Teorema de Pitágoras

Tabla de Contenidos

1.1 INTRODUCCIÓN
1.2 LECCIÓN
1.3 EJEMPLOS
1.4 ILUSTRACIÓN
- 1.4.1 Horizontes Infinitos en Matemáticas
EJERCICIOS

1.1 INTRODUCCIÓN

1.1.1 Explorando el Teorema de Pitágoras: Su Historia y Significado

En esta primera conferencia, examinamos uno de los teoremas más importantes de las matemáticas, el teorema de Pitágoras. Las raíces históricas del teorema son fascinantes: los primeros ejemplos de identidades como $5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$ ya aparecieron en las matemáticas sumerias. Las ternas de números como $(5, 12, 13)$ se llaman ternas pitagóricas. El teorema en sí es mucho más que eso. El teorema no solo enumera algunos ejemplos como evidencia, sino que enuncia y demuestra que para todos los triángulos, la relación $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ se cumple si y solo si el triángulo es un triángulo rectángulo. Sin exageración, el teorema de Pitágoras es uno de los más bellos e importantes teoremas. Tiene apariciones en varias otras partes de las matemáticas. En el análisis armónico, por ejemplo, dice que el cuadrado de la longitud de una función periódica es la suma de los cuadrados de sus coeficientes de Fourier. En la teoría de probabilidades, dice que si dos variables aleatorias $X, Y$ no están correlacionadas, entonces la varianza de $X + Y$ es la suma de la varianza de $X$ y $Y$ .

**Figura 1.** La imagen aparece en "The story of the greatest nations", (1910) y muestra a Pitágoras enseñando matemáticas.

1.1.2 Redefiniendo Vectores

Usamos aquí el teorema también al introducir vectores y espacios lineales. El lenguaje de las matrices no solo es una cuestión de notación, sino que también permite un enfoque ligeramente más sofisticado del cálculo vectorial en el que se distingue entre vectores columna y vectores fila. A diferencia de los cursos estándar de análisis vectorial, esto es posible cuando se trabaja más cerca del álgebra lineal. Tradicionalmente, muchas fuentes definen un vector como una cantidad con "magnitud" y "dirección". Esto es muy problemático, ya que una "película" califica para esta noción: tiene una longitud y tiene un director. Pero no necesitamos burlarnos de esto con un juego de palabras: el vector cero $0$ es una cantidad que no calificaría como vector porque el vector cero no tiene dirección. Debido a estos problemas, generalmente se define un vector como una cantidad definida por dos puntos $A, B$ en el espacio, se escribe $\vec{A B}$ y se piensa en el vector como una traslación de $A$ a $B$ o como una "flecha" que comienza en $A$ y termina en $B$ . Ahora, se tiene la dificultad de que dos vectores paralelos de igual longitud se identifican. De hecho, se usan clases de equivalencia para pasar del espacio afín al espacio lineal. El punto de vista moderno es que se puede adjuntar un espacio lineal de vectores en cada punto y pensar en $\vec{A B}$ como un vector unido al punto $A$ . Veremos, por ejemplo, el concepto de un campo gradiente, que adjunta en cada punto un vector fila. Los campos de fuerza son ejemplos.

1.1.3 Fundamentos de Matrices en Análisis de Datos

En cualquier caso, introducir espacios de matrices tempranamente tiene ventajas también en una época en la que el análisis de datos se reconoce como una herramienta importante. Las bases de datos relacionales se fundamentan en el concepto de matrices. Las más conocidas son las hojas de cálculo, que son arreglos bidimensionales en los que se organizan los datos. Más recientemente, tales conceptos también están siendo reemplazados por estructuras de datos más sofisticadas como las bases de datos de grafos. Sin embargo, un grafo también puede describirse mediante matrices. Dados dos nodos $x, y$ de la red, escribir en la entrada de la matriz $A_{x y}$ indica cómo están relacionados. En el caso más simple, se coloca un $1$ si los nodos están conectados y $0$ si no lo están. En cualquier caso, los datos siempre son arreglos de cantidades más básicas. La estructura de memoria de una computadora se organiza como un arreglo. Como mostró Alan Turing, todos los cálculos que hemos formalizado se pueden realizar en una cinta unidimensional con entradas $0$ y $1$ . Los dispositivos modernos de almacenamiento informático son esencialmente tales cintas de Turing, pero organizadas de manera más sofisticada, utilizando particiones o sectores, de manera similar a como las matrices se organizan con filas y columnas.

1.2 LECCIÓN

1.2.1 Fundamentos de Matrices

Un arreglo rectangular finito $A$ de números reales se llama matriz. Si hay $n$ filas y $m$ columnas en $A$ , se llama una matriz $n \times m$ . Nos referimos a la entrada en la $i$ -ésima fila y $j$ -ésima columna con $A_{i j}$ . Una matriz $n \times 1$ es un vector columna, una matriz $1 \times n$ es un vector fila. Una matriz $1 \times 1$ se llama escalar. Dada una matriz $A$ de tamaño $n \times p$ y una matriz $B$ de tamaño $p \times m$ , la matriz $A B$ de tamaño $n \times m$ se define como $(A B)_{i j} = \sum_{k = 1}^{p} A_{i k} B_{k j} .$ Se llama el producto matricial. La transpuesta de una matriz $A$ de tamaño $n \times m$ es la matriz $A_{i j}^{T} = A_{j i}$ de tamaño $m \times n$ . La transpuesta de un vector columna es un vector fila.

1.2.2 Espacio Vectorial de Matrices

Denotemos por $M (n, m)$ el conjunto de matrices $n \times m$ . Contiene la matriz cero $O$ con $O_{i j} = 0$ . En el caso $m = 1$ , es el vector cero. La suma $A + B$ de dos matrices en $M (n, m)$ se define como $(A + B)_{i j} = A_{i j} + B_{i j} .$ La multiplicación escalar $λ A$ se define como $(λ A)_{i j} = λ A_{i j}$ si $λ$ es un número real. Estas operaciones hacen de $M (n, m)$ un espacio vectorial $=$ espacio lineal: la suma es asociativa, conmutativa con un inverso aditivo único $- A$ que satisface $A - A = 0.$ Las multiplicaciones son distributivas: $A (B + C) = A B + A C$ y $λ (A + B) = λ A + λ B$ y $λ (μ A) = (λ μ) A .$

1.2.3 Espacios Euclidianos, Producto Punto y Longitud

El espacio $M (n, 1)$ también se llama $ℝ^{n}$ . Es el $𝒏$ -espacio euclidiano dimensional. El espacio vectorial $ℝ^{2}$ es el plano y $ℝ^{3}$ es el espacio físico. Estos espacios nos son queridos porque dibujamos en papel y vivimos en el espacio. El producto punto entre dos vectores columna $v, w \in ℝ^{n}$ es el producto matricial $v \cdot w = v^{T} w .$ Como el producto punto es un escalar, el producto también se llama producto escalar. En el producto matricial de dos matrices $A, B$ , la entrada en la posición $(i, j)$ es el producto punto de la $i$ -ésima fila de $A$ con la $j$ -ésima columna de $B$ . De manera más general, el producto punto entre dos matrices arbitrarias $n \times m$ se puede definir como $A \cdot B = tr (A^{T} B),$ donde la traza de una matriz es la suma de sus entradas diagonales. Esto significa $tr (A^{T} B) = \sum_{i, j} A_{i j} B_{i j} .$ Simplemente tomamos el producto sobre todas las entradas de la matriz y las sumamos. El producto punto es distributivo $(u + v) \cdot w = u \cdot w + v \cdot w$ y conmutativo $v \cdot w = w \cdot v .$ Podemos usarlo para definir la longitud $| v | = \sqrt{v \cdot v}$ de un vector o la longitud $| A |$ de una matriz, donde tomamos la raíz cuadrada positiva. La suma de los cuadrados es cero exactamente si todos los componentes son cero. El único vector que satisface $| v | = 0$ es, por lo tanto, $v = 0$ .

1.2.4 Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Un resultado clave importante es la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Teorema 1. $| v \cdot w | \leq | v | | w |$

Demostración. Si $w = 0$ , no hay nada que demostrar ya que ambos lados son cero. Si $w \neq 0$ , entonces podemos dividir ambos lados de la ecuación por $| w |$ y así lograr que $| w | = 1$ . Definamos $a = v \cdot w$ . Ahora, \begin{aligned} 0 \leq(v-a w) \cdot(v-a w)&=|v|^{2}-2 a v \cdot w+a^{2}|w|^{2}\\ &=|v|^{2}-2 a^{2}+a^{2}\\ &=|v|^{2}-a^{2} \end{aligned} lo que significa $a^{2} \leq | v |^{2}$ o $v \cdot w \leq | v | = | v | | w |$ . ◻

1.2.5 Ángulo entre Dos Vectores

De la desigualdad de Cauchy-Schwarz se sigue que para dos vectores no nulos $v, w$ , el número $(v \cdot w) / (| v | | w |)$ está en el intervalo cerrado $[- 1, 1]$ : $- 1 \leq \frac{u \cdot w}{| v | | w |} \leq 1.$ Existe por lo tanto un ángulo único $α \in [0, π]$ tal que $\cos (α) = \frac{v \cdot w}{| v | | w |}$ Si este ángulo entre $v$ y $w$ es igual a $α = π / 2$ , los dos vectores son ortogonales. Si $α = 0$ o $π$ , los dos vectores se llaman paralelos. Existe entonces un número real $λ$ tal que $v = λ w$ . El vector cero se considera tanto ortogonal como paralelo a cualquier otro vector.

1.2.6 Ley de los Cosenos

Dos vectores $v, w$ definen un triángulo (posiblemente degenerado) ${0, v, w}$ en el espacio euclidiano $ℝ^{n}$ . La fórmula anterior define un ángulo $α$ en el punto $0$ (que podría ser el ángulo nulo). Las longitudes de los lados $a = | v |, b = | w |, c = | v - w |$ del triángulo satisfacen la siguiente fórmula del coseno. También se llama la identidad de Al-Kashi.

Corolario 1. $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (α)$

Demostración. Usamos las definiciones así como la propiedad distributiva (desarrollar): \begin{aligned} c^{2}&=|v-w|^{2}\\ &=(v-w) \cdot(v-w)\\ &=v \cdot v+w \cdot w-2 v \cdot w\\ &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos (\alpha) \end{aligned} ◻

1.2.7 Comprendiendo el Teorema de Pitágoras: Un Caso Especial de la Ley de los Cosenos

El caso $α = π / 2$ es particularmente importante. Es el teorema de Pitágoras:

Teorema 2. En un triángulo rectángulo tenemos $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

1.3 EJEMPLOS

Ejemplo 1. El producto punto $[\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}] \cdot [\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}]$ es $[1, 3, 1] [\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}] = 1 - 6 - 1 = - 6.$ Tenemos $| v | = \sqrt{11}, | w | = \sqrt{6}$ y el ángulo $α = \arccos (- 6 / \sqrt{66})$ .

Ejemplo 2. El producto punto de $A = [\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}]$ y $B = [\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 4 & - 1 \end{array}]$ es $tr (A^{T} B) = 6 + 2 + 8 + (- 1) = 15.$ La longitud de $A$ es $\sqrt{tr (A^{T} A)} = \sqrt{12}$ , la longitud de $B$ es $\sqrt{tr (B^{T} B)} = 5$ . El ángulo entre $A$ y $B$ es $α = \arccos \frac{15}{5 \sqrt{12}} = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{6} .$

Ejemplo 3. $A = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}]$ y $B = [\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$ son perpendiculares porque $tr (A^{T} B) = 0.$ El ángulo entre ellos es $\frac{π}{2}$ . La longitud de $A$ es $a = \sqrt{10}$ . La longitud de $B$ es $b = \sqrt{4} = 2$ . La longitud de $A + B = [\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{array}]$ es $c = \sqrt{14}$ . Confirmamos $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$ Nótese que $A B \neq B A$ . La multiplicación no es conmutativa.

Ejemplo 4. Encuentre los ángulos en un triángulo de longitudes $a = 4, b = 5$ y $c = 6$ .

Respuesta: Al-Kashi da $2 \cdot 4 \cdot 5 \cos (γ) = 4^{2} + 5^{2} - 6^{2} = 5$ por lo que $γ = \arccos (5 / 40) .$ Similarmente $2 \cdot 4 \cdot 6 \cos (β) = 27$ por lo que $γ = \arccos (27 / 48)$ y $2 \cdot 5 \cdot 6 \cos (α) = 45$ por lo que $α = \arccos (45 / 60) .$

1.4 ILUSTRACIÓN

**Figura 2.** Un ortoedro con longitudes de lado enteras $a, b$ y $c$ tales que $a^{2} +$ $b^{2}, a^{2} + c^{2}, b^{2} + c^{2}$ son cuadrados es un ladrillo de Euler. Sus diagonales laterales son ahora enteras. El más pequeño $(a, b, c) = (44, 117, 24)$ fue encontrado en 1719. Si además $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ es un cuadrado, lo que significa que la diagonal espacial también es un entero, tenemos un ladrillo de Euler perfecto. Nadie ha encontrado uno. Es un famoso problema abierto debido a Euler, si existe uno.

**Figura 3.** Esta **escena Povray** fue generada por un método que involucra mucho cálculo vectorial y álgebra lineal: este **trazador de rayos** de código abierto hace rebotar la luz en la escena virtual y calcula las reflexiones. Una cámara luego captura los fotones, de manera similar a como lo hace una cámara real. Las texturas se implementan mediante imágenes, aquí una postal de Harvard Square de 1930. Es un archivo de imagen que codifica tres matrices $1688 \times 1104$ R,G,B, valores rojo, verde y azul en cada píxel. La escena es un "homenaje" a la novela "On Time and the River" de Thomas Wolfe, quien fue estudiante de pregrado en Harvard aquí de 1920 a 1922 (¡nótese el 22!)

1.4.1 Horizontes Infinitos en Matemáticas

Las matemáticas no solo son eternas, sino también infinitas. Para ilustrar esto, observe el problema de los "Eternos".¹ Defina el grafo babilónico $B$ en el cual los enteros positivos son los vértices y donde $(a, b)$ están conectados, si $a^{2} + b^{2}$ es un cuadrado perfecto. Cada arista en $B$ pertenece a una terna pitagórica $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Uno puede preguntarse qué tipo de subgrafos aparecen, cuántos componentes conexos hay, si el diámetro es infinito o cuán grandes pueden llegar a ser los bucles cerrados. Se podrían hacer cientos de preguntas. Los triángulos embebidos $K_{3}$ en $B$ , por ejemplo, ¡son ladrillos de Euler! ¿Existen tetraedros embebidos $K_{4}$ , cliques de números $(a, b, c, d)$ para los cuales cada par sea una terna pitagórica? Esto sería un tesseracto euleriano. ¿Existe alguno? Antes de demostrar algo, tenemos un problema de datos. ¡Experimente!

**Figura 4.** A la izquierda vemos la componente más grande $B_{1000}$ . Un experimento como `ListPlot[Table[GraphDiameter[Babylonian[n]],n,1000]]` proporciona el diámetro de la componente más grande $B_{1} (n)$ de $B (n)$ . Tenemos $Diam (B_{1} (5000)) = 18, Diam (B_{1} (10000)) = 29$ .

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Use las definiciones para encontrar el ángulo $α$ entre el vector $v = [1, 1, 0, - 3, 2, 1]^{T}$ y $w = [1, 1, 9, - 3, - 5, - 3]^{T}$ en $ℝ^{6}$ . Si pensamos en $v, w$ como datos, el valor $\cos (α)$ es la correlación entre los dos puntos de datos $v$ y $w$ . Si el coseno es positivo, los datos tienen correlación positiva. Si el coseno es negativo, tienen correlación negativa.

Ejercicio 2. Dada la matriz $A = [\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$ .

Encuentre $A^{T}$ , luego construya $B = A + A^{T}$ y $C = A - A^{T}$ . La primera matriz se llama simétrica, la segunda se llama antisimétrica.
Calcule $A A^{T}$ y $A^{T} A$ . Luego evalúe $tr (A^{T} A)$ y $tr (A A^{T})$ .
¿Por qué estos dos números calculados en b) son iguales? ¿Es cierto en general para dos matrices $n \times m$ que $tr (A^{T} B) = tr (B^{T} A)$ ? (Hay una verificación corta usando la notación de suma).

Ejercicio 3.

Verifique la identidad triangular $| v - w | \leq | v | + | w |$ en general expandiendo mediante FOIL $(v - w) \cdot (v - w)$ , luego genere un ejemplo de dos vectores con coordenadas enteras en el plano $ℝ^{2}$ , donde se pueda aplicar esto. Dibuje la situación.
Verifique que si $v$ y $w$ tienen la misma longitud, entonces $(v - w)$ y $(v + w)$ son perpendiculares. Describa la situación en b) geométricamente en una oración.

Ejercicio 4. Escriba el vector $F = [2, 3, 4]^{T}$ como una suma de un vector paralelo a $v = [1, 1, 1]^{T}$ y un vector perpendicular a $v$ . Si interpretamos $F$ como una fuerza que actúa sobre una cometa de masa $1$ y $v$ como la velocidad, entonces $F \cdot v$ se interpreta como la potencia, la tasa de cambio de la energía de la cometa. El vector paralelo a $v$ sería, según Newton, la aceleración de la cometa.

Ejercicio 5.

Encuentre dos vectores en $ℝ^{2}$ para los cuales todas las entradas de coordenadas sean $1$ o $- 1$ y que sean ambos perpendiculares entre sí.
Diseñe cuatro vectores en $ℝ^{4}$ para los cuales todas las entradas de coordenadas sean $1$ o $- 1$ y que sean todos perpendiculares entre sí.

Opcional: ¿puede idear una estrategia que le permita, por ejemplo, encontrar $16$ vectores en $ℝ^{16}$ que sean todos perpendiculares entre sí y que aún tengan entradas en ${- 1, 1}$ ?

Este problema nos ha sido comunicado por Ajak, quien conoce miles de años de matemáticas↩︎