Primera Hora

14.1 Palabras clave para el primer examen parcial

Esto es un poco como una lista de verificación. Haz tu propia lista. Pero aquí tienes una lista que intenta ser exhaustiva. Marca los temas que conoces y vuelve a revisar aquellos que no recuerdes. Deberás tener lo siguiente en la punta de los dedos.

14.1.1 Teoremas

• Cauchy-Schwarz $|v\cdot w|\le |v||w|$ en general para $M(n,m)$
• Pitágoras $c^2=a^2+b^2$ para cualquier espacio con producto interno
• Al Khashi $c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\alpha )$ para cualquier triángulo
• Thiqueness de la reducción por filas: $\mathrm{rref}(A)$ es único en $M(n,m)$
• La fórmula del producto punto $v\cdot w=|v||w|\cos (\alpha )$
• La fórmula del producto vectorial $|v\times w|=|v||w|\sin (\alpha )$
• La imagen de la transpuesta $\mathrm{im}(A^T)$ es el núcleo $\ker (A)$
• Fórmula de Cauchy-Binet $|v\times w{|}^2=|v{|}^2|w{|}^2-(v\cdot w{)}^2$
• Longitud de arco \int_{a}^{b}|r^{\prime}(t)|\,d t para $r$ diferenciable
• Fórmulas de curvatura |T^{\prime}| /|r^{\prime}|=|r^{\prime} \times r^{\prime \prime}| /|r^{\prime}|^{3}
• Fórmula de Euler $e^{it}=\cos (t)+i\sin (t)$ y caso especial
• Fórmula de distorsión $\sqrt{det(d{r}^{T}dr)}=|r_u\times r_v|$ para $r:{ℝ}^2\to {ℝ}^3$

14.1.2 Demostraciones

• El uso de definiciones precisas y notación
• Ser capaz de argumentar por contradicción
• Pensar visualmente, hacer buenos dibujos
• Usar álgebra para abordar problemas geométricos
• Dominar el método de inducción
• Conocer los beneficios y riesgos de la intuición
• Ser consciente de la verificación asistida por computadora
• Creer en tu creatividad

14.1.3 Algoritmos

• Hallar el ángulo entre vectores o matrices
• Hallar el área de un paralelogramo
• Hallar el volumen de un paralelepípedo
• Reducir por filas una matriz en $M(n,m)$
• Obtener la posición a partir de la velocidad o la aceleración
• Hallar el vector perpendicular a un plano
• Hallar la longitud de una curva o matriz
• Hallar la curvatura en algún punto
• Calcular con números complejos
• Cambiar entre sistemas de coordenadas
• Calcular el factor de distorsión
• Obtener distancias entre objetos

14.1.4 Objetos

• Matrices $A$
• Vectores columna y fila
• Curvas parametrizadas $r(t)=[x(t),y(t),z(t){]}^T$
• Superficies parametrizadas $r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v){]}^T$
• Funciones $f(x,y,z)$
• Superficies de nivel $f(x,y,z)=d$
• Variedades lineales $\{x\mid Ax=d\}$
• Variedades cuadráticas $\{x\mid x^{T}Bx+Ax=d\}$
• Núcleo de una aplicación lineal $\{x\mid Ax=0\}$
• Imagen de una aplicación lineal $\{Ax\mid x\in {ℝ}^n\}$

14.1.5 Diferenciación

• Velocidad r^{\prime}
• Aceleración r^{\prime \prime}
• Tirón r^{\prime \prime \prime}
• Caída libre: r^{\prime \prime}=v dado
• Marco TNB, T=r^{\prime} /|r^{\prime}|, N=T^{\prime} /|T^{\prime}|, $B=T\times N$
• derivada $dr\in M(n,m)$ de una aplicación ${ℝ}^m\to {ℝ}^n$
• Matriz jacobiana $dr$ de una aplicación ${ℝ}^n\to {ℝ}^n$
• Factor de distorsión $\sqrt{\det (d{r}^{T}dr)}$
• El factor de distorsión para $n=m$ se simplifica a $|\det (dr)|$
• Ejemplo: r^{\prime}(t)=d r, \sqrt{\operatorname{det}(d r^{T} d r)}=|r^{\prime}| es la rapidez
• Curvatura |T^{\prime}| /|r^{\prime}|, En ${ℝ}^3$ también |r^{\prime} \times r^{\prime \prime}| /|r^{\prime}|^{3}

14.1.6 Integración

• Integrar para obtener la longitud de arco.
• Integrar para obtener la posición a partir de la velocidad, etc.
• Técnica de integración: sustitución
• Técnica de integración: integración por partes
• Técnica de integración: fracciones parciales
• Técnica de integración: simplificación

14.1.7 Sistemas de coordenadas

• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas polares
• Coordenadas cilíndricas
• Coordenadas esféricas
• Cambio de coordenadas general
• Factor de distorsión $|\det (dr)|=\sqrt{\det (d{r}^{T}dr)}$

14.1.8 Superficies parametrizadas

• Esferas
• Superficies de revolución
• Gráficas
• Planos
• Toro
• Helicoide

14.1.9 Personas

• Mandelbrot
• Hamilton
• Descartes
• Cauchy
• Binet
• Schwarz
• Euler
• Heine
• Cantor
• Bolzano
• Arquímedes
• Newton
• Einstein
• Napoleón

14.1.10 Geometría del espacio

• $v=[v_1,v_2,v_3{]}^T$, $w=[w_1,w_2,w_3{]}^T$, $v+w=[v_1+w_1,v_2+w_2,v_3+w_3{]}^T$
• producto punto $v\cdot w=v_1{w}_1+v_2{w}_2+v_3{w}_3=|v||w|\cos (\alpha )$
• ángulo $\cos (\alpha )=(v\cdot w)/|v||w|$
• producto vectorial $v\cdot (v\times w)=0$, $w\cdot (v\times w)=0$
• área del paralelogramo $|v\times w|=|v||w|\sin (\alpha )$
• producto escalar triple $u\cdot (v\times w)$
• volumen del paralelepípedo: $|u\cdot (v\times w)|$
• vectores paralelos $v\times w=0$, vectores ortogonales: $v\cdot w=0$
• proyección escalar ${\mathrm{comp}}_w(v)=v\cdot w/|w|$
• proyección vectorial ${\mathrm{proj}}_w(v)=(v\cdot w)w/|w{|}^2$
• completar el cuadrado: $x^2-4x+y^2=1$ da $(x-2{)}^2+y^2=5$
• vector unitario $=$ dirección: vector de longitud $1$

14.1.11 Rectas, planos, funciones

• ecuación paramétrica del plano $r(t,s)=p+tv+sw$ que contiene a $p$
• plano $A^T[x,y,z]=ax+by+cz=d$
• ecuación paramétrica de la recta $r(t)=p+tv$ que contiene a $p$
• gráfica $G=\{(x,y,f(x,y))\mid (x,y)$ en el dominio de $f\}$
• el plano $ax+by+cz=d$ tiene normal $n=[a,b,c{]}^T$
• la recta $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ contiene $v=[a,b,c{]}^T$
• plano que pasa por $A$, $B$, $C$: hallar el vector normal $(a,b,c)=AB\times CB$

14.1.12 Superficies de nivel

• interceptos: intersecciones de una superficie con los ejes coordenados
• trazas: intersecciones de una superficie con los planos coordenados
• trazas generalizadas: intersecciones con $\{x=c\}$, $\{y=c\}$ o $\{z=c\}$
• superficie de nivel $g(x,y,z)=c$: Ejemplo: gráfica $g(x,y,z)=z-f(x,y)$
• ecuación lineal como $2x+3y+5z=7$ define un plano
• cuádrica: elipsoide, paraboloide, hiperboloide, cilindro, cono

14.1.13 Fórmulas de distancia

• distancia $d(P,Q)=|PQ|=\sqrt{(P_1-Q_1{)}^2+(P_2-Q_2{)}^2+(P_3-Q_3{)}^2}$
• distancia punto-plano: $d(P,\mathrm{\Sigma })=|(PQ)\cdot n|/|n|$
• distancia punto-recta: $d(P,L)=|(PQ)\times u|/|u|$
• distancia recta-recta: $d(L,M)=|(PQ)\cdot (u\times v)|/|u\times v|$
• distancia entre rectas paralelas $L$, $M$ distancia del punto $d(P,M)$ donde $P$ está en $L$.
• distancia entre planos paralelos: $d(P,\mathrm{\Sigma })$ donde $P$ está en el primer plano.

14.1.14 Funciones

• gráfica: $z=f(x,y)$
• curva de nivel: $f(x,y)=c$ es una curva en el plano
• mapa de contorno: dibujar curvas $f(x,y)=c$ para varios $c$
• superficie de nivel: $f(x,y,z)=c$ en el espacio

14.1.15 Curvas

• curvas planas y en el espacio $r(t)$
• círculo: $x^2+y^2=r^2$, $r(t)=[r\cos t,r\sin t{]}^T$
• elipse: $(x-x_0{)}^2/a^2+(y-y_0{)}^2/b^2=1$, $r(t)=[x_0+a\cos t,y_0+b\sin t{]}^T$
• velocidad r^{\prime}(t), aceleración r^{\prime \prime}(t), |r^{\prime}(t)| rapidez
• vector tangente unitario T(t)=r^{\prime}(t) /|r^{\prime}(t)|
• integración: obtener $r(t)$ a partir de r^{\prime}(t) y $r(0)$ mediante integración
• integración: obtener $r(t)$ a partir de la aceleración r^{\prime \prime}(t) así como r^{\prime}(0) y $r(0)$
• r^{\prime}(t) es tangente a la curva en el punto $r(t)$
• $r(t)=[f(t)\cos (t),f(t)\sin (t){]}^T$ curva polar a la gráfica polar $r=f(\theta )$
• \int_{a}^{b}|r^{\prime}(t)| \,d t, longitud de arco de una curva parametrizada
• N(t)=T^{\prime}(t) /|T^{\prime}(t)| vector normal, es perpendicular a $T(t)$
• $B(t)=T(t)\times N(t)$ vector binormal, es perpendicular a $T$ y $N$
• \kappa(t)=|T^{\prime}(t)| /|r^{\prime}(t)| curvatura =|r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)| /|r^{\prime}(t)|^{3}
• $\kappa (t)$ y la longitud de arco son independientes de la parametrización

14.1.16 Coordenadas

• Coordenadas cartesianas $(x,y,z)$
• coordenadas polares $(x,y)=(r\cos (\theta ),r\sin (\theta ))$, $r\ge 0$
• coordenadas cilíndricas $(x,y,z)=(r\cos (\theta ),r\sin (\theta ),z)$, $r\ge 0$
• coordenadas esféricas $(x,y,z)=(\rho \cos (\theta )\sin (\varphi ),\rho \sin (\theta )\sin (\varphi ),\rho \cos (\varphi ))$
• radio: $r=x^2+y^2$ y radio esférico $\rho =x^2+y^2+z^2$
• radio: relación importante $r=\rho \sin (\varphi )$
• Matriz jacobiana
• Factor de distorsión

14.1.17 Superficies

• $g(r,\theta )=0$ curva polar, especialmente $r=f(\theta )$, gráficas polares
• $r=f(z,\theta )$ superficie cilíndrica, $r=r(z)$ superficie de revolución
• $g(\rho ,\theta ,\varphi )=0$ superficie esférica: ejemplo $\rho =1$ esfera
• $f(x,y)=c$ curvas de nivel de $f(x,y)$
• plano: $ax+by+cz=d$, $r(s,t)=r_0+sv+tw$, $[a,b,c{]}^T=v\times w$
• superficie de revolución: $x^2+y^2=r(z{)}^2$, $r(\theta ,z)=[r(z)\cos (\theta ),r(z)\sin (\theta ),z{]}^T$

14.2 Primer Parcial (Práctica A)

Problema 14A.1 (10 puntos):

Los números de Fibonacci se definen recursivamente como sigue: comience con $F_0=0$, $F_1=1$ luego defina $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$, de modo que $F_2=1$, $F_3=2$, $F_4=3$, $F_5=5$ etc. Demuestre que $$F_0+F_1+\cdots +F_n=F_{n+2}-1$$ para todo entero positivo $n$.

Problema 14A.2 (10 puntos):

Sea

1. (4 puntos) Calcule $AB$ y $\mathrm{rref}(AB)$.
2. (4 puntos) Ahora reduzca por filas ambas matrices $A$ y $B$ y forme $\mathrm{rref}(A)\mathrm{rref}(B)$.
3. (2 puntos) ¿Es verdadera la afirmación $\mathrm{rref}(AB)=\mathrm{rref}(A)\mathrm{rref}(B)$ para todo $A$, $B$?

Problema 14A.3 (10 puntos):

1. (2 puntos) Parametrice la recta que pasa por $(1,1,1)$ y $(4,3,1)$ en ${ℝ}^3$.
2. (2 puntos) Parametrice la elipse $x^2/16+y^2/25=1$ en ${ℝ}^2$.
3. (2 puntos) Parametrice la gráfica $y=x^5+x$ en ${ℝ}^2$.
4. (2 puntos) Parametrice el círculo $x^2+(y-2{)}^2=1$, $z=4$ en ${ℝ}^3$.
5. (2 puntos) Parametrice la recta $x=y=z$ en ${ℝ}^3$.

Problema 14A.4 (10 puntos):

Encuentre la longitud de arco de la curva $$r(t)=[t\cos (t^2),t\sin (t^2),t^2]$$ para $0\le t\le 2$.

Problema 14A.5 (10 puntos):

1. (2 puntos) ¿Qué es el teorema de Heine-Cantor?
2. (2 puntos) Formule la desigualdad triangular.
3. (2 puntos) ¿Qué es la identidad de Al Kashi?
4. (2 puntos) Dé el nombre de una función no diferenciable en ningún punto.
5. (2 puntos) ¿Es cierto que una curva continua $r(t)$ tiene una longitud de arco finita?

Problema 14A.6 (10 puntos):

1. (2 puntos) Encuentre $(3+i)(4+2i)$.
2. (2 puntos) ¿Qué es $e^{i3\pi /4}$?
3. (2 puntos) Convierta de coordenadas cilíndricas $(r,\theta ,z)=(2,\pi /2,1)$ a cartesianas.
4. (2 puntos) ¿Cuáles son las coordenadas esféricas de $(1,\sqrt{3},2)$?
5. (2 puntos) ¿Qué superficie se da en coordenadas esféricas como $\rho \sin (\varphi )=1$?

Problema 14A.7 (10 puntos):

1. (5 puntos) Se le da r^{\prime \prime \prime}(t) = (3, 4, 5) y $r(0)=(7,8,9)$ y r^{\prime}(0)=(1,0,0) y r^{\prime \prime}(0)=(0,1,0). Encuentre $r(1)$.
2. (5 puntos) ¿Cuál es la curvatura de $r(t)=[t,t+t^2,t+t^2+t^3]$ en $t=0$?

Problema 14A.8 (10 puntos):

1. (5 puntos) Encuentre una parametrización $r(u,v)$ del cilindro $x^2+z^2=9$.
2. (5 puntos) Encuentre $r(u,v)$ para el paraboloide $y^2+3z^2=x$.

Problema 14A.9 (10 puntos):

Sea

1. (2 puntos) La imagen de $A$ es un plano. Usando el producto cruz, escríbalo como $ax+by+cz=d$.
2. (2 puntos) ¿Cuál es la primera forma fundamental $g=A^{T}A$?
3. (2 puntos) Del inciso a) tiene $[a,b,c{]}^T=v\times w$. Encuentre $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
4. (2 puntos) Encuentre el factor de distorsión $\Vert A\Vert =\sqrt{\det (A^{T}A)}$ de $A$.
5. (2 puntos) ¿Qué teorema se usó para ver que $\Vert A\Vert =|v\times w|$?

Problema 14A.10 (10 puntos):

1. (5 puntos) ¿Cuál es la matriz jacobiana $df$ de la función $$f(x,y,z)={[x^2+y^2+z^2,x+y,-x^2]}^T?$$
2. (5 puntos) Encuentre el factor de distorsión $\det (df)$.

14.3 Primer Parcial (Práctica B)

Problema 14B.1 (10 puntos):

Demuestre que $1+2+4+8+\cdots +2^n=2^{n+1}-1$ para todo entero positivo $n$.

Problema 14B.2 (10 puntos):

1. (5 puntos) Reduzca por filas la matriz
2. (5 puntos) Calcule el producto matricial

Problema 14B.3 (10 puntos):

1. (2 puntos) Parametrice la curva $x=\sin (y)$ en ${ℝ}^2$.
2. (2 puntos) Parametrice la curva $r={\sin }^2(5\theta )$ en ${ℝ}^2$.
3. (2 puntos) Parametrice la curva $y=x^5+x$, $z=4$ en ${ℝ}^3$.
4. (2 puntos) Parametrice la recta $2x+y=4$ en ${ℝ}^2$.
5. (2 puntos) Parametrice la elipse $(x-1{)}^2+y^2/4=1$ en ${ℝ}^2$.

Problema 14B.4 (10 puntos):

Encuentre la longitud de arco de la curva $$r(t)=\left[\begin{array}{c}{e}^t\\ e^{-t}\\ \sqrt{2}t\end{array}\right]$$ para $0\le t\le 1$.

Problema 14B.5 (10 puntos):

1. (2 puntos) Formule la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
2. (2 puntos) ¿Qué fórmula da el área del paralelogramo generado por dos vectores $v$ y $w$?
3. (2 puntos) ¿Qué fórmula da el volumen de un paralelepípedo generado por tres vectores $u$, $v$, $w$?
4. (2 puntos) ¿Quién inventó los cuaterniones?
5. (2 puntos) Suponga que $\mathrm{rref}(A)=\mathrm{rref}(B)$. ¿Significa esto que $A=B$?

Problema 14B.6 (10 puntos):

1. (2 puntos) Escriba el número complejo $z=e^{-i\pi /2}$ en la forma $z=a+ib$.
2. (2 puntos) ¿Qué punto $(x,y,z)$ tiene las coordenadas cilíndricas $(r,\theta ,z)=(1,\pi /2,0)$?
3. (2 puntos) ¿Cuáles son las coordenadas esféricas $(\rho ,\varphi ,\theta )$ del punto $(x,y,z)=(\sqrt{2},\sqrt{2},-2)$?
4. (2 puntos) ¿Qué superficie es $\rho {\sin }^2(\varphi )=\cos (\varphi )$? Dé el nombre y escríbala en coordenadas cartesianas.
5. (2 puntos) ¿Qué superficie se da en coordenadas cilíndricas por la ecuación $r\sin (\theta )=2$?

Problema 14B.7 (10 puntos):

1. (5 puntos) Se le da r^{\prime \prime}(t)=\left[\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ t\end{array}\right], \quad r(0)=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right], \quad r^{\prime}(0)=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]. Encuentre $r(1)$.
2. (5 puntos) ¿Cuál es la curvatura de $$r(t)=\left[\begin{array}{c}\cos (t)\\ \sin (t)\\ t\end{array}\right]$$ en $t=0$?

Problema 14B.8 (10 puntos):

1. (2 puntos) Encuentre una parametrización del cono $x^2+y^2=z^2$.
2. (2 puntos) Encuentre una parametrización de $x^2/4+y^2/9+z^2/16=1$.
3. (2 puntos) Encuentre una parametrización de la superficie $x^2-y^2=z$.
4. (2 puntos) Encuentre una parametrización del plano $z=2$.
5. (2 puntos) Encuentre una parametrización del cilindro $x^2+z^2=1$.

Problema 14B.9 (10 puntos):

1. (5 puntos) Encuentre el producto punto $A\cdot B=\mathrm{tr}(A^{T}B)$ entre las dos matrices \begin{aligned} & A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right], \\ & B=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right]. \end{aligned}
2. (5 puntos) Encuentre el coseno del ángulo entre estas dos matrices.

Problema 14B.10 (10 puntos):

1. (5 puntos) ¿Cuál es la matriz jacobiana $df$ del cambio de coordenadas $$f\left(\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}2x-y+\sin (x)\\ x\end{array}\right].$$
2. (5 puntos) ¿Cuál es el factor de distorsión $\det (df)$ de la función $f$ que por cierto se llama el mapa de Chirikov.

14.4 Primer Parcial

Problema 14.1 (10 puntos):

Demuestre por inducción que para todo $n\ge 1$ la fórmula $2\sum _{k=0}^{n-1}{3}^k=$ $3^n-1$ se cumple.

Problema 14.2 (10 puntos):

1. (5 puntos) Reduzca por filas la matriz usando pasos básicos de reducción por filas.
2. (5 puntos) Para calcule $AB$ o $BA$ según cuál de los dos tenga sentido.

Problema 14.3 (10 puntos):

1. (2 puntos) Parametrice la curva $4x^2+y^2=1$ en ${ℝ}^2$.
2. (2 puntos) Parametrice la curva $y-e^x=0$ en ${ℝ}^2$.
3. (2 puntos) Parametrice la curva $x=y^3$, $z=4$ en ${ℝ}^3$.
4. (2 puntos) Parametrice la recta $x+y=4$, $z=2$ en ${ℝ}^3$.
5. (2 puntos) Parametrice el círculo $x^2+y^2+z^2=4$, $z=1$ en ${ℝ}^3$.

Problema 14.4 (10 puntos):

1. (8 puntos) Calcule la longitud de arco de $r(t)=[\frac{t^3}{3},\sqrt{2}\frac{t^4}{4},\frac{t^5}{5}]$ para $0\le t\le 1$.
2. (2 puntos) Sin hacer ningún cálculo, ¿cuál es la longitud de arco de la nueva parametrización $r(t^3)$ con $0\le t\le 1$?

Problema 14.5 (10 puntos):

1. (2 puntos) Formule la fórmula de $\mathrm{Al}$ Khashi.
2. (2 puntos) Hemos visto un teorema de Heine-$\dots \dots$. ¡Complete el segundo nombre!
3. (2 puntos) El espacio lineal $\{x\mid Ax=0\}$ también se llama el $\dots \dots$ de $A$.
4. (2 puntos) Dé la fórmula de Euler $e^{it}=\dots \dots$ y deduzca la "fórmula más bella de las matemáticas".
5. (2 puntos) ¿Está reducida por filas?

Problema 14.6 (10 puntos):

1. (2 puntos) Exprese $z=e^{i\pi /2}+3e^{i\pi }$ en la forma $z=a+ib$.
2. (2 puntos) Escriba $(r,\theta ,z)=(2,-\pi /2,0)$ en coordenadas cartesianas.
3. (2 puntos) Escriba $(x,y,z)=(2,2,0)$ en coordenadas esféricas $(\rho ,\varphi ,\theta )$.
4. (2 puntos) Escriba la superficie $\rho \cos (\varphi )=2$ en coordenadas cartesianas.
5. (2 puntos) Escriba la superficie $r\cos (\theta )=2$ en coordenadas cartesianas.

Problema 14.7 (10 puntos):

1. (5 puntos) Se le da r^{\prime \prime}(t)=\left[\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ \cos (t)\end{array}\right], \quad r(0)=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right], \quad r^{\prime}(0)=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right]. Encuentre $r(1)$.
2. (2 puntos) ¿Existe un tiempo $t$ tal que la curva $r(t)$ alcance el suelo $z=0$?
3. (3 puntos) ¿Cuál es la curvatura de $$r(t)=\left[\begin{array}{c}{t}^2\\ \cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right]$$ en $t=0$?

Problema 14.8 (10 puntos):

Parametrizamos algunas superficies. Elija los parámetros por su cuenta.

1. (2 puntos) Encuentre una parametrización del hiperboloide $x^2+y^2-z^2=1$.
2. (2 puntos) Encuentre una parametrización del cilindro $(x-1{)}^2/4+y^2/9=1$.
3. (2 puntos) Encuentre una parametrización de la superficie $z=\cos (xy)$.
4. (2 puntos) Encuentre una parametrización del plano $x+y-3z=1$.
5. (2 puntos) Encuentre una parametrización del cilindro $x^2/9+(y-2{)}^2=1$.

Problema 14.9 (10 puntos):

1. (4 puntos) Calcule el producto punto (producto interno) $A\cdot B=\mathrm{tr}(A^{T}B)$ de las dos matrices
2. (4 puntos) Ahora determine el coseno del ángulo entre $A$ y $B$.
3. (2 puntos) Finalmente encuentre la distancia $|A-B|$ entre $A$ y $B$.

Problema 14.10 (10 puntos):

1. (4 puntos) ¿Cuál es la matriz jacobiana $dr$ del cambio de coordenadas $$r\left(\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}4x+y\\ y^2\end{array}\right]?$$
2. (2 puntos) Ahora encuentre la primera forma fundamental $g=d{r}^{T}dr$.
3. (2 puntos) Calcule el factor de distorsión $|\det (dr)|$.