوارتز نتیجه می‌شود که برای هر دو بردار غیر صفر $v,w$، عدد $(v\cdot w)/(|v||w|)$ در بازه بسته $[-1,1]$ قرار دارد: $$-1\le \frac{u\cdot w}{|v||w|}\le 1.$$ بنابراین یک زاویه یکتای $\alpha \in [0,\pi ]$ وجود دارد به‌طوری‌که $$\cos (\alpha )=\frac{v\cdot w}{|v||w|}$$ اگر این زاویه بین $v$ و $w$ برابر با $\alpha =\pi /2$ باشد، آن دو بردار متعامد هستند. اگر $\alpha =0$ یا $\pi$ باشد، آن دو بردار موازی نامیده می‌شوند. در این صورت یک عدد حقیقی $\lambda$ وجود دارد به‌طوری‌که $v=\lambda w$. بردار صفر هم متعامد و هم موازی با هر بردار دیگری در نظر گرفته می‌شود.

1.2.6 قانون کسینوس‌ها

دو بردار $v,w$ یک مثلث (احتمالاً تباهیده) $\{0,v,w\}$ را در فضای اقلیدسی ${ℝ}^n$ تعریف می‌کنند. فرمول بالا زاویه $\alpha$ را در نقطه $0$ (که می‌تواند زاویه صفر باشد) مشخص می‌کند. طول‌های اضلاع $a=|v|,b=|w|,c=|v-w|$ این مثلث در فرمول کسینوس زیر صدق می‌کنند. این فرمول اتحاد الکاشی نیز نامیده می‌شود.

1.2.7 درک قضیه فیثاغورث: حالت خاصی از قانون کسینوس‌ها

حالت $\alpha =\pi /2$ اهمیت ویژه‌ای دارد. این همان قضیه فیثاغورث است:

1.3 مثال‌ها

1.4 تصویرسازی

۱.۴.۱ افق‌های بی‌نهایت در ریاضیات

ریاضیات نه تنها ابدی، بلکه بی‌نهایت نیز هست. برای نشان دادن این موضوع، به مسئله‌ی «جاودانگان» نگاه کنید.^۱ گراف بابلی $B$ را تعریف کنید که در آن اعداد صحیح مثبت رأس‌ها هستند و $(a,b)$ به هم متصل‌اند اگر $a^2+b^2$ یک مربع کامل باشد. هر یال در $B$ به یک ثلاث فیثاغورثی $a^2+b^2=c^2$ تعلق دارد. می‌توان پرسید که چه نوع زیرگراف‌هایی ظاهر می‌شوند، چند مؤلفه‌ی همبند وجود دارد، آیا قطر بی‌نهایت است، یا حلقه‌های بسته چقدر بزرگ می‌شوند. صدها سؤال می‌توان پرسید. مثلث‌های نشانده‌شده $K_3$ در $B$ برای مثال آجرهای اویلر هستند! آیا چهاروجهی‌های نشانده‌شده $K_4$، کلیک‌هایی از اعداد $(a,b,c,d)$ وجود دارند که هر جفت آن‌ها یک ثلاث فیثاغورثی باشد؟ این یک تسرکت اویلری خواهد بود. آیا چنین چیزی هست؟ قبل از اثبات هر چیز، ما با یک مسئله‌ی داده‌ای روبروییم. آزمایش کنید!

تمرین‌ها