表面

 

5.1 引言

图 1. 克莱因瓶是三维空间中的一个曲面。它不能作为函数的水平集实现，因为存在自交的点。但我们可以完美地参数化该曲面。

5.1.1 理解曲面

曲面是空间中的余维一对象。它们之所以重要，是因为它们可以分割空间。我们可以将水限制在瓶子里。这对于余维二的对象是不可能的。你无法将水限制在一条曲线中。同样，如果你生活在 4 维空间中，你无法将水储存在二维曲面中。但在三维空间中，事情就可能变得棘手。存在一些二维闭合曲面，它们不包围任何空间。试试用克莱因瓶喝水吧！

5.1.2 描述曲面

曲面在数学上可以用两种根本不同的方式描述。它可以作为该空间上某个函数的水平集给出。或者，它可以是一个映射的像，称为参数化。你从地球（一个球体）就了解这一点。我们可以说球体是到其中心点具有固定距离的点的集合。或者，我们可以参数化球体，例如使用经度和纬度。一个通过 0 的平面既可以作为一个 1 × 3 矩阵 A 的核 { x ∈ ℝ 3 ∣ A x = 0 } 给出，也可以作为一个 3 × 2 矩阵的像 { A x ∣ x ∈ ℝ 2 } 给出。第一种写法是 a x + b y + c z = 0 。第二种写法将平面表示为 v s + w t ，其中 v 、 w 是 A 的列向量，而 x = [ s , t ] T 给出参数。

5.2 讲座

5.2.1 线性流形与空间

如果 A 是一个矩阵，方程组 A 𝐱 = b 的解空间称为一个线性流形。它是 A 𝐱 = 0 的解集经过平移，使其通过其中一个点。例如，方程 3 x + 2 y = 6 描述了 ℝ 2 中一条通过 ( 2 , 0 ) 和 ( 0 , 3 ) 的直线。 A x = 0 的解构成一个线性空间，这意味着我们可以对解进行加法或缩放，结果仍然是解。我们可以将刚才所说的重新表述为：线性空间是包含 0 的线性流形。例如，对于 x + 2 y + 3 z = 6 ，我们得到一个平面，该平面平行于平面 x + 2 y + 3 z = 0 。前者是一个线性流形（也称为仿射空间），后者是一个线性空间。它是 A 𝐱 = 0 的解空间，其中 A = [ 1 , 2 , 3 ] 且 𝐱 = [ x , y , z ] T 。两个平面都垂直于 n = [ 1 , 2 , 3 ] T 。要找到通过 3 个点 P , Q , R 的平面方程，定义 n = P Q × P R = [ a , b , c ] T ，然后写出 a x + b y + c z = d ，其中 d 通过代入一个点得到。叉积在这里很方便。

5.2.2 法向量与平面

以下重要例子涉及 M ( 1 , m ) 中的 A = [ a 1 , … , a m ] 。

定理 1. 向量 n = A T 垂直于平面 A x = d 。

证明。 给定平面中的两个点 y 、 z 。那么我们有 A y = d 和 A z = d 。则 x = y − z 是平面内的一个向量。现在 A T ⋅ x = A x = A ( y − z ) = A y − A z = d − d = 0 。这意味着 x 垂直于向量 A T 。 ◻

在三维空间中，这意味着平面 a x + b y + c z = d 具有法向量 A T = n = [ a , b , c ] T 。请牢记这一点，尤其是因为 ℝ 3 是我们的家园。

5.2.3 矩阵的核与像

这个对偶结果稍后将被识别为线性代数的基本定理。例如，它在数据拟合中很重要。矩阵 A 的核是所有解 A x = 0 的线性空间。核由 A 的所有根组成。矩阵 A 的像是所有向量 { A x } 的线性空间。我们分别用 ker ⁡ ( A ) 和 im ⁡ ( A ) 表示核与像。我们稍后会回到这一点。

定理 2. A T 的像垂直于 A 的核。

证明。 如果 x 在 A 的核中，那么 A x = 0 。这意味着 x 垂直于 A 的每个行向量。但这意味着 x 垂直于 A T 的列向量。所以， x 垂直于 A T 的像。这个论证可以反过来，以看出如果 x 垂直于 A T 的像，那么它在 A 的核中。 ◻

5.2.4 探索非线性曲面

给定一个函数 f : ℝ n → ℝ ，解集 { f ( x 1 , … , x n ) = d } 是一个超曲面。我们常说“曲面”，即使“曲面”一词专用于 n = 3 。最简单的非线性曲面是二次流形 x ⋅ B x + A x = d 由一个对称矩阵 B 、一个行向量 A 和一个标量 d 定义。我们假设 B 不是零矩阵，否则我们就处于线性流形的情况。我们也可以假设 B 是对称的 B = B T 。为了记号方便，我们写 Diag ⁡ ( a , b , c ) = [ a 0 0 0 b 0 0 0 c ] 以及 1 = Diag ⁡ ( 1 , 1 , 1 ) 。

5.2.5 椭球面

对于 B = 1 、 A = 0 和 d = 1 ，我们得到球面 | x | 2 = 1 。在 ℝ 2 中，球面是一个圆 x 2 + y 2 = 1 。在三维空间中，我们有熟悉的球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 。一个更一般的椭球面，其中 B = Diag ⁡ ( 1 / a 2 , 1 / b 2 , 1 / c 2 ) ，是 x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 。通过与 x = 0 或 y = 0 或 z = 0 相交，我们看到截痕，它们都是椭圆。

图 2. 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 和一个椭球面 x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 的例子。

5.2.6 双曲面

对于 B = Diag ⁡ ( 1 , 1 , − 1 ) 和 d = 1 ，我们得到一个单叶双曲面 x 2 + y 2 − z 2 = 1 。对于 B = Diag ⁡ ( 1 , 1 , − 1 ) 和 d = − 1 ，我们得到一个双叶双曲面 x 2 + y 2 − z 2 = − 1 。更一般的双曲面形式为 x 2 / a 2 + y 2 / b 2 − z 2 / c 2 = d ，其中 d ≠ 0 。与 z = 0 相交，在单叶情况下得到一个圆，在双叶情况下则没有。与 x = 0 或 y = 0 的截痕都是双曲线。

图 3. 单叶双曲面 x 2 + y 2 − z 2 = 1 和双叶双曲面 x 2 + y 2 − z 2 = − 1 。

5.2.7 抛物面

对于 B = Diag ⁡ ( 1 , 1 , 0 ) 、 A = [ 0 , 0 , − 1 ] 和 d = 0 ，我们得到抛物面 x 2 + y 2 = z ；对于 B = Diag ⁡ ( 1 , − 1 , 0 ) 、 A = [ 0 , 0 , − 1 ] 和 d = 0 ，我们得到双曲抛物面 x 2 − y 2 = z 。我们可以通过与 x = 0 或 y = 0 相交来识别抛物面，看到抛物线。将椭圆抛物面 x 2 + y 2 = z 与 z = 1 相交得到一个椭圆。将双曲抛物面 x 2 − y 2 = z 与 z = 1 相交得到一条双曲线。

图 4. 一个椭圆抛物面 z = x 2 + y 2 和双曲抛物面 z = x 2 − y 2 。

5.2.8 特殊曲面

如果 B = Diag ⁡ ( 1 , 1 , − 1 ) 且 d = 0 ，我们得到一个锥面 x 2 + y 2 − z 2 = 0 。对于 B = Diag ⁡ ( 1 , 1 , 0 ) 且 d = 1 ，我们得到柱面 x 2 + y 2 = 1 。

图 5. 锥面 x 2 + y 2 = z 2 和柱面 x 2 + y 2 = 1 。

5.2.9 旁注：代数结构与力

1 -球面 S 1 = { x 2 + y 2 = 1 } ⊂ ℝ 2 和 3 -球面 S 3 = { x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 } ⊂ ℝ 4 都带有乘法： S 1 在复数 ℂ = { x + i y } 中，而 S 3 在四元数 ℍ = { x + i y + j z + k w } 中。 1 -球面是电磁力的规范群， 3 -球面（也称为 S U ( 2 ) ）负责弱力。没有其他欧几里得球面带有使 x → x ∗ y 光滑的乘法。迈克尔·阿蒂亚曾指出，这种代数上的特殊性可能并非巧合，而是与基本粒子标准模型（人类有史以来建立的最精确的理论之一）的结构有关。强力出现是因为可以让一组 3 × 3 矩阵 S U ( 3 ) 作用在 ℍ 上。阿蒂亚提出，引力可能与八元数 𝕆 有关。在那里， S 7 = { | x | = 1 } ⊂ ℝ 8 仍然带有乘法，但不再满足结合律。赋范可除代数的列表为 ℝ 、 ℂ 、 ℍ 和 𝕆 。1

5.2.10 多项式曲面：簇

给定一个 n 元多项式 p ，我们可以考察曲面 { p ( x ) = 0 } 。它被称为一个簇。

图 6. 更多代数簇的例子，即多项式方程的解集。左侧我们看到的是三次曲面 x 3 − 3 x y 2 − z = 0 ，称为猴鞍面。右侧我们看到的是环面 ( 3 + x 2 + y 2 + z 2 ) 2 − 16 ( x 2 + y 2 ) = 0 ，这是一个四次流形的例子。

图 7. 代数簇 x 4 − x 2 + y 2 + z 2 = d 分别对应 d = − 0.02 、 d = 0 和 d = 0.02 。

5.3 示例

示例 1. 问：求包含直线 x = y = z 和点 P = ( 3 , 4 , 5 ) 的平面 Σ 。

答： Σ 包含 Q = ( 0 , 0 , 0 ) 和 R = ( 1 , 1 , 1 ) ，因此向量 v = [ 1 , 1 , 1 ] T 和 w = [ 3 , 4 , 5 ] T 。 v 与 w 的叉积为 [ 1 , − 2 , 1 ] T ，它垂直于 Σ 。所以，方程为 x − 2 y + z = d ，其中 d 可通过代入点 ( 3 , 4 , 5 ) 求得。得到 d = 0 ，因此 x − 2 y + z = 0 。

示例 2. 我们能否识别曲面 x 2 + 2 x + y 2 − 4 y − z 2 + 6 z = 0 ？配方法给出 x 2 + 2 x + 1 + y 2 − 4 y + 4 − z 2 + 6 z − 9 = 1 + 4 − 9 = − 4. 现在 ( x + 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 − ( z − 3 ) 2 = − 4 。这是一个中心在 ( − 1 , 2 , 3 ) 的双叶双曲面。

示例 3. 将锥面 x 2 + y 2 = z 2 与平面 y = 1 相交，得到双曲线 z 2 − x 2 = 1 。与 z = 1 相交，得到圆 x 2 + y 2 = 1 。与 z = x + 1 相交，得到 y 2 = 2 x + 1 ，即抛物线。因为对锥面进行截割可以得到双曲线、椭圆或抛物线，所以后者被称为圆锥曲线。

示例 4. 奇异二次流形的情况更为丰富： x 2 − y 2 = 1 是一个柱面双曲面， x 2 − y 2 = 0 是两个平面 x − y = 0 和 x + y = 0 的并集。曲面 x 2 = 1 是两个平行平面的并集，曲面 x 2 = 0 是一个平面。

练习

练习 1.

  1. 2 x 2 + 4 x + 2 y 2 + 2 = 0 是什么类型的曲线？
  2. x 2 + y 2 − 4 y + z 2 + 8 z = 100 是什么曲面？
  3. 设 ( x , y , z ) 是满足 | [ x , y , z ] T × [ 1 , 1 , 1 ] T | = 1 的点集。描述这个集合。

练习 2.

  1. 将双曲抛物面 x 2 − y 2 = z 与一个平面相交，可以得到哪些类型的曲线？
  2. 探究将双曲面 S : x 2 + y 2 − z 2 = 1 与绕 x 轴旋转 90 度后的 S 相交，会得到什么。

练习 3. 找出具体的平面，使得它们与双曲面 x 2 + 2 y 2 − z 2 = 1 相交时，分别产生椭圆、双曲线或抛物线。

练习 4. 求一个平面的方程，该平面与中心分别在 ( 3 , 4 , 5 ) 、 ( 1 , 1 , 1 ) 、 ( 2 , 3 , 4 ) 的三个单位球面相切。

练习 5. 构造一个三元具体函数 f ( x , y , z ) ，使得某个水平曲面 f ( x , y , z ) = c 是一个椒盐卷饼，即一个有三个洞的曲面。提示：曲面 g ∗ h = 0 是曲面 g = 0 和 h = 0 的并集。现在， g ∗ h = c 可以生成将各部分巧妙粘合在一起的曲面。如果你在网上或文献中查找某个曲面，必须给出参考文献。你可以使用计算机进行实验，或者用文字描述你的策略。

图 8. 在右侧烘烤出的椒盐卷饼中，我们使用了一个 12 次多项式 f ( x , y , z ) 。代数几何中的一个问题是找到能实现此目的的“最小次数的多项式”，然后找出最优雅的多项式。
  1. 参见 Atiyah 2010 年的演讲（https://www.youtube.com/watch?v=zCCxOE44M_M）。↩︎