اولین ساعتی

14.1 واژگان کلیدی برای امتحان اول

این یک نوع چک‌لیست است. لیست خودتان را بسازید. اما در اینجا یک چک‌لیست جامع ارائه شده است. مباحثی را که می‌دانید علامت بزنید و به مواردی که به خاطر نمی‌آورید مراجعه کنید. شما باید موارد زیر را در نوک انگشتان خود داشته باشید.

14.1.1 قضایا

• کوشی-شوارتز $|v\cdot w|\le |v||w|$ به‌طور کلی برای $M(n,m)$
• فیثاغورس $c^2=a^2+b^2$ برای هر فضای ضرب داخلی
• الکاشی $c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\alpha )$ برای هر مثلث
• یگانگی کاهش سطری: $\mathrm{rref}(A)$ در $M(n,m)$ یکتاست
• فرمول ضرب نقطه‌ای $v\cdot w=|v||w|\cos (\alpha )$
• فرمول ضرب خارجی $|v\times w|=|v||w|\sin (\alpha )$
• تصویر ترانهاده $\mathrm{im}(A^T)$ همان هسته $\ker (A)$ است
• فرمول کوشی-بینه $|v\times w{|}^2=|v{|}^2|w{|}^2-(v\cdot w{)}^2$
• طول قوس برای $r$ مشتق‌پذیر
• فرمول‌های انحنا
• فرمول اویلر $e^{it}=\cos (t)+i\sin (t)$ و حالت خاص
• فرمول اعوجاج $\sqrt{det(d{r}^{T}dr)}=|r_u\times r_v|$ برای $r:{ℝ}^2\to {ℝ}^3$

14.1.2 اثبات‌ها

• استفاده از تعاریف دقیق و نمادگذاری
• توانایی استدلال از طریق برهان خلف
• بصری فکر کنید، تصاویر خوب رسم کنید
• از جبر برای حل مسائل هندسی استفاده کنید
• بر روش استقرا مسلط شوید
• از مزایا و مخاطرات شهود آگاه باشید
• از تأیید به‌کمک رایانه آگاه باشید
• به خلاقیت خود باور داشته باشید

14.1.3 الگوریتم‌ها

• یافتن زاویه بین بردارها یا ماتریس‌ها
• یافتن مساحت متوازی‌الاضلاع
• یافتن حجم متوازی‌السطوح
• کاهش سطری یک ماتریس در $M(n,m)$
• به‌دست آوردن موقعیت از سرعت یا شتاب
• یافتن بردار عمود بر یک صفحه
• یافتن طول یک منحنی یا ماتریس
• یافتن انحنا در یک نقطه
• محاسبه با اعداد مختلط
• جابه‌جایی بین دستگاه‌های مختصات
• محاسبه ضریب اعوجاج
• به‌دست آوردن فاصله بین اشیاء

14.1.4 اشیاء

• ماتریس‌های $A$
• بردارهای ستونی و سطری
• منحنی‌های پارامتری‌سازی شده $r(t)=[x(t),y(t),z(t){]}^T$
• سطوح پارامتری‌سازی شده $r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v){]}^T$
• توابع $f(x,y,z)$
• سطوح تراز $f(x,y,z)=d$
• خمینه‌های خطی $\{x\mid Ax=d\}$
• خمینه‌های درجه دوم $\{x\mid x^{T}Bx+Ax=d\}$
• هسته یک نگاشت خطی $\{x\mid Ax=0\}$
• تصویر یک نگاشت خطی $\{Ax\mid x\in {ℝ}^n\}$

14.1.5 مشتق‌گیری

• سرعت
• شتاب
• جرک
• سقوط آزاد: داده شده
• قاب TNB، ، ، $B=T\times N$
• مشتق $dr\in M(n,m)$ از یک نگاشت ${ℝ}^m\to {ℝ}^n$
• ماتریس ژاکوبی $dr$ از یک نگاشت ${ℝ}^n\to {ℝ}^n$
• ضریب اعوجاج $\sqrt{\det (d{r}^{T}dr)}$
• ضریب اعوجاج برای $n=m$ به $|\det (dr)|$ ساده می‌شود
• مثال: ، تندی است
• انحنا ، در ${ℝ}^3$ همچنین

14.1.6 انتگرال‌گیری

• انتگرال بگیرید تا طول قوس به‌دست آید.
• انتگرال بگیرید تا موقعیت از سرعت و غیره به‌دست آید.
• تکنیک انتگرال‌گیری: تغییر متغیر
• تکنیک انتگرال‌گیری: جزء به جزء
• تکنیک انتگرال‌گیری: کسرهای جزئی
• تکنیک انتگرال‌گیری: ساده‌سازی

14.1.7 دستگاه‌های مختصات

• مختصات دکارتی
• مختصات قطبی
• مختصات استوانه‌ای
• مختصات کروی
• تغییر مختصات عمومی
• ضریب اعوجاج $|\det (dr)|=\sqrt{\det (d{r}^{T}dr)}$

14.1.8 سطوح پارامتری‌سازی شده

• کره‌ها
• سطوح دورانی
• نمودارها
• صفحات
• چنبره
• مارپیچ‌گون

14.1.9 اشخاص

• ماندلبروت
• همیلتون
• دکارت
• کوشی
• بینه
• شوارتز
• اویلر
• هاینه
• کانتور
• بولتزانو
• ارشمیدس
• نیوتن
• اینشتین
• ناپلئون

14.1.10 هندسه فضا

• $v=[v_1,v_2,v_3{]}^T$، $w=[w_1,w_2,w_3{]}^T$، $v+w=[v_1+w_1,v_2+w_2,v_3+w_3{]}^T$
• ضرب نقطه‌ای $v\cdot w=v_1{w}_1+v_2{w}_2+v_3{w}_3=|v||w|\cos (\alpha )$
• زاویه $\cos (\alpha )=(v\cdot w)/|v||w|$
• ضرب خارجی $v\cdot (v\times w)=0$، $w\cdot (v\times w)=0$
• مساحت متوازی‌الاضلاع $|v\times w|=|v||w|\sin (\alpha )$
• ضرب سه‌گانه اسکالر $u\cdot (v\times w)$
• حجم متوازی‌السطوح: $|u\cdot (v\times w)|$
• بردارهای موازی: $v\times w=0$، بردارهای متعامد: $v\cdot w=0$
• تصویر اسکالر ${\mathrm{comp}}_w(v)=v\cdot w/|w|$
• تصویر برداری ${\mathrm{proj}}_w(v)=(v\cdot w)w/|w{|}^2$
• تکمیل مربع: $x^2-4x+y^2=1$ نتیجه می‌دهد $(x-2{)}^2+y^2=5$
• بردار یکه = جهت: برداری به طول $1$

14.1.11 خطوط، صفحات، توابع

• معادله پارامتری صفحه $r(t,s)=p+tv+sw$ شامل $p$
• صفحه $A^T[x,y,z]=ax+by+cz=d$
• معادله پارامتری خط $r(t)=p+tv$ شامل $p$
• نمودار $G=\{(x,y,f(x,y))\mid (x,y)$ در دامنه $f\}$
• صفحه $ax+by+cz=d$ دارای بردار نرمال $n=[a,b,c{]}^T$
• خط $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ شامل $v=[a,b,c{]}^T$
• صفحه گذرنده از $A$، $B$، $C$: بردار نرمال $(a,b,c)=AB\times CB$ را بیابید

14.1.12 سطوح تراز

• نقاط تقاطع: تقاطع‌های یک سطح با محورهای مختصات
• آثار: تقاطع‌های یک سطح با صفحات مختصات
• آثار تعمیم‌یافته: تقاطع‌ها با $\{x=c\}$، $\{y=c\}$ یا $\{z=c\}$
• سطح تراز $g(x,y,z)=c$: مثال: نمودار $g(x,y,z)=z-f(x,y)$
• معادله خطی مانند $2x+3y+5z=7$ یک صفحه را تعریف می‌کند
• رویه درجه دوم: بیضی‌گون، سهمی‌گون، هذلولی‌گون، استوانه، مخروط

14.1.13 فرمول‌های فاصله

• فاصله $d(P,Q)=|PQ|=\sqrt{(P_1-Q_1{)}^2+(P_2-Q_2{)}^2+(P_3-Q_3{)}^2}$
• فاصله نقطه-صفحه: $d(P,\mathrm{\Sigma })=|(PQ)\cdot n|/|n|$
• فاصله نقطه-خط: $d(P,L)=|(PQ)\times u|/|u|$
• فاصله خط-خط: $d(L,M)=|(PQ)\cdot (u\times v)|/|u\times v|$
• فاصله خطوط موازی $L$ و $M$ برابر فاصله نقطه $d(P,M)$ که $P$ روی $L$ است.
• فاصله صفحات موازی: $d(P,\mathrm{\Sigma })$ که $P$ در صفحه اول است.

14.1.14 توابع

• نمودار: $z=f(x,y)$
• منحنی تراز: $f(x,y)=c$ یک منحنی در صفحه است
• نقشه تراز: رسم منحنی‌های $f(x,y)=c$ برای $c$های مختلف
• سطح تراز: $f(x,y,z)=c$ در فضا

14.1.15 منحنی‌ها

• منحنی‌های صفحه‌ای و فضایی $r(t)$
• دایره: $x^2+y^2=r^2$، $r(t)=[r\cos t,r\sin t{]}^T$
• بیضی: $(x-x_0{)}^2/a^2+(y-y_0{)}^2/b^2=1$، $r(t)=[x_0+a\cos t,y_0+b\sin t{]}^T$
• سرعت ، شتاب ، تندی
• بردار مماس یکه
• انتگرال‌گیری: به‌دست آوردن $r(t)$ از و $r(0)$ با انتگرال‌گیری
• انتگرال‌گیری: به‌دست آوردن $r(t)$ از شتاب و همچنین و $r(0)$
• بر منحنی در نقطه $r(t)$ مماس است
• $r(t)=[f(t)\cos (t),f(t)\sin (t){]}^T$ منحنی قطبی به نمودار قطبی $r=f(\theta )$
• ، طول قوس منحنی پارامتری
• بردار نرمال ، بر $T(t)$ عمود است
• بردار دو-نرمال $B(t)=T(t)\times N(t)$، بر $T$ و $N$ عمود است
• انحنا
• $\kappa (t)$ و طول قوس مستقل از پارامتریسازی هستند

14.1.16 مختصات

• مختصات دکارتی $(x,y,z)$
• مختصات قطبی $(x,y)=(r\cos (\theta ),r\sin (\theta ))$، $r\ge 0$
• مختصات استوانه‌ای $(x,y,z)=(r\cos (\theta ),r\sin (\theta ),z)$، $r\ge 0$
• مختصات کروی $(x,y,z)=(\rho \cos (\theta )\sin (\varphi ),\rho \sin (\theta )\sin (\varphi ),\rho \cos (\varphi ))$
• شعاع: $r=x^2+y^2$ و شعاع کروی $\rho =x^2+y^2+z^2$
• شعاع: رابطه مهم $r=\rho \sin (\varphi )$
• ماتریس ژاکوبی
• ضریب اعوجاج

14.1.17 سطوح

• $g(r,\theta )=0$ منحنی قطبی، به‌ویژه $r=f(\theta )$، نمودارهای قطبی
• $r=f(z,\theta )$ سطح استوانه‌ای، $r=r(z)$ سطح دورانی
• $g(\rho ,\theta ,\varphi )=0$ سطح کروی: مثال $\rho =1$ کره
• $f(x,y)=c$ منحنی‌های تراز $f(x,y)$
• صفحه: $ax+by+cz=d$، $r(s,t)=r_0+sv+tw$، $[a,b,c{]}^T=v\times w$
• سطح دورانی: $x^2+y^2=r(z{)}^2$، $r(\theta ,z)=[r(z)\cos (\theta ),r(z)\sin (\theta ),z{]}^T$

14.2 آزمون اول (تمرین الف)

مسئله 14A.1 (10 امتیاز):

اعداد فیبوناچی به صورت بازگشتی به صورت زیر تعریف می‌شوند: با $F_0=0$، $F_1=1$ شروع کنید سپس $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ را تعریف کنید، به طوری که $F_2=1$، $F_3=2$، $F_4=3$، $F_5=5$ و غیره. ثابت کنید که $$F_0+F_1+\cdots +F_n=F_{n+2}-1$$ برای هر عدد صحیح مثبت $n$.

مسئله 14A.2 (10 امتیاز):

فرض کنید

1. (4 امتیاز) $AB$ و $\mathrm{rref}(AB)$ را محاسبه کنید.
2. (4 امتیاز) اکنون هر دو ماتریس $A$ و $B$ را کاهش سطری دهید و $\mathrm{rref}(A)\mathrm{rref}(B)$ را تشکیل دهید.
3. (2 امتیاز) آیا عبارت $\mathrm{rref}(AB)=\mathrm{rref}(A)\mathrm{rref}(B)$ برای تمام $A$، $B$ درست است؟

مسئله 14A.3 (10 امتیاز):

1. (2 امتیاز) خط گذرنده از $(1,1,1)$ و $(4,3,1)$ را در ${ℝ}^3$ پارامتری کنید.
2. (2 امتیاز) بیضی $x^2/16+y^2/25=1$ را در ${ℝ}^2$ پارامتری کنید.
3. (2 امتیاز) نمودار $y=x^5+x$ را در ${ℝ}^2$ پارامتری کنید.
4. (2 امتیاز) دایره $x^2+(y-2{)}^2=1$، $z=4$ را در ${ℝ}^3$ پارامتری کنید.
5. (2 امتیاز) خط $x=y=z$ را در ${ℝ}^3$ پارامتری کنید.

مسئله 14A.4 (10 امتیاز):

طول قوس منحنی $$r(t)=[t\cos (t^2),t\sin (t^2),t^2]$$ را برای $0\le t\le 2$ بیابید.

مسئله 14A.5 (10 امتیاز):

1. (2 امتیاز) قضیه هاینه-کانتور چیست؟
2. (2 امتیاز) نامساوی مثلثی را بیان کنید.
3. (2 امتیاز) اتحاد الکاشی چیست؟
4. (2 امتیاز) نام یک تابع هیچ‌جا مشتق‌پذیر را بدهید.
5. (2 امتیاز) آیا درست است که یک منحنی پیوسته $r(t)$ طول قوس متناهی دارد؟

مسئله 14A.6 (10 امتیاز):

1. (2 امتیاز) $(3+i)(4+2i)$ را بیابید.
2. (2 امتیاز) $e^{i3\pi /4}$ چیست؟
3. (2 امتیاز) از مختصات استوانه‌ای $(r,\theta ,z)=(2,\pi /2,1)$ به مختصات دکارتی تبدیل کنید.
4. (2 امتیاز) مختصات کروی $(1,\sqrt{3},2)$ چیست؟
5. (2 امتیاز) چه سطحی در مختصات کروی با $\rho \sin (\varphi )=1$ داده می‌شود؟

مسئله 14A.7 (10 امتیاز):

1. (5 امتیاز) داده شده است و $r(0)=(7,8,9)$ و و . $r(1)$ را بیابید.
2. (5 امتیاز) انحنای $r(t)=[t,t+t^2,t+t^2+t^3]$ در $t=0$ چیست؟

مسئله 14A.8 (10 امتیاز):

1. (5 امتیاز) یک پارامتریزاسیون $r(u,v)$ برای استوانه $x^2+z^2=9$ بیابید.
2. (5 امتیاز) $r(u,v)$ را برای سهمی‌گون $y^2+3z^2=x$ بیابید.

مسئله 14A.9 (10 امتیاز):

فرض کنید

1. (2 امتیاز) تصویر $A$ یک صفحه است. با استفاده از ضرب خارجی، آن را به صورت $ax+by+cz=d$ بنویسید.
2. (2 امتیاز) فرم بنیادی اول $g=A^{T}A$ چیست؟
3. (2 امتیاز) از قسمت الف) داریم $[a,b,c{]}^T=v\times w$. $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ را بیابید.
4. (2 امتیاز) ضریب اعوجاج $\Vert A\Vert =\sqrt{\det (A^{T}A)}$ را برای $A$ بیابید.
5. (2 امتیاز) برای دیدن $\Vert A\Vert =|v\times w|$ از چه قضیه‌ای استفاده شده است؟

مسئله 14A.10 (10 امتیاز):

1. (5 امتیاز) ماتریس ژاکوبی $df$ نگاشت $$f(x,y,z)={[x^2+y^2+z^2,x+y,-x^2]}^T$$ چیست؟
2. (5 امتیاز) ضریب اعوجاج $\det (df)$ را بیابید.

14.3 آزمون اول (تمرین ب)

مسئله 14B.1 (10 امتیاز):

ثابت کنید که $1+2+4+8+\cdots +2^n=2^{n+1}-1$ برای هر عدد صحیح مثبت $n$.

مسئله 14B.2 (10 امتیاز):

1. (5 امتیاز) ماتریس را کاهش سطری دهید.
2. (5 امتیاز) حاصل‌ضرب ماتریسی را محاسبه کنید.

مسئله 14B.3 (10 امتیاز):

1. (2 امتیاز) منحنی $x=\sin (y)$ را در ${ℝ}^2$ پارامتری کنید.
2. (2 امتیاز) منحنی $r={\sin }^2(5\theta )$ را در ${ℝ}^2$ پارامتری کنید.
3. (2 امتیاز) منحنی $y=x^5+x$، $z=4$ را در ${ℝ}^3$ پارامتری کنید.
4. (2 امتیاز) خط $2x+y=4$ را در ${ℝ}^2$ پارامتری کنید.
5. (2 امتیاز) بیضی $(x-1{)}^2+y^2/4=1$ را در ${ℝ}^2$ پارامتری کنید.

مسئله 14B.4 (10 امتیاز):

طول قوس منحنی $$r(t)=\left[\begin{array}{c}{e}^t\\ e^{-t}\\ \sqrt{2}t\end{array}\right]$$ را برای $0\le t\le 1$ بیابید.

مسئله 14B.5 (10 امتیاز):

1. (2 امتیاز) نامساوی کوشی-شوارتز را بیان کنید.
2. (2 امتیاز) چه فرمولی مساحت متوازی‌الاضلاع ایجاد شده توسط دو بردار $v$ و $w$ را می‌دهد؟
3. (2 امتیاز) چه فرمولی حجم متوازی‌السطوح ایجاد شده توسط سه بردار $u$، $v$، $w$ را می‌دهد؟
4. (2 امتیاز) چه کسی کواترنیون‌ها را اختراع کرد؟
5. (2 امتیاز) فرض کنید $\mathrm{rref}(A)=\mathrm{rref}(B)$. آیا این به معنی $A=B$ است؟

مسئله 14B.6 (10 امتیاز):

1. (2 امتیاز) عدد مختلط $z=e^{-i\pi /2}$ را به صورت $z=a+ib$ بنویسید.
2. (2 امتیاز) کدام نقطه $(x,y,z)$ مختصات استوانه‌ای $(r,\theta ,z)=(1,\pi /2,0)$ دارد؟
3. (2 امتیاز) مختصات کروی $(\rho ,\varphi ,\theta )$ نقطه $(x,y,z)=(\sqrt{2},\sqrt{2},-2)$ چیست؟
4. (2 امتیاز) سطح $\rho {\sin }^2(\varphi )=\cos (\varphi )$ چیست؟ نام آن را بدهید و آن را به مختصات دکارتی بنویسید.
5. (2 امتیاز) چه سطحی در مختصات استوانه‌ای با معادله $r\sin (\theta )=2$ داده می‌شود؟

مسئله 14B.7 (10 امتیاز):

1. (5 امتیاز) داده شده است $r(1)$ را بیابید.
2. (5 امتیاز) انحنای $$r(t)=\left[\begin{array}{c}\cos (t)\\ \sin (t)\\ t\end{array}\right]$$ در $t=0$ چیست؟

مسئله 14B.8 (10 امتیاز):

1. (2 امتیاز) یک پارامتریزاسیون برای مخروط $x^2+y^2=z^2$ بیابید.
2. (2 امتیاز) یک پارامتریزاسیون برای $x^2/4+y^2/9+z^2/16=1$ بیابید.
3. (2 امتیاز) یک پارامتریزاسیون برای سطح $x^2-y^2=z$ بیابید.
4. (2 امتیاز) یک پارامتریزاسیون برای صفحه $z=2$ بیابید.
5. (2 امتیاز) یک پارامتریزاسیون برای استوانه $x^2+z^2=1$ بیابید.

مسئله 14B.9 (10 امتیاز):

1. (5 امتیاز) ضرب نقطه‌ای $A\cdot B=\mathrm{tr}(A^{T}B)$ را بین دو ماتریس بیابید.
2. (5 امتیاز) کسینوس زاویه بین این دو ماتریس را بیابید.

مسئله 14B.10 (10 امتیاز):

1. (5 امتیاز) ماتریس ژاکوبی $df$ تغییر مختصات $$f\left(\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}2x-y+\sin (x)\\ x\end{array}\right]$$ چیست؟
2. (5 امتیاز) ضریب اعوجاج $\det (df)$ نگاشت $f$ که به هر حال نقشه چیریکوف نامیده می‌شود چیست؟

14.4 آزمون اول

مسئله 14.1 (10 امتیاز):

با استقرا ثابت کنید که برای هر $n\ge 1$ فرمول $2\sum _{k=0}^{n-1}{3}^k=$ $3^n-1$ برقرار است.

مسئله 14.2 (10 امتیاز):

1. (5 امتیاز) ماتریس را با استفاده از مراحل کاهش سطری پایه کاهش سطری دهید.
2. (5 امتیاز) برای ، بسته به اینکه کدام یک معنی‌دار است، $AB$ یا $BA$ را محاسبه کنید.

مسئله 14.3 (10 امتیاز):

1. (2 امتیاز) منحنی $4x^2+y^2=1$ را در ${ℝ}^2$ پارامتری کنید.
2. (2 امتیاز) منحنی $y-e^x=0$ را در ${ℝ}^2$ پارامتری کنید.
3. (2 امتیاز) منحنی $x=y^3$، $z=4$ را در ${ℝ}^3$ پارامتری کنید.
4. (2 امتیاز) خط $x+y=4$، $z=2$ را در ${ℝ}^3$ پارامتری کنید.
5. (2 امتیاز) دایره $x^2+y^2+z^2=4$، $z=1$ را در ${ℝ}^3$ پارامتری کنید.

مسئله 14.4 (10 امتیاز):

1. (8 امتیاز) طول قوس $r(t)=[\frac{t^3}{3},\sqrt{2}\frac{t^4}{4},\frac{t^5}{5}]$ را برای $0\le t\le 1$ محاسبه کنید.
2. (2 امتیاز) بدون انجام هیچ محاسبه‌ای، طول قوس پارامتریزاسیون جدید $r(t^3)$ با $0\le t\le 1$ چقدر است؟

مسئله 14.5 (10 امتیاز):

1. (2 امتیاز) فرمول $\mathrm{Al}$ خاشی را بیان کنید.
2. (2 امتیاز) ما قضیه‌ای از هاینه-$\dots \dots$ دیده‌ایم. نام دوم را پر کنید!
3. (2 امتیاز) فضای خطی $\{x\mid Ax=0\}$ همچنین $\dots \dots$ $A$ نامیده می‌شود.
4. (2 امتیاز) فرمول اویلر $e^{it}=\dots \dots$ را بدهید و "زیباترین فرمول در ریاضیات" را استنتاج کنید.
5. (2 امتیاز) آیا کاهش سطری شده است؟

مسئله 14.6 (10 امتیاز):

1. (2 امتیاز) $z=e^{i\pi /2}+3e^{i\pi }$ را به صورت $z=a+ib$ بیان کنید.
2. (2 امتیاز) $(r,\theta ,z)=(2,-\pi /2,0)$ را به مختصات دکارتی بنویسید.
3. (2 امتیاز) $(x,y,z)=(2,2,0)$ را به مختصات کروی $(\rho ,\varphi ,\theta )$ بنویسید.
4. (2 امتیاز) سطح $\rho \cos (\varphi )=2$ را به مختصات دکارتی بنویسید.
5. (2 امتیاز) سطح $r\cos (\theta )=2$ را به مختصات دکارتی بنویسید.

مسئله 14.7 (10 امتیاز):

1. (5 امتیاز) داده شده است $r(1)$ را بیابید.
2. (2 امتیاز) آیا زمانی $t$ وجود دارد که منحنی $r(t)$ به زمین $z=0$ برسد؟
3. (3 امتیاز) انحنای $$r(t)=\left[\begin{array}{c}{t}^2\\ \cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right]$$ در $t=0$ چیست؟

مسئله 14.8 (10 امتیاز):

ما برخی سطوح را پارامتری می‌کنیم. پارامترها را خودتان انتخاب کنید.

1. (2 امتیاز) یک پارامتریزاسیون برای هذلولی‌گون $x^2+y^2-z^2=1$ بیابید.
2. (2 امتیاز) یک پارامتریزاسیون برای استوانه $(x-1{)}^2/4+y^2/9=1$ بیابید.
3. (2 امتیاز) یک پارامتریزاسیون برای سطح $z=\cos (xy)$ بیابید.
4. (2 امتیاز) یک پارامتریزاسیون برای صفحه $x+y-3z=1$ بیابید.
5. (2 امتیاز) یک پارامتریزاسیون برای استوانه $x^2/9+(y-2{)}^2=1$ بیابید.

مسئله 14.9 (10 امتیاز):

1. (4 امتیاز) ضرب نقطه‌ای (ضرب داخلی) $A\cdot B=\mathrm{tr}(A^{T}B)$ دو ماتریس را محاسبه کنید.
2. (4 امتیاز) اکنون کسینوس زاویه بین $A$ و $B$ را تعیین کنید.
3. (2 امتیاز) در نهایت فاصله $|A-B|$ بین $A$ و $B$ را بیابید.

مسئله 14.10 (10 امتیاز):

1. (4 امتیاز) ماتریس ژاکوبی $dr$ تغییر مختصات $$r\left(\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}4x+y\\ y^2\end{array}\right]$$ چیست؟
2. (2 امتیاز) اکنون فرم بنیادی اول $g=d{r}^{T}dr$ را بیابید.
3. (2 امتیاز) ضریب اعوجاج $|\det (dr)|$ را محاسبه کنید.