Produto Vetorial

Índice

4.1 INTRODUÇÃO
- 4.1.1 Evolução da Multiplicação de Vetores
- 4.1.2 Quaternions e Produto Vetorial
4.2 AULA
4.3 EXEMPLOS
4.4 ILUSTRAÇÕES
EXERCÍCIOS

4.1 INTRODUÇÃO

**Figura 1.** A placa dos quaternions na ponte Brougham: aqui, enquanto passava em 16 de outubro de 1843, Sir William Rowan Hamilton, num lampejo de genialidade, descobriu a fórmula fundamental para a multiplicação de quaternions $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1$ e a gravou numa pedra desta ponte.

4.1.1 Evolução da Multiplicação de Vetores

Vimos que podemos multiplicar matrizes quadradas e obter novamente uma matriz. Não seria bom se também pudéssemos multiplicar dois vetores e obter um vetor de volta? O produto escalar, que é o produto matricial de um vetor linha por um vetor coluna, nos deu um número. O produto matricial de um vetor coluna por um vetor linha nos daria uma matriz quadrada. Como podemos projetar um produto de vetores coluna que nos dê novamente um vetor coluna? Essa foi a questão que William Rowan Hamilton ponderou por muitos anos. Conta-se que toda manhã, quando ele descia para a mesa do café, seu filho pequeno perguntava: "Pai, você já consegue multiplicar ternos?" ao que William respondia: "Não, filho, ainda não sei como fazer isso".

4.1.2 Quaternions e Produto Vetorial

Finalmente, Hamilton teve sucesso. A lenda conta que, enquanto caminhava com sua esposa ao longo do Canal Real em Dublin, ao cruzar a ponte Brougham, ele subitamente teve a inspiração: é preciso multiplicar quádruplos! Esses números seriam escritos como $a + b i + c j + d k$ onde $i, j, k$ são símbolos que satisfazem $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1$ . Ele ficou tão feliz que dedicaria o resto de sua vida a esses números. Agora, verifica-se que essa álgebra também produz um produto de vetores que é chamado de produto vetorial. Ele tem muitas propriedades interessantes, como o fato de o produto de dois vetores ser perpendicular e o comprimento estar relacionado à área. Ele também tem aplicações surpreendentes na física.

4.2 AULA

4.2.1 Unicidade de $ℝ^{3}$

O espaço tridimensional $ℝ^{3}$ é especial. Ele não é apenas o único espaço euclidiano no qual o problema de Kepler é estável¹, ele também possui um produto vetorial $v \times w$ que está no mesmo espaço. Tal produto pode ser definido em $ℝ^{n}$ , mas ele produz um vetor em $ℝ^{n (n - 1) / 2}$ . Acontece que, para $n = 3$ , o resultado está novamente em $ℝ^{3}$ . O problema de "multiplicar ternos" foi ponderado por William Hamilton na primeira metade do século XIX e está relacionado à fascinante história dos quaternions. A descoberta dos quaternions foi simultaneamente o berço do produto escalar e do produto vetorial.

4.2.2 Propriedades do Produto Vetorial

O produto vetorial de dois vetores $v = {[v_{1}, v_{2}, v_{3}]}^{T}$ e $w = {[w_{1}, w_{2}, w_{3}]}^{T}$ é

$[\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}] \times [\begin{array}{l} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{array}] = [\begin{array}{l} v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2} \\ v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3} \\ v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1} \end{array}]$

Calcule o produto escalar com $v$ ou $w$ para ver que $v \times w$ é perpendicular a ambos $v$ e $w$ . Também é óbvio que $v \times w = - w \times v$ . O produto é útil para construções em $ℝ^{3}$ . Os vetores $v, w, v \times w$ são orientados como os três primeiros dedos da mão direita: se $v$ for o polegar, $w$ o dedo indicador, então $v \times w$ é o dedo médio. Seja $v \cdot w = | v | | w | \cos (α)$ :

Teorema 1. $| v \times w | = | v | | w | \sin (α)$ e $v \cdot (v \times w) = w \cdot (v \times w) = 0$ .

Demonstração. Verificaremos em sala de aula, por força bruta, a identidade de Lagrange $| v \times w |^{2} = | v |^{2} | w |^{2} - (v \cdot w)^{2}$ que também é chamada de fórmula de Cauchy-Binet. Agora use $| v \cdot w | = | v | | w | \cos (α)$ para obter o resultado com $\cos^{2} (α) + \sin^{2} (α) = 1$ . ◻

4.2.3 Aplicações Geométricas do Seno

Dado um triângulo com comprimentos dos lados $a, b, c$ e ângulos $α, β, γ$ , onde $α$ é oposto a $a$ etc. Temos a seguinte $\sin$ -fórmula

Corolário 1. $\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)} .$

Demonstração. Podemos usar o teorema e expressar a área do triângulo como $a b \sin (γ)$ ou $b c \sin (α)$ ou $a c \sin (β)$ . Igualando essas três quantidades e dividindo pelo fator comum, obtemos a $\sin$ -fórmula. ◻

4.2.4 Percepções Geométricas de Área

Isso é útil em aplicações para definir a área do paralelogramo como $| v \times w |$ . Que isso é justificado pode ser visto em duas dimensões e:

Corolário 2. $| v \times w |$ é a área do paralelogramo gerado por $v$ e $w$ .

Demonstração. Use a fórmula $| v \times w | = | v | | w | \sin (α)$ e observe que $| w | \sin (α)$ é a altura do paralelogramo gerado por $v$ e $w$ . O comprimento da base é $| v |$ . ◻

4.2.5 Produto Escalar Triplo

O escalar $u \cdot (v \times w)$ é chamado de produto escalar triplo de $u, v, w$ . Seu sinal define uma orientação dos três vetores. Ele também é o determinante da matriz $[\begin{array}{lll} u_{1} & v_{1} & w_{1} \\ u_{2} & v_{2} & w_{2} \\ u_{3} & v_{3} & w_{3} \end{array}] .$ O valor absoluto de $u \cdot v \times w$ define o volume do paralelepípedo gerado por $u$ , $v$ e $w$ . Sem o valor absoluto, falamos também de volume com sinal.

4.2.6 Observação: Produto Vetorial em Dimensões Superiores

Em dimensões superiores, o produto vetorial é chamado de produto exterior. Usa-se $\land$ em vez de $\times$ , que é usado em três dimensões. Se $I = (i, j)$ é uma escolha de dois elementos em ${1, 2, \dots, n}$ e $v, w$ são dois vetores em $ℝ^{n}$ , então $(v \land w)_{I} =$ $v_{i} w_{j} - v_{j} w_{i}$ . A fórmula $| v \land w | = | v | | w | \sin (α)$ ainda é válida e a demonstração é a mesma. Precisamos apenas verificar novamente a fórmula de Cauchy-Binet $| v |^{2} | w |^{2} - (v \cdot w)^{2} = | v \land w |^{2}$ . Mas isso é melhor feito usando matrizes. Se $A$ é a matriz que contém $v, w$ como colunas, então $\det (A^{T} A) = \sum_{P} \det (A_{P})^{2}$ , onde a soma à direita é sobre todas as submatrizes $2 \times 2$ $A_{P}$ de $A$ . A expressão $\det (A_{P})$ é chamada de menor. A fórmula de Cauchy-Binet é super legal². A propósito, se tivermos $k$ vetores e construirmos $A \in M (n, k)$ , uma matriz que tem esses vetores como colunas. Agora, $\det (A^{T} A)$ é o volume do paralelepípedo gerado por esses vetores. E Cauchy-Binet escreve isso como uma soma de quadrados de volumes $k$ -dimensionais de projeções, o que é, de certa forma, uma generalização de Pitágoras.

4.3 EXEMPLOS

Exemplo 1. Qual é a área do triângulo $A = (1, 1, 1)$ , $B = (3, 5, 2)$ e $C = (2, 0, 3)$ ? Encontramos o produto vetorial entre o vetor $[2, 4, 1]^{T}$ que vai de $A$ para $B$ e o vetor $[1, - 1, 2]^{T}$ que vai de $A$ para $C$ . O produto vetorial é $[\begin{array}{l} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 9 \\ - 3 \\ - 6 \end{matrix}]$ Seu comprimento é $3 \sqrt{14}$ . A área do triângulo é a metade disso: $3 \sqrt{14} / 2$ .

Exemplo 2. Encontre o volume do paralelepípedo com vértices $O = (0, 0, 0)$ e cantos anexados $A = (1, 1, 1)$ , $B = (3, 4, 2)$ e $C = (2, 0, 3)$ . O volume com sinal é $[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] \cdot ([\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}] \times [\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}]) = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] \cdot [\begin{matrix} 12 \\ - 5 \\ - 8 \end{matrix}] = - 1 .$ e tome o valor absoluto. Um número negativo indica que $O A$ , $O B$ , $O C$ é orientado para a esquerda.

4.4 ILUSTRAÇÕES

**Figura 2.** O Banco Nacional Suíço emitiu em 22 de agosto de 2018 novas notas de 200 francos. Mostra a **regra da mão direita**: polegar $= v$ , indicador $= w$ , então $v \times w$ é o dedo médio.

**Figura 3.** A **força de Lorentz** $F$ é um vetor $F = q v \times B$ determinado pela velocidade $v$ de uma partícula carregada com carga $q$ movendo-se em um campo magnético $B$ .

**Figura 4.** Dada uma partícula de massa $m$ na posição $r$ movendo-se com a velocidade r^{\prime}, então L=m r \times r^{\prime} é o **momento angular**.

EXERCÍCIOS

Exercício 1. Encontre um vetor $w$ perpendicular aos vetores $u = [2, 3, 4]^{T}$ e $v = [3, 4, 7]^{T}$ . Em seguida, use esse resultado para encontrar um vetor $x$ perpendicular a ambos $v$ e $w$ .

Exercício 2. Um scanner 3D é usado para construir um modelo 3D de um rosto. Ele detecta um triângulo que tem seus vértices em $P = (2, 1, 1)$ , $Q = (1, 1, 0)$ e $R = (1, 2, 3)$ . Encontre a área desse triângulo, bem como um vetor perpendicular ao triângulo.³

Exercício 3. Encontre o volume do paralelepípedo que tem os vértices $O = (0, 0, 0)$ , $P = (2, 3, 1)$ , $Q = (4, 3, 1)$ , $R = (6, 6, 2)$ , $A = (1, 1, 1)$ , $B = (3, 4, 2)$ , $C = (5, 4, 2)$ , $D = (7, 7, 3)$ .

Exercício 4. Investigue quais das seguintes fórmulas são sempre verdadeiras para todos os vetores $u, v, w, x, y$ . Se for verdade, explique, cite uma fonte (por exemplo, na web), ou faça uma verificação manual ou por álgebra computacional. Se não for verdade, encontre um contraexemplo.

$u \cdot (v \times w) = v \cdot (w \times u)$
$u \times (v \times w) = (u \times v) \times w$
$u \times (v + w) = u \times v + u \times w$
$u \times (v \times w) = (u \cdot w) v - (u \cdot v) w$
$(u \times v) \cdot (x \times y) = (u \cdot x) (v \cdot y) - (u \cdot y) (v \cdot x)$

Exercício 5. Dados dois vetores $p = [a, b, c]^{T}$ e $q = [u, v, w]^{T}$ , construa as matrizes \begin{aligned} P= \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}, \quad Q= \begin{bmatrix} 0 & u & v \\ -u & 0 & w \\ -v & -w & 0 \end{bmatrix}. \end{aligned} Compare $p \times q$ e $Q P - P Q$ . Descreva o que você observa. Tente formular isso como um teorema.

por um teorema de Joseph Bertrand de 1873 e o trabalho de Sundman-von Zeipel↩︎
O. Knill, Cauchy Binet for pseudo-determinants, Lin. Alg. and its Applications 459 (2014) 522-547↩︎
O formato STL, que é usado para impressão 3D, tem uma forma extremamente simples. Ele consiste em entradas como

facet normal 0.15-0.97-0.20

outer loop

vertex -1.6996-0.5597-2.8360

vertex -1.8259-0.5793-2.8374

vertex -1.7232-0.5399-2.9509

endloop

endfacet

A primeira linha fornece o vetor normal, depois há um loop com três vértices definindo o triângulo. Obviamente há certa redundância, pois se poderia obter o vetor normal a partir dos pontos usando o produto vetorial. Mas há um propósito: a informação redundante torna o trabalho com a estrutura de dados mais rápido; segundo, também se pode examinar situações em que o vetor normal não é perpendicular à superfície, podendo-se alterar a maneira como a superfície é "sombreada", como a luz é refletida na superfície. Terceiro, a redundância é sempre útil para detectar erros. Nossa informação genética no DNA é armazenada de forma altamente redundante. Isso permite a correção de erros.↩︎

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4.1 INTRODUÇÃO

4.1.1 Evolução da Multiplicação de Vetores

4.1.2 Quaternions e Produto Vetorial

4.2 AULA

4.2.1 Unicidade de $ℝ^{3}$

4.2.2 Propriedades do Produto Vetorial

4.2.3 Aplicações Geométricas do Seno

4.2.4 Percepções Geométricas de Área

4.2.5 Produto Escalar Triplo

4.2.6 Observação: Produto Vetorial em Dimensões Superiores

4.3 EXEMPLOS

4.4 ILUSTRAÇÕES

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4.1 INTRODUÇÃO

4.1.1 Evolução da Multiplicação de Vetores

4.1.2 Quaternions e Produto Vetorial

4.2 AULA

4.2.1 Unicidade de ℝ 3

4.2.2 Propriedades do Produto Vetorial

4.2.3 Aplicações Geométricas do Seno

4.2.4 Percepções Geométricas de Área

4.2.5 Produto Escalar Triplo

4.2.6 Observação: Produto Vetorial em Dimensões Superiores

4.3 EXEMPLOS

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4.2.1 Unicidade de $ℝ^{3}$