叉积

4.1 引言

**图 1.** 布鲁厄姆桥上的四元数铭牌：1843年10月16日，威廉·罗文·汉密尔顿爵士在此散步时，灵光一闪，发现了四元数乘法的基本公式 $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1$ ，并将其刻在了这座桥的石头上。

4.1.1 向量乘法的演变

我们已经知道，方阵可以相乘并得到另一个矩阵。如果能将两个向量相乘并得到一个向量，那该多好。点积是行向量与列向量的矩阵乘积，结果是一个数。列向量与行向量的矩阵乘积则得到一个方阵。我们如何设计一种列向量的乘积，使其结果仍为列向量？这正是威廉·罗文·汉密尔顿思考多年的问题。据说，每天早晨当他下楼吃早餐时，他的小儿子都会问：“爸爸，你现在能乘三元组了吗？”威廉回答说：“不能，儿子，我还不知道怎么做。”

4.1.2 四元数与叉积

最终，汉密尔顿成功了。传说，当他与妻子沿着都柏林的皇家运河散步，经过布鲁厄姆桥时，他突然获得了灵感：必须乘四元组！这些数可以写成 $a + b i + c j + d k$ ，其中 $i, j, k$ 是满足 $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1$ 的符号。他非常高兴，以至于将余生都奉献给了这些数。现在发现，这种代数也产生了一种向量的乘积，称为叉积。它有许多优良性质，比如两个向量的乘积垂直于这两个向量，且其长度与面积有关。它在物理学中也有惊人的应用。

4.2 讲座

4.2.1 $ℝ^{3}$ 的唯一性

三维空间 $ℝ^{3}$ 是特殊的。它不仅是唯一一个开普勒问题稳定的欧几里得空间¹，而且还具有一个叉积 $v \times w$ ，其结果仍在同一空间中。这样的乘积可以在 $ℝ^{n}$ 中定义，但会产生一个在 $ℝ^{n (n - 1) / 2}$ 中的向量。恰好当 $n = 3$ 时，结果又回到了 $ℝ^{3}$ 中。“乘三元组”的问题在19世纪上半叶由威廉·汉密尔顿思考，并与四元数的迷人故事相关。四元数的发现同时也是点积和叉积的诞生地。

4.2.2 叉积的性质

两个向量 $v = {[v_{1}, v_{2}, v_{3}]}^{T}$ 和 $w = {[w_{1}, w_{2}, w_{3}]}^{T}$ 的叉积为

$[\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}] \times [\begin{array}{l} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{array}] = [\begin{array}{l} v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2} \\ v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3} \\ v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1} \end{array}]$

与 $v$ 或 $w$ 作点积，可见 $v \times w$ 同时垂直于 $v$ 和 $w$ 。显然也有 $v \times w = - w \times v$ 。该乘积在 $ℝ^{3}$ 中的构造中非常方便。向量 $v, w, v \times w$ 的方向如同右手的前三根手指：若 $v$ 是拇指， $w$ 是食指，则 $v \times w$ 是中指。设 $v \cdot w = | v | | w | \cos (α)$ ：

定理 1. $| v \times w | = | v | | w | \sin (α)$ 且 $v \cdot (v \times w) = w \cdot (v \times w) = 0$ 。

证明。 我们将在课堂上通过直接计算验证拉格朗日恒等式 $| v \times w |^{2} = | v |^{2} | w |^{2} - (v \cdot w)^{2}$ 这也称为柯西-比内公式。然后利用 $| v \cdot w | = | v | | w | \cos (α)$ 以及 $\cos^{2} (α) + \sin^{2} (α) = 1$ 得到结果。 ◻

4.2.3 正弦的几何应用

给定一个三角形，边长分别为 $a, b, c$ ，对角分别为 $α, β, γ$ ，其中 $α$ 对应边 $a$ ，等等。我们有如下 $\sin$ -公式

推论 1. $\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)} .$

证明。 我们可以利用定理，将三角形的面积表示为 $a b \sin (γ)$ 或 $b c \sin (α)$ 或 $a c \sin (β)$ 。令这三个量相等并约去公因子，即得 $\sin$ -公式。 ◻

4.2.4 面积的几何洞察

这在应用中很有用，可将平行四边形的面积定义为 $| v \times w |$ 。其合理性可在二维中看出，并且：

推论 2. $| v \times w |$ 是由 $v$ 和 $w$ 张成的平行四边形面积。

证明。 使用公式 $| v \times w | = | v | | w | \sin (α)$ ，并注意到 $| w | \sin (α)$ 是由 $v$ 和 $w$ 张成的平行四边形的高。底边长为 $| v |$ 。 ◻

4.2.5 三重标量积

标量 $u \cdot (v \times w)$ 称为 $u, v, w$ 的三重标量积。其符号定义了这三个向量的定向。它也是矩阵 $[\begin{array}{lll} u_{1} & v_{1} & w_{1} \\ u_{2} & v_{2} & w_{2} \\ u_{3} & v_{3} & w_{3} \end{array}] .$ 的行列式。 $u \cdot v \times w$ 的绝对值定义了由 $u$ 、 $v$ 和 $w$ 张成的平行六面体的体积。若不取绝对值，我们称之为有向体积。

4.2.6 附注：高维空间中的叉积

在更高维度中，叉积被称为外积。通常使用 $\land$ 而非三维中使用的 $\times$ 。如果 $I = (i, j)$ 是 ${1, 2, \dots, n}$ 中两个元素的一种选择，且 $v, w$ 是 $ℝ^{n}$ 中的两个向量，则 $(v \land w)_{I} =$ $v_{i} w_{j} - v_{j} w_{i}$ 。公式 $| v \land w | = | v | | w | \sin (α)$ 仍然成立，且证明相同。我们只需再次验证柯西-比内公式 $| v |^{2} | w |^{2} - (v \cdot w)^{2} = | v \land w |^{2}$ 。但使用矩阵会更好。如果 $A$ 是以 $v, w$ 为列的矩阵，则 $\det (A^{T} A) = \sum_{P} \det (A_{P})^{2}$ ，其中右边的和是对 $A$ 的所有 $2 \times 2$ 子矩阵 $A_{P}$ 求和。表达式 $\det (A_{P})$ 称为一个子式。柯西-比内公式非常酷²。顺便一提，如果我们有 $k$ 个向量并构建矩阵 $A \in M (n, k)$ ，该矩阵以这些向量为列。那么， $\det (A^{T} A)$ 就是由这些向量张成的平行六面体的体积。而柯西-比内公式将其写为投影的 $k$ 维体积的平方和，这在某种意义上是对毕达哥拉斯定理的推广。

4.3 例题

例 1. 求三角形 $A = (1, 1, 1)$ 、 $B = (3, 5, 2)$ 和 $C = (2, 0, 3)$ 的面积。我们计算从 $A$ 到 $B$ 的向量 $[2, 4, 1]^{T}$ 与从 $A$ 到 $C$ 的向量 $[1, - 1, 2]^{T}$ 的叉积。叉积为 $[\begin{array}{l} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 9 \\ - 3 \\ - 6 \end{matrix}]$ 其长度为 $3 \sqrt{14}$ 。三角形的面积为其一半： $3 \sqrt{14} / 2$ 。

例 2. 求以 $O = (0, 0, 0)$ 为顶点，且相邻顶点为 $A = (1, 1, 1)$ 、 $B = (3, 4, 2)$ 和 $C = (2, 0, 3)$ 的平行六面体的体积。有向体积为 $[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] \cdot ([\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}] \times [\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}]) = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] \cdot [\begin{matrix} 12 \\ - 5 \\ - 8 \end{matrix}] = - 1 .$ 并取绝对值。负数表明 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 构成左手系。

4.4 图示

**图 2.** 瑞士国家银行于2018年8月22日发行了新版200法郎纸币。它展示了**右手定则**：拇指 $= v$ ，食指 $= w$ ，则 $v \times w$ 为中指。

**图 3.** **洛伦兹力** $F$ 是一个向量 $F = q v \times B$ ，由电荷为 $q$ 的带电粒子在磁场 $B$ 中以速度 $v$ 运动所决定。

**图 4.** 给定一个质量为 $m$ 的粒子，位于 $r$ 处，以速度运动，则是**角动量**。

练习

练习 1. 求一个垂直于向量 $u = [2, 3, 4]^{T}$ 和 $v = [3, 4, 7]^{T}$ 的向量 $w$ 。然后利用此结果求一个同时垂直于 $v$ 和 $w$ 的向量 $x$ 。

练习 2. 一台3D扫描仪用于构建人脸的三维模型。它检测到一个三角形，其顶点位于 $P = (2, 1, 1)$ 、 $Q = (1, 1, 0)$ 和 $R = (1, 2, 3)$ 。求该三角形的面积以及一个垂直于该三角形的向量。³

练习 3. 求以 $O = (0, 0, 0)$ 、 $P = (2, 3, 1)$ 、 $Q = (4, 3, 1)$ 、 $R = (6, 6, 2)$ 、 $A = (1, 1, 1)$ 、 $B = (3, 4, 2)$ 、 $C = (5, 4, 2)$ 、 $D = (7, 7, 3)$ 为顶点的平行六面体的体积。

练习 4. 研究以下公式中哪些对所有向量 $u, v, w, x, y$ 总是成立。如果成立，请解释、引用来源（例如网络上的），或通过手算或计算机代数验证。如果不成立，请找出一个反例。

$u \cdot (v \times w) = v \cdot (w \times u)$
$u \times (v \times w) = (u \times v) \times w$
$u \times (v + w) = u \times v + u \times w$
$u \times (v \times w) = (u \cdot w) v - (u \cdot v) w$
$(u \times v) \cdot (x \times y) = (u \cdot x) (v \cdot y) - (u \cdot y) (v \cdot x)$

练习 5. 给定两个向量 $p = [a, b, c]^{T}$ 和 $q = [u, v, w]^{T}$ ，构建矩阵比较 $p \times q$ 和 $Q P - P Q$ 。描述你所观察到的现象。尝试将其表述为一个定理。

根据约瑟夫·伯特兰1873年的一个定理以及桑德曼-冯·蔡佩尔的工作↩︎
O. Knill, Cauchy Binet for pseudo-determinants, Lin. Alg. and its Applications 459 (2014) 522-547↩︎
用于3D打印的STL格式具有极其简单的形式。它由如下条目组成

facet normal 0.15-0.97-0.20

outer loop

vertex -1.6996-0.5597-2.8360

vertex -1.8259-0.5793-2.8374

vertex -1.7232-0.5399-2.9509

endloop

endfacet

第一行给出了法向量，然后是一个循环，包含三个顶点，给出了三角形。显然存在一些冗余，因为可以通过叉积从点得到法向量。但这是有目的的：冗余信息使得处理数据结构更快，其次，还可以考虑法向量不垂直于表面的情况，可以改变表面如何“着色”的方式，比如光如何在表面反射。第三，冗余总是有利于捕捉错误。我们DNA中的遗传信息以高度冗余的方式存储。这使得错误纠正成为可能。↩︎

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