ضرب خارجی

فهرست مطالب

4.1 مقدمه
- 4.1.1 تکامل ضرب برداری
- 4.1.2 کواترنیون‌ها و ضرب خارجی
4.2 سخنرانی
4.3 مثال‌ها
4.4 تصاویر
تمرین‌ها

4.1 مقدمه

**شکل ۱.** لوح کواترنیون در پل بروگام: در اینجا هنگامی که در ۱۶ اکتبر ۱۸۴۳ از آن عبور می‌کرد، سر ویلیام روآن همیلتون در یک جرقه نبوغ فرمول اساسی ضرب کواترنیون $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1$ را کشف کرد و آن را بر روی سنگی از این پل حک کرد.

4.1.1 تکامل ضرب برداری

دیده‌ایم که می‌توانیم ماتریس‌های مربعی را ضرب کنیم و دوباره یک ماتریس به دست آوریم. آیا خوب نبود اگر می‌توانستیم دو بردار را نیز ضرب کنیم و یک بردار حاصل شود. ضرب نقطه‌ای، که حاصلضرب ماتریسی یک بردار سطری در یک بردار ستونی است، یک عدد به ما می‌دهد. حاصلضرب ماتریسی یک بردار ستونی در یک بردار سطری یک ماتریس مربعی به ما می‌دهد. چگونه می‌توانیم ضربی از بردارهای ستونی طراحی کنیم که دوباره یک بردار ستونی به ما بدهد؟ این سؤالی بود که ویلیام روآن همیلتون سال‌ها به آن فکر می‌کرد. داستان از این قرار است که هر روز صبح، وقتی به سر میز صبحانه می‌آمد، پسر کوچکش می‌پرسید: «بابا، آیا می‌توانی سه‌تایی‌ها را ضرب کنی؟» و ویلیام پاسخ می‌داد: «نه پسرم، من هنوز نمی‌دانم چطور این کار را انجام دهم».

4.1.2 کواترنیون‌ها و ضرب خارجی

سرانجام، همیلتون موفق شد. افسانه می‌گوید که هنگام قدم زدن با همسرش در کنار کانال سلطنتی در دوبلین، هنگام عبور از پل بروگام، ناگهان الهام گرفت: باید چهارتایی‌ها را ضرب کرد! این اعداد به صورت $a + b i + c j + d k$ نوشته می‌شوند که در آن $i, j, k$ نمادهایی هستند که در $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1$ صدق می‌کنند. او چنان خوشحال بود که بقیه عمر خود را وقف این اعداد کرد. اکنون معلوم می‌شود که این جبر همچنین ضربی از بردارها را تولید می‌کند که ضرب خارجی نامیده می‌شود. این ضرب ویژگی‌های خوب زیادی دارد، مانند اینکه حاصلضرب دو بردار عمود است و طول آن به مساحت مربوط می‌شود. همچنین کاربردهای شگفت‌انگیزی در فیزیک دارد.

4.2 سخنرانی

4.2.1 یکتایی $ℝ^{3}$

فضای سه‌بعدی $ℝ^{3}$ ویژه است. این فضا نه تنها تنها فضای اقلیدسی است که مسئله کپلر در آن پایدار است¹، بلکه دارای یک ضرب خارجی $v \times w$ است که در همان فضا قرار دارد. چنین ضربی را می‌توان در $ℝ^{n}$ تعریف کرد، اما برداری در $ℝ^{n (n - 1) / 2}$ تولید می‌کند. اتفاقاً برای $n = 3$ نتیجه دوباره در $ℝ^{3}$ است. مسئله «ضرب سه‌تایی‌ها» توسط ویلیام همیلتون در نیمه اول قرن نوزدهم مورد تأمل قرار گرفت و به داستان جذاب کواترنیون‌ها مربوط می‌شود. کشف کواترنیون‌ها همزمان محل تولد ضرب نقطه‌ای و خارجی بود.

4.2.2 ویژگی‌های ضرب خارجی

ضرب خارجی دو بردار $v = {[v_{1}, v_{2}, v_{3}]}^{T}$ و $w = {[w_{1}, w_{2}, w_{3}]}^{T}$ به صورت زیر است

$[\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}] \times [\begin{array}{l} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{array}] = [\begin{array}{l} v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2} \\ v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3} \\ v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1} \end{array}]$

با $v$ یا $w$ ضرب نقطه‌ای بگیرید تا ببینید $v \times w$ بر هر دو $v$ و $w$ عمود است. همچنین واضح است که $v \times w = - w \times v$ . این ضرب برای ساختارها در $ℝ^{3}$ مفید است. بردارهای $v, w, v \times w$ مانند سه انگشت اول دست راست جهت‌گیری شده‌اند: اگر $v$ انگشت شست باشد، $w$ انگشت اشاره باشد، آنگاه $v \times w$ انگشت وسط است. فرض کنید $v \cdot w = | v | | w | \cos (α)$ :

قضیه ۱. $| v \times w | = | v | | w | \sin (α)$ و $v \cdot (v \times w) = w \cdot (v \times w) = 0$ .

اثبات. ما در کلاس با روش مستقیم اتحاد لاگرانژ $| v \times w |^{2} = | v |^{2} | w |^{2} - (v \cdot w)^{2}$ را که فرمول کوشی-بینه نیز نامیده می‌شود، تأیید خواهیم کرد. اکنون با استفاده از $| v \cdot w | = | v | | w | \cos (α)$ نتیجه را با $\cos^{2} (α) + \sin^{2} (α) = 1$ به دست می‌آوریم. ◻

4.2.3 کاربردهای هندسی سینوس

با داشتن مثلثی با طول اضلاع $a, b, c$ و زوایای $α, β, γ$ ، که در آن $α$ مقابل $a$ است و غیره. فرمول $\sin$ زیر را داریم

نتیجه ۱. $\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)} .$

اثبات. می‌توانیم از قضیه استفاده کنیم و مساحت مثلث را به صورت $a b \sin (γ)$ یا $b c \sin (α)$ یا $a c \sin (β)$ بیان کنیم. با برابر قرار دادن این سه کمیت و تقسیم بر عامل مشترک، فرمول $\sin$ را به دست می‌آوریم. ◻

4.2.4 بینش‌های هندسی مساحت

این در کاربردها برای تعریف مساحت متوازی‌الاضلاع به صورت $| v \times w |$ مفید است. اینکه این توجیه‌پذیر است را می‌توان در دو بعد دید و:

نتیجه ۲. $| v \times w |$ مساحت متوازی‌الاضلاع ایجاد شده توسط $v$ و $w$ است.

اثبات. از فرمول $| v \times w | = | v | | w | \sin (α)$ استفاده کنید و توجه کنید که $| w | \sin (α)$ ارتفاع متوازی‌الاضلاع ایجاد شده توسط $v$ و $w$ است. طول قاعده $| v |$ است. ◻

4.2.5 ضرب اسکالر سه‌گانه

اسکالر $u \cdot (v \times w)$ ضرب اسکالر سه‌گانه $u, v, w$ نامیده می‌شود. علامت آن یک جهت‌گیری از سه بردار را تعریف می‌کند. همچنین دترمینان ماتریس $[\begin{array}{lll} u_{1} & v_{1} & w_{1} \\ u_{2} & v_{2} & w_{2} \\ u_{3} & v_{3} & w_{3} \end{array}] .$ است. قدر مطلق $u \cdot v \times w$ حجم متوازی‌السطوح ایجاد شده توسط $u$ ، $v$ و $w$ را تعریف می‌کند. بدون قدر مطلق، از حجم علامت‌دار نیز صحبت می‌کنیم.

4.2.6 نکته جانبی: ضرب خارجی در ابعاد بالاتر

در ابعاد بالاتر، ضرب خارجی ضرب خارجی (exterior product) نامیده می‌شود. از $\land$ به جای $\times$ که در سه بعد استفاده می‌شود، استفاده می‌کنند. اگر $I = (i, j)$ انتخابی از دو عنصر در ${1, 2, \dots, n}$ باشد و $v, w$ دو بردار در $ℝ^{n}$ باشند، آنگاه $(v \land w)_{I} =$ $v_{i} w_{j} - v_{j} w_{i}$ . فرمول $| v \land w | = | v | | w | \sin (α)$ همچنان برقرار است و اثبات آن یکسان است. فقط باید دوباره فرمول کوشی-بینه $| v |^{2} | w |^{2} - (v \cdot w)^{2} = | v \land w |^{2}$ را تأیید کنیم. اما این کار با استفاده از ماتریس‌ها بهتر انجام می‌شود. اگر $A$ ماتریسی باشد که $v, w$ را به عنوان ستون‌ها شامل شود، آنگاه $\det (A^{T} A) = \sum_{P} \det (A_{P})^{2}$ ، که در آن مجموع سمت راست روی همه زیرماتریس‌های $2 \times 2$ $A_{P}$ از $A$ است. عبارت $\det (A_{P})$ یک مینور نامیده می‌شود. فرمول کوشی-بینه بسیار جالب است². به هر حال، اگر $k$ بردار داشته باشیم و $A \in M (n, k)$ را بسازیم، ماتریسی که این بردارها را به عنوان ستون‌ها دارد. اکنون، $\det (A^{T} A)$ حجم متوازی‌السطوح ایجاد شده توسط این بردارها است. و کوشی-بینه این را به صورت مجموع مربعات حجم‌های $k$ -بعدی تصاویر می‌نویسد که به نوعی تعمیم فیثاغورث است.

4.3 مثال‌ها

مثال ۱. مساحت مثلث $A = (1, 1, 1)$ ، $B = (3, 5, 2)$ و $C = (2, 0, 3)$ چقدر است؟ ضرب خارجی بین بردار $[2, 4, 1]^{T}$ که از $A$ به $B$ می‌رود و بردار $[1, - 1, 2]^{T}$ که از $A$ به $C$ می‌رود را پیدا می‌کنیم. ضرب خارجی $[\begin{array}{l} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 9 \\ - 3 \\ - 6 \end{matrix}]$ طول آن $3 \sqrt{14}$ است. مساحت مثلث نصف آن است: $3 \sqrt{14} / 2$ .

مثال ۲. حجم متوازی‌السطوح با رئوس $O = (0, 0, 0)$ و گوشه‌های متصل $A = (1, 1, 1)$ ، $B = (3, 4, 2)$ و $C = (2, 0, 3)$ را بیابید. حجم علامت‌دار $[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] \cdot ([\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}] \times [\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}]) = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] \cdot [\begin{matrix} 12 \\ - 5 \\ - 8 \end{matrix}] = - 1 .$ است و قدر مطلق را بگیرید. عدد منفی نشان می‌دهد که $O A$ ، $O B$ ، $O C$ چپ‌گرد است.

4.4 تصاویر

**شکل ۲.** بانک ملی سوئیس در ۲۲ اوت ۲۰۱۸ اسکناس‌های جدید ۲۰۰ فرانکی منتشر کرد. این اسکناس **قانون دست راست** را نشان می‌دهد: شست $= v$ ، انگشت اشاره $= w$ ، سپس $v \times w$ انگشت وسط است.

**شکل ۳.** **نیروی لورنتس** $F$ برداری است $F = q v \times B$ که توسط سرعت $v$ یک ذره باردار با بار $q$ در حال حرکت در میدان مغناطیسی $B$ تعیین می‌شود.

**شکل ۴.** با داشتن ذره‌ای به جرم $m$ در موقعیت $r$ که با سرعت حرکت می‌کند، آنگاه **تکانه زاویه‌ای** است.

تمرین‌ها

تمرین ۱. برداری $w$ عمود بر بردارهای $u = [2, 3, 4]^{T}$ و $v = [3, 4, 7]^{T}$ بیابید. سپس از این نتیجه برای یافتن برداری $x$ عمود بر هر دو $v$ و $w$ استفاده کنید.

تمرین ۲. یک اسکنر سه‌بعدی برای ساخت مدل سه‌بعدی یک چهره استفاده می‌شود. مثلثی را تشخیص می‌دهد که رئوس آن در $P = (2, 1, 1)$ ، $Q = (1, 1, 0)$ و $R = (1, 2, 3)$ قرار دارند. مساحت آن مثلث و همچنین برداری عمود بر مثلث را بیابید.³

تمرین ۳. حجم متوازی‌السطوحی را بیابید که رئوس آن $O = (0, 0, 0)$ ، $P = (2, 3, 1)$ ، $Q = (4, 3, 1)$ ، $R = (6, 6, 2)$ ، $A = (1, 1, 1)$ ، $B = (3, 4, 2)$ ، $C = (5, 4, 2)$ ، $D = (7, 7, 3)$ است.

تمرین ۴. بررسی کنید کدام یک از فرمول‌های زیر برای همه بردارهای $u, v, w, x, y$ همیشه درست هستند. اگر درست است، یا توضیح دهید، منبعی (مثلاً در وب) ذکر کنید، یا با دست یا جبر کامپیوتری تأیید کنید. اگر درست نیست، یک مثال نقض بیابید.

$u \cdot (v \times w) = v \cdot (w \times u)$
$u \times (v \times w) = (u \times v) \times w$
$u \times (v + w) = u \times v + u \times w$
$u \times (v \times w) = (u \cdot w) v - (u \cdot v) w$
$(u \times v) \cdot (x \times y) = (u \cdot x) (v \cdot y) - (u \cdot y) (v \cdot x)$

تمرین ۵. با داشتن دو بردار $p = [a, b, c]^{T}$ و $q = [u, v, w]^{T}$ ، ماتریس‌های را بسازید. $p \times q$ و $Q P - P Q$ را مقایسه کنید. آنچه می‌بینید را توصیف کنید. سعی کنید این را به صورت یک قضیه فرمول‌بندی کنید.

با قضیه‌ای از ژوزف برتراند در سال ۱۸۷۳ و کار ساندمن-فون زایپل↩︎
اُ. کنیل، کوشی بینه برای شبه‌دترمینان‌ها، جبر خطی و کاربردهای آن ۴۵۹ (۲۰۱۴) ۵۲۲-۵۴۷↩︎
فرمت STL که برای چاپ سه‌بعدی استفاده می‌شود، شکل بسیار ساده‌ای دارد. شامل ورودی‌هایی مانند

facet normal 0.15-0.97-0.20

outer loop

vertex -1.6996-0.5597-2.8360

vertex -1.8259-0.5793-2.8374

vertex -1.7232-0.5399-2.9509

endloop

endfacet

خط اول بردار نرمال را می‌دهد، سپس یک حلقه با سه رأس وجود دارد که مثلث را می‌دهد. واضح است که مقداری افزونگی وجود دارد چرا که می‌توان بردار نرمال را از نقاط با استفاده از ضرب خارجی به دست آورد. اما این کار هدفی دارد: اطلاعات افزونه کار با ساختار داده را سریع‌تر می‌کند، دوم، می‌توان به موقعیت‌هایی نگاه کرد که در آن بردار نرمال عمود بر سطح نیست، می‌توان نحوه‌ی "سایه‌زنی" آن را تغییر داد، مانند نحوه‌ی بازتاب نور در سطح. سوم، افزونگی همیشه برای شناسایی خطاها خوب است. اطلاعات ژنتیکی ما در DNA به صورت بسیار افزونه ذخیره می‌شود. این امکان تصحیح خطا را فراهم می‌کند.↩︎