Superfícies

Índice

5.1 INTRODUÇÃO
- 5.1.1 Compreendendo Superfícies
- 5.1.2 Descrevendo Superfícies
5.2 AULA
5.3 EXEMPLOS
EXERCÍCIOS

5.1 INTRODUÇÃO

**Figura 1.** A garrafa de Klein é uma superfície no espaço tridimensional. Ela não pode ser realizada como uma superfície de nível de uma função, no entanto, pois há pontos de autointerseção. Mas podemos parametrizar perfeitamente a superfície.

5.1.1 Compreendendo Superfícies

Superfícies são objetos de codimensão um em um espaço. Elas são importantes porque podem dividir o espaço. Podemos confinar água em uma garrafa. Isso não é possível para codimensão dois. Você não pode confinar água em uma curva. Similarmente, se você vivesse no espaço $4$ -dimensional, não poderia armazenar água em uma superfície bidimensional. Mas as coisas já podem ficar complicadas em três dimensões. Existem superfícies bidimensionais fechadas que não confinam espaço algum. Tente beber de uma garrafa de Klein!

5.1.2 Descrevendo Superfícies

Uma superfície pode ser descrita matematicamente de duas maneiras fundamentalmente diferentes. Ela é dada como uma superfície de nível de uma função naquele espaço. Ou então pode ser a imagem de um mapa chamado parametrização. Você conhece isso da Terra, que é uma esfera. Podemos dizer que uma esfera é o conjunto de pontos que têm uma distância fixa até o seu ponto central. Ou então podemos parametrizar a esfera, por exemplo usando longitude e latitude. Um plano passando pelo $0$ pode ser dado ou como o núcleo ${x \in ℝ^{3} ∣ A x = 0}$ de uma matriz $1 \times 3$ $A$ ou então como a imagem ${A x ∣ x \in ℝ^{2}}$ de uma matriz $3 \times 2$ . O primeiro escreve $a x + b y + c z = 0$ . O segundo escreve o plano como $v s + w t$ , onde $v$ , $w$ são os vetores coluna de $A$ e $x = [s, t]^{T}$ fornece os parâmetros.

5.2 AULA

5.2.1 Variedades Lineares e Espaços

Se $A$ é uma matriz, o espaço solução de um sistema de equações $A 𝐱 = b$ é chamado de variedade linear. É o conjunto de soluções de $A 𝐱 = 0$ transladado de modo que passe por um dos pontos. A equação $3 x + 2 y = 6$ , por exemplo, descreve uma reta em $ℝ^{2}$ passando por $(2, 0)$ e $(0, 3)$ . As soluções de $A x = 0$ formam um espaço linear, o que significa que podemos somar ou escalar soluções e ainda ter soluções. Podemos reformular o que foi dito dizendo que um espaço linear é uma variedade linear que contém $0$ . Por exemplo, para $x + 2 y + 3 z = 6$ obtemos um plano que é paralelo ao plano $x + 2 y + 3 z = 0$ . O primeiro é uma variedade linear (também chamado de espaço afim), o último é um espaço linear. É o espaço solução de $A 𝐱 = 0$ com $A = [1, 2, 3]$ e $𝐱 = [x, y, z]^{T}$ . Ambos os planos são perpendiculares a $n = [1, 2, 3]^{T}$ . Para encontrar uma equação para o plano passando por $3$ pontos $P, Q, R$ , defina $n = P Q \times P R = [a, b, c]^{T}$ e então escreva $a x + b y + c z = d$ , onde $d$ é obtido substituindo um ponto. O produto vetorial é útil.

5.2.2 Vetores Normais e Planos

O seguinte exemplo importante lida com $A = [a_{1}, \dots, a_{m}]$ em $M (1, m)$ .

Teorema 1. O vetor $n = A^{T}$ é perpendicular ao plano $A x = d$ .

Prova. Dados dois pontos $y$ , $z$ no plano. Então temos $A y = d$ e $A z = d$ . Então $x = y - z$ é um vetor dentro do plano. Agora $A^{T} \cdot x = A x = A (y - z) = A y - A z = d - d = 0$ . Isso significa que $x$ é perpendicular ao vetor $A^{T}$ . ◻

Em três dimensões, isso significa que o plano $a x + b y + c z = d$ tem um vetor normal $A^{T} = n = [a, b, c]^{T}$ . Tenha isso em mente, especialmente porque $ℝ^{3}$ é nossa casa.

5.2.3 Núcleos e Imagens de Matrizes

Este resultado de dualidade será mais tarde identificado como um teorema fundamental da álgebra linear. Será importante em ajuste de dados, por exemplo. O núcleo de uma matriz $A$ é o espaço linear de todas as soluções $A x = 0$ . O núcleo consiste de todas as raízes de $A$ . A imagem de uma matriz $A$ é o espaço linear de todos os vetores ${A x}$ . Abreviamos $\ker (A)$ para o núcleo e $im (A)$ para a imagem. Voltaremos a isso mais tarde.

Teorema 2. A imagem de $A^{T}$ é perpendicular ao núcleo de $A$ .

Prova. Se $x$ está no núcleo de $A$ , então $A x = 0$ . Isso significa que $x$ é perpendicular a cada vetor linha de $A$ . Mas isso significa que $x$ é perpendicular ao vetor coluna de $A^{T}$ . Então, $x$ é perpendicular à imagem de $A^{T}$ . Esta linha de argumento pode ser invertida para ver que se $x$ é perpendicular à imagem de $A^{T}$ , então ele está no núcleo de $A$ . ◻

5.2.4 Explorando Superfícies Não Lineares

Dada uma função $f : ℝ^{n} \to ℝ$ , o conjunto solução ${f (x_{1}, \dots, x_{n}) = d}$ é uma hipersuperfície. Frequentemente dizemos "superfície" embora "superfície" seja reservado para $n = 3$ . As superfícies não lineares mais simples são as variedades quadráticas $x \cdot B x + A x = d$ definidas por uma matriz simétrica $B$ , um vetor linha $A$ e um escalar $d$ . Assumimos que $B$ não é a matriz nula, caso contrário, estamos no caso de uma variedade linear. Também podemos assumir que $B$ é simétrica $B = B^{T}$ . Para notação, escrevemos $Diag (a, b, c) = [\begin{matrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{matrix}]$ e $1 = Diag (1, 1, 1)$ .

5.2.5 Elipsoides

Para $B = 1$ e $A = 0$ e $d = 1$ obtemos a esfera $| x |^{2} = 1$ . Em $ℝ^{2}$ , uma esfera é um círculo $x^{2} + y^{2} = 1$ . Em três dimensões temos a familiar esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . Um elipsoide mais geral com $B = Diag (1 / a^{2}, 1 / b^{2}, 1 / c^{2})$ é $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} + z^{2} / c^{2} = 1$ . Intersectando com $x = 0$ ou $y = 0$ ou $z = 0$ , vemos traços, que são todos elipses.

**Figura 2.** A esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ e um exemplo de um elipsoide $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} + z^{2} / c^{2} = 1$ .

5.2.6 Hiperboloides

Para $B = Diag (1, 1, - 1)$ e $d = 1$ , obtemos um hiperboloide de uma folha $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ . Para $B = Diag (1, 1, - 1)$ e $d = - 1$ , obtemos um hiperboloide de duas folhas $x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 1$ . Um hiperboloide mais geral é da forma $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} - z^{2} / c^{2} = d$ com $d \neq 0$ . A interseção com $z = 0$ dá, no caso de uma folha, um círculo, no caso de duas folhas, nada. O traço $x = 0$ ou o traço $y = 0$ são ambos hipérboles.

**Figura 3.** O hiperboloide de uma folha $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ e o hiperboloide de duas folhas $x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 1$ .

5.2.7 Paraboloides

Para $B = Diag (1, 1, 0)$ e $A = [0, 0, - 1]$ e $d = 0$ obtemos o paraboloide $x^{2} + y^{2} = z$ , para $B = Diag (1, - 1, 0)$ e $A = [0, 0, - 1]$ e $d = 0$ obtemos o paraboloide hiperbólico $x^{2} - y^{2} = z$ . Podemos reconhecer paraboloides intersectando com $x = 0$ ou $y = 0$ para ver parábolas. Intersectar o paraboloide elíptico $x^{2} + y^{2} = z$ com $z = 1$ dá uma elipse. Intersectar o paraboloide hiperbólico $x^{2} - y^{2} = z$ com $z = 1$ dá uma hipérbole.

**Figura 4.** Um paraboloide elíptico $z = x^{2} + y^{2}$ e o paraboloide hiperbólico $z = x^{2} - y^{2}$ .

5.2.8 Superfícies especiais

Se $B = Diag (1, 1, - 1)$ e $d = 0$ , obtemos um cone $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0$ . Para $B = Diag (1, 1, 0)$ e $d = 1$ obtemos o cilindro $x^{2} + y^{2} = 1$ .

**Figura 5.** O cone $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ e o cilindro $x^{2} + y^{2} = 1$ .

5.2.9 Observação Lateral: Estruturas Algébricas e Forças

A $1$ -esfera $S^{1} = {x^{2} + y^{2} = 1} \subset ℝ^{2}$ e a $3$ -esfera $S^{3} = {x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 1} \subset ℝ^{4}$ possuem uma multiplicação: $S^{1}$ está nos números complexos $ℂ = {x + i y}$ e $S^{3}$ está nos quatérnions $ℍ = {x + i y + j z + k w}$ . A $1$ -esfera é o grupo de gauge para o eletromagnetismo, a $3$ -esfera (também chamada $S U (2)$ ) é responsável pela força fraca. Nenhuma outra esfera euclidiana possui uma multiplicação para a qual $x \to x * y$ seja suave. Michael Atiyah uma vez apontou que essa particularidade algébrica pode não ser uma coincidência e ser responsável pela estrutura do modelo padrão das partículas elementares (uma das teorias mais precisas já construídas pela humanidade). A força forte aparece quando se pode fazer um conjunto de matrizes $3 \times 3$ $S U (3)$ atuar em $ℍ$ . Atiyah sugeriu que a gravidade poderia estar relacionada aos octônions $𝕆$ . Lá, $S^{7} = {| x | = 1} \subset$ $ℝ^{8}$ ainda possui uma multiplicação, mas não é mais associativa. A lista das álgebras de divisão normadas $ℝ$ , $ℂ$ , $ℍ$ e $𝕆$ .¹

5.2.10 Superfícies Polinomiais: Variedades

Dado um polinômio $p$ de $n$ variáveis, pode-se olhar para a superfície ${p (x) = 0}$ . Ela é chamada de variedade.

**Figura 6.** Mais exemplos de **variedades**, conjuntos solução de equações polinomiais. À esquerda vemos a **superfície cúbica** $x^{3} - 3 x y^{2} - z = 0$ chamada de **sela de macaco**. À direita vemos o **toro** $(3 + x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} - 16 (x^{2} + y^{2}) = 0$ que é um exemplo de uma **variedade quártica**

**Figura 7.** A variedade $x^{4} - x^{2} + y^{2} + z^{2} = d$ para $d = - 0.02$ , $d = 0$ e $d = 0.02$ .

5.3 EXEMPLOS

Exemplo 1. P: Encontre o plano $Σ$ que contém a reta $x = y = z$ e o ponto $P = (3, 4, 5)$ .

R: $Σ$ contém $Q = (0, 0, 0)$ e $R = (1, 1, 1)$ e portanto os vetores $v = [1, 1, 1]^{T}$ e $w = [3, 4, 5]^{T}$ . O produto vetorial entre $v$ e $w$ é $[1, - 2, 1]^{T}$ . Ele é perpendicular a $Σ$ . Assim, a equação é $x - 2 y + z = d$ , onde $d$ pode ser obtido substituindo um ponto $(3, 4, 5)$ . Isso dá $d = 0$ de modo que $x - 2 y + z = 0$ .

Exemplo 2. Podemos identificar a superfície $x^{2} + 2 x + y^{2} - 4 y - z^{2} + 6 z = 0$ ? Completar o quadrado resulta em $x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} - 4 y + 4 - z^{2} + 6 z - 9 = 1 + 4 - 9 = - 4.$ Agora $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} - (z - 3)^{2} = - 4$ . Isso é um hiperboloide de duas folhas centrado em $(- 1, 2, 3)$ .

Exemplo 3. Intersectando o cone $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ com o plano $y = 1$ resulta em uma hipérbole $z^{2} - x^{2} = 1$ . A interseção com $z = 1$ resulta em um círculo $x^{2} + y^{2} = 1$ . Intersectando com $z = x + 1$ resulta em $y^{2} = 2 x + 1$ , uma parábola. Como seccionar um cone pode resultar em hipérbole, uma elipse ou uma parábola como cortes, chama-se estas últimas de seções cônicas.

Exemplo 4. O caso das variedades quadráticas singulares é ainda mais rico: $x^{2} - y^{2} = 1$ é um hiperboloide cilíndrico, $x^{2} - y^{2} = 0$ é a união de dois planos $x - y = 0$ e $x + y = 0$ . A superfície $x^{2} = 1$ é a união de dois planos paralelos, a superfície $x^{2} = 0$ é um plano.

EXERCÍCIOS

Exercício 1.

Que tipo de curva é $2 x^{2} + 4 x + 2 y^{2} + 2 = 0$ ?
Que superfície é $x^{2} + y^{2} - 4 y + z^{2} + 8 z = 100$ ?
Seja $(x, y, z)$ o conjunto de pontos para os quais $| [x, y, z]^{T} \times [1, 1, 1]^{T} | = 1$ . Descreva este conjunto.

Exercício 2.

Que tipos de curvas você pode obter ao intersectar o paraboloide hiperbólico $x^{2} - y^{2} = z$ com um plano?
Explore o que você obtém se intersectar o hiperboloide $S : x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ com o $S$ rotacionado por $90$ graus em torno do eixo $x$ .

Exercício 3. Encontre planos explícitos que, quando intersectados com o hiperboloide $x^{2} + 2 y^{2} - z^{2} = 1$ , produzem uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola.

Exercício 4. Encontre a equação de um plano que seja tangente às três esferas unitárias centradas em $(3, 4, 5)$ , $(1, 1, 1)$ , $(2, 3, 4)$ .

Exercício 5. Construa uma função concreta $f (x, y, z)$ de três variáveis tal que alguma superfície de nível $f (x, y, z) = c$ seja um pretzel, uma superfície com três furos. Dica: a superfície $g * h = 0$ é a união das superfícies $g = 0$ e $h = 0$ . Agora, $g * h = c$ pode produzir superfícies nas quais as coisas são coladas de forma suave. Se você pesquisar uma superfície na web ou na literatura, deve fornecer a referência. Você pode usar o computador para experimentar ou então descrever sua estratégia em palavras.

**Figura 8.** No pretzel assado à direita, usamos um polinômio $f (x, y, z)$ de grau $12$ . Um problema em geometria algébrica seria encontrar o "polinômio de menor grau" que funciona e então encontrar o polinômio mais elegante.

Veja a palestra de 2010 de Atiyah (https://www.youtube.com/watch?v=zCCxOE44M_M).↩︎