Primeira Hora

Sumário

14.1 Palavras-chave para a Primeira Prova Horária
14.2 Primeira Prova Horária (Prática A)
14.3 Primeira Prova Horária (Prática B)
14.4 Primeira Prova Horária

14.1 Palavras-chave para a Primeira Prova Horária

Isto é uma espécie de lista de verificação. Faça a sua própria lista. Mas aqui está uma lista de verificação que tenta ser abrangente. Marque os tópicos que você conhece e volte a verificar com coisas que você não se lembra. Você precisará ter os seguintes na ponta dos dedos.

14.1.1 Teoremas

Cauchy-Schwarz $| v \cdot w | \leq | v | | w |$ em geral para $M (n, m)$
Pitágoras $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ para qualquer espaço com produto interno
Al Khashi $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (α)$ para qualquer triângulo
Unicidade da redução por linhas: $rref (A)$ é única em $M (n, m)$
A fórmula do produto escalar $v \cdot w = | v | | w | \cos (α)$
A fórmula do produto vetorial $| v \times w | = | v | | w | \sin (α)$
Imagem da transposta $im (A^{T})$ é o núcleo $\ker (A)$
Fórmula de Cauchy-Binet $| v \times w |^{2} = | v |^{2} | w |^{2} - (v \cdot w)^{2}$
Comprimento de arco \int_{a}^{b}|r^{\prime}(t)|\,d t para $r$ diferenciável
Fórmulas de curvatura |T^{\prime}| /|r^{\prime}|=|r^{\prime} \times r^{\prime \prime}| /|r^{\prime}|^{3}
Fórmula de Euler $e^{i t} = \cos (t) + i \sin (t)$ e caso especial
Fórmula de distorção $\sqrt{det (d r^{T} d r)} = | r_{u} \times r_{v} |$ para $r : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$

14.1.2 Demonstrações

O uso de definições e notações precisas
Ser capaz de argumentar por contradição
Pensar visualmente, fazer bons desenhos
Usar álgebra para abordar problemas geométricos
Dominar o método de indução
Conhecer os benefícios e riscos da intuição
Estar ciente da verificação assistida por computador
Acreditar na sua criatividade

14.1.3 Algoritmos

Encontrar o ângulo entre vetores ou matrizes
Encontrar a área do paralelogramo
Encontrar o volume do paralelepípedo
Reduzir uma matriz por linhas em $M (n, m)$
Obter posição a partir da velocidade ou aceleração
Encontrar o vetor perpendicular a um plano
Encontrar o comprimento de uma curva ou matriz
Encontrar a curvatura em algum ponto
Computar com números complexos
Alternar entre sistemas de coordenadas
Calcular o fator de distorção
Obter distâncias entre objetos

14.1.4 Objetos

Matrizes $A$
Vetores coluna e linha
Curvas parametrizadas $r (t) = [x (t), y (t), z (t)]^{T}$
Superfícies parametrizadas $r (u, v) = [x (u, v), y (u, v), z (u, v)]^{T}$
Funções $f (x, y, z)$
Superfícies de nível $f (x, y, z) = d$
Variedades lineares ${x ∣ A x = d}$
Variedades quadráticas ${x ∣ x^{T} B x + A x = d}$
Núcleo de uma aplicação linear ${x ∣ A x = 0}$
Imagem de uma aplicação linear ${A x ∣ x \in ℝ^{n}}$

14.1.5 Diferenciação

Velocidade r^{\prime}
Aceleração r^{\prime \prime}
Sobreaceleração (jerk) r^{\prime \prime \prime}
Queda livre: r^{\prime \prime}=v dado
Triedro de Frenet-Serret (TNB), T=r^{\prime} /|r^{\prime}|, N=T^{\prime} /|T^{\prime}|, $B = T \times N$
derivada $d r \in M (n, m)$ de uma aplicação $ℝ^{m} \to ℝ^{n}$
Matriz jacobiana $d r$ de uma aplicação $ℝ^{n} \to ℝ^{n}$
Fator de distorção $\sqrt{\det (d r^{T} d r)}$
Fator de distorção para $n = m$ simplifica para $| \det (d r) |$
Exemplo: r^{\prime}(t)=d r, \sqrt{\operatorname{det}(d r^{T} d r)}=|r^{\prime}| é a velocidade
Curvatura |T^{\prime}| /|r^{\prime}|, em $ℝ^{3}$ também |r^{\prime} \times r^{\prime \prime}| /|r^{\prime}|^{3}

14.1.6 Integração

Integrar para obter o comprimento do arco.
Integrar para obter posição a partir da velocidade etc.
Técnica de integração: substituição
Técnica de integração: integração por partes
Técnica de integração: frações parciais
Técnica de integração: simplificação

14.1.7 Sistemas de coordenadas

Coordenadas cartesianas
Coordenadas polares
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
Mudança geral de coordenadas
Fator de distorção $| \det (d r) | = \sqrt{\det (d r^{T} d r)}$

14.1.8 Superfícies Parametrizadas

Esferas
Superfícies de revolução
Gráficos
Planos
Toro
Helicoide

14.1.9 Pessoas

Mandelbrot
Hamilton
Descartes
Cauchy
Binet
Schwarz
Euler
Heine
Cantor
Bolzano
Arquimedes
Newton
Einstein
Napoleão

14.1.10 Geometria do Espaço

$v = [v_{1}, v_{2}, v_{3}]^{T}$ , $w = [w_{1}, w_{2}, w_{3}]^{T}$ , $v + w = [v_{1} + w_{1}, v_{2} + w_{2}, v_{3} + w_{3}]^{T}$
produto escalar $v \cdot w = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3} = | v | | w | \cos (α)$
ângulo $\cos (α) = (v \cdot w) / | v | | w |$
produto vetorial $v \cdot (v \times w) = 0$ , $w \cdot (v \times w) = 0$
área do paralelogramo $| v \times w | = | v | | w | \sin (α)$
produto misto $u \cdot (v \times w)$
volume do paralelepípedo: $| u \cdot (v \times w) |$
vetores paralelos $v \times w = 0$ , vetores ortogonais: $v \cdot w = 0$
projeção escalar ${comp}_{w} (v) = v \cdot w / | w |$
projeção vetorial ${proj}_{w} (v) = (v \cdot w) w / | w |^{2}$
completamento de quadrado: $x^{2} - 4 x + y^{2} = 1$ resulta em $(x - 2)^{2} + y^{2} = 5$
vetor unitário $=$ direção: vetor de comprimento $1$

14.1.11 Retas, Planos, Funções

equação paramétrica do plano $r (t, s) = p + t v + s w$ contendo $p$
plano $A^{T} [x, y, z] = a x + b y + c z = d$
equação paramétrica da reta $r (t) = p + t v$ contendo $p$
gráfico $G = {(x, y, f (x, y)) ∣ (x, y)$ no domínio de $f}$
plano $a x + b y + c z = d$ tem normal $n = [a, b, c]^{T}$
reta $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ contém $v = [a, b, c]^{T}$
plano passando por $A$ , $B$ , $C$ : encontre o vetor normal $(a, b, c) = A B \times C B$

14.1.12 Superfícies de nível

interceptos: interseções de uma superfície com eixos coordenados
traços: interseções de uma superfície com planos coordenados
traços generalizados: interseções com ${x = c}$ , ${y = c}$ ou ${z = c}$
superfície de nível $g (x, y, z) = c$ : Exemplo: gráfico $g (x, y, z) = z - f (x, y)$
equação linear como $2 x + 3 y + 5 z = 7$ define um plano
quádrica: elipsoide, paraboloide, hiperboloide, cilindro, cone

14.1.13 Fórmulas de distância

distância $d (P, Q) = | P Q | = \sqrt{(P_{1} - Q_{1})^{2} + (P_{2} - Q_{2})^{2} + (P_{3} - Q_{3})^{2}}$
distância ponto-plano: $d (P, Σ) = | (P Q) \cdot n | / | n |$
distância ponto-reta: $d (P, L) = | (P Q) \times u | / | u |$
distância reta-reta: $d (L, M) = | (P Q) \cdot (u \times v) | / | u \times v |$
distância entre retas paralelas $L$ , $M$ : distância ponto $d (P, M)$ onde $P$ está em $L$ .
distância entre planos paralelos: $d (P, Σ)$ onde $P$ está no primeiro plano.

14.1.14 Funções

gráfico: $z = f (x, y)$
curva de nível: $f (x, y) = c$ é uma curva no plano
mapa de curvas de nível: desenhe curvas $f (x, y) = c$ para vários $c$
superfície de nível: $f (x, y, z) = c$ no espaço

14.1.15 Curvas

curvas planas e espaciais $r (t)$
círculo: $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , $r (t) = [r \cos t, r \sin t]^{T}$
elipse: $(x - x_{0})^{2} / a^{2} + (y - y_{0})^{2} / b^{2} = 1$ , $r (t) = [x_{0} + a \cos t, y_{0} + b \sin t]^{T}$
velocidade r^{\prime}(t), aceleração r^{\prime \prime}(t), |r^{\prime}(t)| velocidade escalar
vetor tangente unitário T(t)=r^{\prime}(t) /|r^{\prime}(t)|
integração: obtenha $r (t)$ a partir de r^{\prime}(t) e $r (0)$ por integração
integração: obtenha $r (t)$ a partir da aceleração r^{\prime \prime}(t) bem como r^{\prime}(0) e $r (0)$
r^{\prime}(t) é tangente à curva no ponto $r (t)$
$r (t) = [f (t) \cos (t), f (t) \sin (t)]^{T}$ curva polar para gráfico polar $r = f (θ)$
\int_{a}^{b}|r^{\prime}(t)| \,d t, comprimento de arco da curva parametrizada
N(t)=T^{\prime}(t) /|T^{\prime}(t)| vetor normal, é perpendicular a $T (t)$
$B (t) = T (t) \times N (t)$ vetor binormal, é perpendicular a $T$ e $N$
\kappa(t)=|T^{\prime}(t)| /|r^{\prime}(t)| curvatura =|r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)| /|r^{\prime}(t)|^{3}
$κ (t)$ e comprimento de arco são independentes da parametrização

14.1.16 Coordenadas

Coordenadas cartesianas $(x, y, z)$
coordenadas polares $(x, y) = (r \cos (θ), r \sin (θ))$ , $r \geq 0$
coordenadas cilíndricas $(x, y, z) = (r \cos (θ), r \sin (θ), z)$ , $r \geq 0$
coordenadas esféricas $(x, y, z) = (ρ \cos (θ) \sin (ϕ), ρ \sin (θ) \sin (ϕ), ρ \cos (ϕ))$
raio: $r = x^{2} + y^{2}$ e raio esférico $ρ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$
raio: relação importante $r = ρ \sin (ϕ)$
Matriz jacobiana
Fator de distorção

14.1.17 Superfícies

$g (r, θ) = 0$ curva polar, especialmente $r = f (θ)$ , gráficos polares
$r = f (z, θ)$ superfície cilíndrica, $r = r (z)$ superfície de revolução
$g (ρ, θ, ϕ) = 0$ superfície esférica: exemplo $ρ = 1$ esfera
$f (x, y) = c$ curvas de nível de $f (x, y)$
plano: $a x + b y + c z = d$ , $r (s, t) = r_{0} + s v + t w$ , $[a, b, c]^{T} = v \times w$
superfície de revolução: $x^{2} + y^{2} = r (z)^{2}$ , $r (θ, z) = [r (z) \cos (θ), r (z) \sin (θ), z]^{T}$

gráfico:

g (x, y, z) = z - f (x, y) = 0

r (x, y) = [x, y, f (x, y)]^{T}

gráfico rotacionado

g (x, y, z) = y - f (x, z) = 0

r (x, z) = [x, f (x, z), z]^{T}

elipsoide:

r (θ, ϕ) = [a \cos θ \sin ϕ, b \sin θ \sin ϕ, c \cos ϕ]^{T}

esfera unitária:

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

r (u, v) = [\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v]^{T}

14.2 Primeira Prova Horária (Prática A)

Problema 14A.1 (10 pontos):

Os números de Fibonacci são definidos recursivamente da seguinte forma: comece com $F_{0} = 0$ , $F_{1} = 1$ e então defina $F_{n + 1} = F_{n} + F_{n - 1}$ , de modo que $F_{2} = 1$ , $F_{3} = 2$ , $F_{4} = 3$ , $F_{5} = 5$ etc. Prove que $F_{0} + F_{1} + \dots + F_{n} = F_{n + 2} - 1$ para todo inteiro positivo $n$ .

Problema 14A.2 (10 pontos):

Sejam $A = [\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}], B = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] .$

(4 pontos) Calcule $A B$ e $rref (A B)$ .
(4 pontos) Agora, reduza por linhas ambas $A$ e $B$ e forme $rref (A) rref (B)$ .
(2 pontos) A afirmação $rref (A B) = rref (A) rref (B)$ é verdadeira para todas $A$ , $B$ ?

Problema 14A.3 (10 pontos):

(2 pontos) Parametrize a reta que passa por $(1, 1, 1)$ e $(4, 3, 1)$ em $ℝ^{3}$ .
(2 pontos) Parametrize a elipse $x^{2} / 16 + y^{2} / 25 = 1$ em $ℝ^{2}$ .
(2 pontos) Parametrize o gráfico $y = x^{5} + x$ em $ℝ^{2}$ .
(2 pontos) Parametrize o círculo $x^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ , $z = 4$ em $ℝ^{3}$ .
(2 pontos) Parametrize a reta $x = y = z$ em $ℝ^{3}$ .

Problema 14A.4 (10 pontos):

Encontre o comprimento de arco da curva $r (t) = [t \cos (t^{2}), t \sin (t^{2}), t^{2}]$ para $0 \leq t \leq 2$ .

Problema 14A.5 (10 pontos):

(2 pontos) O que é o teorema de Heine-Cantor?
(2 pontos) Formule a desigualdade triangular.
(2 pontos) O que é a identidade de Al Kashi?
(2 pontos) Dê o nome de uma função não diferenciável em lugar algum.
(2 pontos) É verdade que uma curva contínua $r (t)$ tem comprimento de arco finito?

Problema 14A.6 (10 pontos):

(2 pontos) Encontre $(3 + i) (4 + 2 i)$ .
(2 pontos) Quanto é $e^{i 3 π / 4}$ ?
(2 pontos) Converta de coordenadas cilíndricas $(r, θ, z) = (2, π / 2, 1)$ para cartesianas.
(2 pontos) Quais são as coordenadas esféricas de $(1, \sqrt{3}, 2)$ ?
(2 pontos) Que superfície é dada em coordenadas esféricas por $ρ \sin (ϕ) = 1$ ?

Problema 14A.7 (10 pontos):

(5 pontos) São dados r^{\prime \prime \prime}(t) = (3, 4, 5) e $r (0) = (7, 8, 9)$ e r^{\prime}(0)=(1,0,0) e r^{\prime \prime}(0)=(0,1,0). Encontre $r (1)$ .
(5 pontos) Qual é a curvatura de $r (t) = [t, t + t^{2}, t + t^{2} + t^{3}]$ em $t = 0$ ?

Problema 14A.8 (10 pontos):

(5 pontos) Encontre uma parametrização $r (u, v)$ do cilindro $x^{2} + z^{2} = 9$ .
(5 pontos) Encontre $r (u, v)$ para o paraboloide $y^{2} + 3 z^{2} = x$ .

Problema 14A.9 (10 pontos):

Seja $A = [\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] .$

(2 pontos) A imagem de $A$ é um plano. Usando o produto vetorial, escreva-a como $a x + b y + c z = d$ .
(2 pontos) Qual é a primeira forma fundamental $g = A^{T} A$ ?
(2 pontos) Do item a) você tem $[a, b, c]^{T} = v \times w$ . Encontre $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .
(2 pontos) Encontre o fator de distorção $‖ A ‖ = \sqrt{\det (A^{T} A)}$ de $A$ .
(2 pontos) Que teorema foi envolvido para ver que $‖ A ‖ = | v \times w |$ ?

Problema 14A.10 (10 pontos):

(5 pontos) Qual é a matriz jacobiana $d f$ da aplicação $f (x, y, z) = {[x^{2} + y^{2} + z^{2}, x + y, - x^{2}]}^{T} ?$
(5 pontos) Encontre o fator de distorção $\det (d f)$ .

14.3 Primeira Prova Horária (Prática B)

Problema 14B.1 (10 pontos):

Prove que $1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^{n} = 2^{n + 1} - 1$ para todo inteiro positivo $n$ .

Problema 14B.2 (10 pontos):

(5 pontos) Reduza por linhas a matriz $A = [\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \end{array}] .$
(5 pontos) Calcule o produto matricial $[\begin{array}{lll} 3 & 4 & 5 \end{array}] A [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] .$

Problema 14B.3 (10 pontos):

(2 pontos) Parametrize a curva $x = \sin (y)$ em $ℝ^{2}$ .
(2 pontos) Parametrize a curva $r = \sin^{2} (5 θ)$ em $ℝ^{2}$ .
(2 pontos) Parametrize a curva $y = x^{5} + x$ , $z = 4$ em $ℝ^{3}$ .
(2 pontos) Parametrize a reta $2 x + y = 4$ em $ℝ^{2}$ .
(2 pontos) Parametrize a elipse $(x - 1)^{2} + y^{2} / 4 = 1$ em $ℝ^{2}$ .

Problema 14B.4 (10 pontos):

Encontre o comprimento de arco da curva $r (t) = [\begin{matrix} e^{t} \\ e^{- t} \\ \sqrt{2} t \end{matrix}]$ para $0 \leq t \leq 1$ .

Problema 14B.5 (10 pontos):

(2 pontos) Formule a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
(2 pontos) Que fórmula fornece a área do paralelogramo gerado por dois vetores $v$ e $w$ ?
(2 pontos) Que fórmula fornece o volume de um paralelepípedo gerado por três vetores $u$ , $v$ , $w$ ?
(2 pontos) Quem inventou os quatérnios?
(2 pontos) Suponha $rref (A) = rref (B)$ . Isso significa que $A = B$ ?

Problema 14B.6 (10 pontos):

(2 pontos) Escreva o número complexo $z = e^{- i π / 2}$ na forma $z = a + i b$ .
(2 pontos) Qual ponto $(x, y, z)$ tem as coordenadas cilíndricas $(r, θ, z) = (1, π / 2, 0)$ ?
(2 pontos) Quais são as coordenadas esféricas $(ρ, ϕ, θ)$ do ponto $(x, y, z) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, - 2)$ ?
(2 pontos) Que superfície é $ρ \sin^{2} (ϕ) = \cos (ϕ)$ ? Dê o nome e escreva-a em coordenadas cartesianas.
(2 pontos) Que superfície é dada em coordenadas cilíndricas pela equação $r \sin (θ) = 2$ ?

Problema 14B.7 (10 pontos):

(5 pontos) São dados r^{\prime \prime}(t)=\left[\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ t\end{array}\right], \quad r(0)=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right], \quad r^{\prime}(0)=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]. Encontre $r (1)$ .
(5 pontos) Qual é a curvatura de $r (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{matrix}]$ em $t = 0$ ?

Problema 14B.8 (10 pontos):

(2 pontos) Encontre uma parametrização do cone $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ .
(2 pontos) Encontre uma parametrização de $x^{2} / 4 + y^{2} / 9 + z^{2} / 16 = 1$ .
(2 pontos) Encontre uma parametrização da superfície $x^{2} - y^{2} = z$ .
(2 pontos) Encontre uma parametrização do plano $z = 2$ .
(2 pontos) Encontre uma parametrização do cilindro $x^{2} + z^{2} = 1$ .

Problema 14B.9 (10 pontos):

(5 pontos) Encontre o produto escalar $A \cdot B = tr (A^{T} B)$ entre as duas matrizes \begin{aligned} & A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right], \\ & B=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right]. \end{aligned}
(5 pontos) Encontre o cosseno do ângulo entre essas duas matrizes.

Problema 14B.10 (10 pontos):

(5 pontos) Qual é a matriz jacobiana $d f$ da mudança de coordenadas $f ([\begin{array}{l} x \\ y \end{array}]) = [\begin{matrix} 2 x - y + \sin (x) \\ x \end{matrix}] .$
(5 pontos) Qual é o fator de distorção $\det (d f)$ da aplicação $f$ que, a propósito, é chamada de mapa de Chirikov.

14.4 Primeira Prova Horária

Problema 14.1 (10 pontos):

Prove por indução que para todo $n \geq 1$ a fórmula $2 \sum_{k = 0}^{n - 1} 3^{k} =$ $3^{n} - 1$ é válida.

Problema 14.2 (10 pontos):

(5 pontos) Reduza por linhas a matriz $A = [\begin{array}{lllll} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \end{array}]$ usando passos básicos de redução por linhas.
(5 pontos) Para $B = [\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \end{array}]$ calcule ou $A B$ ou $B A$ , dependendo de qual das duas faz sentido.

Problema 14.3 (10 pontos):

(2 pontos) Parametrize a curva $4 x^{2} + y^{2} = 1$ em $ℝ^{2}$ .
(2 pontos) Parametrize a curva $y - e^{x} = 0$ em $ℝ^{2}$ .
(2 pontos) Parametrize a curva $x = y^{3}$ , $z = 4$ em $ℝ^{3}$ .
(2 pontos) Parametrize a reta $x + y = 4$ , $z = 2$ em $ℝ^{3}$ .
(2 pontos) Parametrize o círculo $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ , $z = 1$ em $ℝ^{3}$ .

Problema 14.4 (10 pontos):

(8 pontos) Calcule o comprimento de arco de $r (t) = [\frac{t^{3}}{3}, \sqrt{2} \frac{t^{4}}{4}, \frac{t^{5}}{5}]$ para $0 \leq t \leq 1$ .
(2 pontos) Sem fazer nenhum cálculo, qual é o comprimento de arco da nova parametrização $r (t^{3})$ com $0 \leq t \leq 1$ ?

Problema 14.5 (10 pontos):

(2 pontos) Formule a fórmula de $Al$ Khashi.
(2 pontos) Vimos um teorema de Heine- $\dots \dots$ . Preencha o segundo nome!
(2 pontos) O espaço linear ${x ∣ A x = 0}$ também é chamado de $\dots \dots$ de $A$ .
(2 pontos) Dê a fórmula de Euler $e^{i t} = \dots \dots$ e deduza a "fórmula mais bonita da matemática".
(2 pontos) A matriz $rref (A) = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$ está reduzida por linhas?

Problema 14.6 (10 pontos):

(2 pontos) Expresse $z = e^{i π / 2} + 3 e^{i π}$ na forma $z = a + i b$ .
(2 pontos) Escreva $(r, θ, z) = (2, - π / 2, 0)$ em coordenadas cartesianas.
(2 pontos) Escreva $(x, y, z) = (2, 2, 0)$ em coordenadas esféricas $(ρ, ϕ, θ)$ .
(2 pontos) Escreva a superfície $ρ \cos (ϕ) = 2$ em coordenadas cartesianas.
(2 pontos) Escreva a superfície $r \cos (θ) = 2$ em coordenadas cartesianas.

Problema 14.7 (10 pontos):

(5 pontos) São dados r^{\prime \prime}(t)=\left[\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ \cos (t)\end{array}\right], \quad r(0)=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right], \quad r^{\prime}(0)=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right]. Encontre $r (1)$ .
(2 pontos) Existe um instante $t$ tal que a curva $r (t)$ atinge o solo $z = 0$ ?
(3 pontos) Qual é a curvatura de $r (t) = [\begin{matrix} t^{2} \\ \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ em $t = 0$ ?

Problema 14.8 (10 pontos):

Parametrizamos algumas superfícies. Escolha os parâmetros por conta própria.

(2 pontos) Encontre uma parametrização do hiperboloide $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ .
(2 pontos) Encontre uma parametrização do cilindro $(x - 1)^{2} / 4 + y^{2} / 9 = 1$ .
(2 pontos) Encontre uma parametrização da superfície $z = \cos (x y)$ .
(2 pontos) Encontre uma parametrização do plano $x + y - 3 z = 1$ .
(2 pontos) Encontre uma parametrização do cilindro $x^{2} / 9 + (y - 2)^{2} = 1$ .

Problema 14.9 (10 pontos):

(4 pontos) Calcule o produto escalar (produto interno) $A \cdot B = tr (A^{T} B)$ das duas matrizes $A = [\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}], B = [\begin{array}{lll} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \end{array}]$
(4 pontos) Agora determine o cosseno do ângulo entre $A$ e $B$ .
(2 pontos) Finalmente, encontre a distância $| A - B |$ entre $A$ e $B$ .

Problema 14.10 (10 pontos):

(4 pontos) Qual é a matriz jacobiana $d r$ da mudança de coordenadas $r ([\begin{array}{l} x \\ y \end{array}]) = [\begin{matrix} 4 x + y \\ y^{2} \end{matrix}] ?$
(2 pontos) Agora encontre a primeira forma fundamental $g = d r^{T} d r$ .
(2 pontos) Calcule o fator de distorção $| \det (d r) |$ .

(2 pontos) Verifique, neste caso, que

| \det (d r) | = \sqrt{\det (g)}