首小时

14.1 第一次小时考关键词

这有点像一份清单。请制作你自己的清单。但这里有一份力求全面的清单。勾选你已知的主题，并回顾你记不清的内容。你需要熟练掌握以下内容。

14.1.1 定理

柯西-施瓦茨 $| v \cdot w | \leq | v | | w |$ 一般地对于 $M (n, m)$
毕达哥拉斯 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 对于任何内积空间
阿尔·卡西 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (α)$ 对于任何三角形
行化简的唯一性： $rref (A)$ 在 $M (n, m)$ 中是唯一的
点积公式 $v \cdot w = | v | | w | \cos (α)$
叉积公式 $| v \times w | = | v | | w | \sin (α)$
转置的像 $im (A^{T})$ 是核 $\ker (A)$
柯西-比内公式 $| v \times w |^{2} = | v |^{2} | w |^{2} - (v \cdot w)^{2}$
弧长对于可微的 $r$
曲率公式
欧拉公式 $e^{i t} = \cos (t) + i \sin (t)$ 及其特例
畸变公式 $\sqrt{det (d r^{T} d r)} = | r_{u} \times r_{v} |$ 对于 $r : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$

14.1.2 证明

使用精确定义和符号
能够通过反证法论证
形象思考，绘制好图
用代数解决几何问题
掌握归纳法
了解直觉的好处与风险
注意计算机辅助验证
相信你的创造力

14.1.3 算法

求向量或矩阵之间的夹角
求平行四边形面积
求平行六面体体积
对 $M (n, m)$ 中的矩阵进行行化简
由速度或加速度求位置
求垂直于平面的向量
求曲线或矩阵的长度
求某点处的曲率
用复数计算
在坐标系之间转换
计算畸变因子
求物体之间的距离

14.1.4 对象

矩阵 $A$
列向量和行向量
参数化曲线 $r (t) = [x (t), y (t), z (t)]^{T}$
参数化曲面 $r (u, v) = [x (u, v), y (u, v), z (u, v)]^{T}$
函数 $f (x, y, z)$
等值面 $f (x, y, z) = d$
线性流形 ${x ∣ A x = d}$
二次流形 ${x ∣ x^{T} B x + A x = d}$
线性映射的核 ${x ∣ A x = 0}$
线性映射的像 ${A x ∣ x \in ℝ^{n}}$

14.1.5 微分

速度
加速度
加加速度
自由落体：给定
TNB 标架，，， $B = T \times N$
映射 $ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ 的导数 $d r \in M (n, m)$
映射 $ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ 的雅可比矩阵 $d r$
畸变因子 $\sqrt{\det (d r^{T} d r)}$
当 $n = m$ 时畸变因子简化为 $| \det (d r) |$
例：，是速率
曲率，在 $ℝ^{3}$ 中还有

14.1.6 积分

积分求弧长。
积分由速度等求位置。
积分技巧：换元法
积分技巧：分部积分法
积分技巧：部分分式法
积分技巧：化简

14.1.7 坐标系

笛卡尔坐标
极坐标
柱坐标
球坐标
一般坐标变换
畸变因子 $| \det (d r) | = \sqrt{\det (d r^{T} d r)}$

14.1.8 参数化曲面

球面
旋转曲面
图形
平面
环面
螺旋面

14.1.9 人物

曼德勃罗
哈密顿
笛卡尔
柯西
比内
施瓦茨
欧拉
海涅
康托尔
波尔查诺
阿基米德
牛顿
爱因斯坦
拿破仑

14.1.10 空间几何

$v = [v_{1}, v_{2}, v_{3}]^{T}$ ， $w = [w_{1}, w_{2}, w_{3}]^{T}$ ， $v + w = [v_{1} + w_{1}, v_{2} + w_{2}, v_{3} + w_{3}]^{T}$
点积 $v \cdot w = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3} = | v | | w | \cos (α)$
夹角 $\cos (α) = (v \cdot w) / | v | | w |$
叉积 $v \cdot (v \times w) = 0$ ， $w \cdot (v \times w) = 0$
平行四边形面积 $| v \times w | = | v | | w | \sin (α)$
三重标量积 $u \cdot (v \times w)$
平行六面体体积： $| u \cdot (v \times w) |$
平行向量 $v \times w = 0$ ，正交向量： $v \cdot w = 0$
标量投影 ${comp}_{w} (v) = v \cdot w / | w |$
向量投影 ${proj}_{w} (v) = (v \cdot w) w / | w |^{2}$
配方法： $x^{2} - 4 x + y^{2} = 1$ 得到 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 5$
单位向量 $=$ 方向：长度为 $1$ 的向量

14.1.11 直线、平面、函数

包含 $p$ 的平面的参数方程 $r (t, s) = p + t v + s w$
平面 $A^{T} [x, y, z] = a x + b y + c z = d$
包含 $p$ 的直线的参数方程 $r (t) = p + t v$
图形 $G = {(x, y, f (x, y)) ∣ (x, y)$ 在 $f$ 的定义域中 $}$
平面 $a x + b y + c z = d$ 有法向量 $n = [a, b, c]^{T}$
直线 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ 包含 $v = [a, b, c]^{T}$
通过 $A$ ， $B$ ， $C$ 的平面：求法向量 $(a, b, c) = A B \times C B$

14.1.12 等值面

截距：曲面与坐标轴的交点
迹线：曲面与坐标平面的交线
广义迹线：与 ${x = c}$ ， ${y = c}$ 或 ${z = c}$ 的交线
等值面 $g (x, y, z) = c$ ：例：图形 $g (x, y, z) = z - f (x, y)$
线性方程如 $2 x + 3 y + 5 z = 7$ 定义平面
二次曲面：椭球面、抛物面、双曲面、柱面、锥面

14.1.13 距离公式

距离 $d (P, Q) = | P Q | = \sqrt{(P_{1} - Q_{1})^{2} + (P_{2} - Q_{2})^{2} + (P_{3} - Q_{3})^{2}}$
点到平面的距离： $d (P, Σ) = | (P Q) \cdot n | / | n |$
点到直线的距离： $d (P, L) = | (P Q) \times u | / | u |$
直线到直线的距离： $d (L, M) = | (P Q) \cdot (u \times v) | / | u \times v |$
平行直线 $L$ ， $M$ 的距离：点 $P$ 在 $L$ 上， $d (P, M)$ 。
平行平面的距离： $d (P, Σ)$ ，其中 $P$ 在第一个平面上。

14.1.14 函数

图形： $z = f (x, y)$
等高线： $f (x, y) = c$ 是平面中的曲线
等高线图：绘制不同 $c$ 的曲线 $f (x, y) = c$
等值面：空间中的 $f (x, y, z) = c$

14.1.15 曲线

平面和空间曲线 $r (t)$
圆： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ， $r (t) = [r \cos t, r \sin t]^{T}$
椭圆： $(x - x_{0})^{2} / a^{2} + (y - y_{0})^{2} / b^{2} = 1$ ， $r (t) = [x_{0} + a \cos t, y_{0} + b \sin t]^{T}$
速度，加速度，速率
单位切向量
积分：由和 $r (0)$ 通过积分求 $r (t)$
积分：由加速度以及和 $r (0)$ 求 $r (t)$
在点 $r (t)$ 处与曲线相切
$r (t) = [f (t) \cos (t), f (t) \sin (t)]^{T}$ 极坐标曲线对应于极坐标图形 $r = f (θ)$
，参数化曲线的弧长
法向量，垂直于 $T (t)$
$B (t) = T (t) \times N (t)$ 副法向量，垂直于 $T$ 和 $N$
曲率
$κ (t)$ 和弧长与参数化无关

14.1.16 坐标

笛卡尔坐标 $(x, y, z)$
极坐标 $(x, y) = (r \cos (θ), r \sin (θ))$ ， $r \geq 0$
柱坐标 $(x, y, z) = (r \cos (θ), r \sin (θ), z)$ ， $r \geq 0$
球坐标 $(x, y, z) = (ρ \cos (θ) \sin (ϕ), ρ \sin (θ) \sin (ϕ), ρ \cos (ϕ))$
半径： $r = x^{2} + y^{2}$ 和球半径 $ρ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$
半径：重要关系 $r = ρ \sin (ϕ)$
雅可比矩阵
畸变因子

14.1.17 曲面

$g (r, θ) = 0$ 极坐标曲线，特别是 $r = f (θ)$ ，极坐标图形
$r = f (z, θ)$ 柱面， $r = r (z)$ 旋转曲面
$g (ρ, θ, ϕ) = 0$ 球面：例 $ρ = 1$ 球面
$f (x, y) = c$ $f (x, y)$ 的等高线
平面： $a x + b y + c z = d$ ， $r (s, t) = r_{0} + s v + t w$ ， $[a, b, c]^{T} = v \times w$
旋转曲面： $x^{2} + y^{2} = r (z)^{2}$ ， $r (θ, z) = [r (z) \cos (θ), r (z) \sin (θ), z]^{T}$

图像：

g (x, y, z) = z - f (x, y) = 0

，

r (x, y) = [x, y, f (x, y)]^{T}

旋转图像

g (x, y, z) = y - f (x, z) = 0

，

r (x, z) = [x, f (x, z), z]^{T}

椭球面：

r (θ, ϕ) = [a \cos θ \sin ϕ, b \sin θ \sin ϕ, c \cos ϕ]^{T}

单位球面：

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

，

r (u, v) = [\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v]^{T}

14.2 第一次小考（练习A）

问题 14A.1（10分）：

斐波那契数递归定义如下：从 $F_{0} = 0$ ， $F_{1} = 1$ 开始，然后定义 $F_{n + 1} = F_{n} + F_{n - 1}$ ，使得 $F_{2} = 1$ ， $F_{3} = 2$ ， $F_{4} = 3$ ， $F_{5} = 5$ 等等。证明对于每个正整数 $n$ ，有 $F_{0} + F_{1} + \dots + F_{n} = F_{n + 2} - 1$ 。

问题 14A.2（10分）：

设 $A = [\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}], B = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] .$

（4分）计算 $A B$ 和 $rref (A B)$ 。
（4分）现在对 $A$ 和 $B$ 进行行简化，并计算 $rref (A) rref (B)$ 。
（2分）对于所有 $A$ 、 $B$ ，命题 $rref (A B) = rref (A) rref (B)$ 是否成立？

问题 14A.3（10分）：

（2分）参数化 $ℝ^{3}$ 中通过 $(1, 1, 1)$ 和 $(4, 3, 1)$ 的直线。
（2分）参数化 $ℝ^{2}$ 中的椭圆 $x^{2} / 16 + y^{2} / 25 = 1$ 。
（2分）参数化 $ℝ^{2}$ 中的图像 $y = x^{5} + x$ 。
（2分）参数化 $ℝ^{3}$ 中的圆 $x^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ ， $z = 4$ 。
（2分）参数化 $ℝ^{3}$ 中的直线 $x = y = z$ 。

问题 14A.4（10分）：

求曲线 $r (t) = [t \cos (t^{2}), t \sin (t^{2}), t^{2}]$ 在 $0 \leq t \leq 2$ 上的弧长。

问题 14A.5（10分）：

（2分）什么是海涅-康托尔定理？
（2分）叙述三角不等式。
（2分）什么是阿尔·卡西恒等式？
（2分）给出一个处处不可微函数的名称。
（2分）连续曲线 $r (t)$ 是否具有有限弧长？

问题 14A.6（10分）：

（2分）计算 $(3 + i) (4 + 2 i)$ 。
（2分） $e^{i 3 π / 4}$ 等于什么？
（2分）将柱坐标 $(r, θ, z) = (2, π / 2, 1)$ 转换为笛卡尔坐标。
（2分） $(1, \sqrt{3}, 2)$ 的球坐标是什么？
（2分）在球坐标中，方程 $ρ \sin (ϕ) = 1$ 表示什么曲面？

问题 14A.7（10分）：

（5分）已知， $r (0) = (7, 8, 9)$ ，，。求 $r (1)$ 。
（5分）求 $r (t) = [t, t + t^{2}, t + t^{2} + t^{3}]$ 在 $t = 0$ 处的曲率。

问题 14A.8（10分）：

（5分）求圆柱面 $x^{2} + z^{2} = 9$ 的一个参数化 $r (u, v)$ 。
（5分）求抛物面 $y^{2} + 3 z^{2} = x$ 的参数化 $r (u, v)$ 。

问题 14A.9（10分）：

设 $A = [\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] .$

（2分） $A$ 的像是一个平面。利用叉积，将其写为 $a x + b y + c z = d$ 的形式。
（2分）第一基本形式 $g = A^{T} A$ 是什么？
（2分）由a)可得 $[a, b, c]^{T} = v \times w$ 。求 $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ 。
（2分）求 $A$ 的畸变因子 $‖ A ‖ = \sqrt{\det (A^{T} A)}$ 。
（2分）要得出 $‖ A ‖ = | v \times w |$ ，涉及了什么定理？

问题 14A.10（10分）：

（5分）映射 $f (x, y, z) = {[x^{2} + y^{2} + z^{2}, x + y, - x^{2}]}^{T}$ 的雅可比矩阵 $d f$ 是什么？
（5分）求畸变因子 $\det (d f)$ 。

14.3 第一次小考（练习B）

问题 14B.1（10分）：

证明对于每个正整数 $n$ ，有 $1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^{n} = 2^{n + 1} - 1$ 。

问题 14B.2（10分）：

（5分）对矩阵 $A = [\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \end{array}]$ 进行行简化。
（5分）计算矩阵乘积 $[\begin{array}{lll} 3 & 4 & 5 \end{array}] A [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] .$

问题 14B.3（10分）：

（2分）参数化 $ℝ^{2}$ 中的曲线 $x = \sin (y)$ 。
（2分）参数化 $ℝ^{2}$ 中的曲线 $r = \sin^{2} (5 θ)$ 。
（2分）参数化 $ℝ^{3}$ 中的曲线 $y = x^{5} + x$ ， $z = 4$ 。
（2分）参数化 $ℝ^{2}$ 中的直线 $2 x + y = 4$ 。
（2分）参数化 $ℝ^{2}$ 中的椭圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} / 4 = 1$ 。

问题 14B.4（10分）：

求曲线 $r (t) = [\begin{matrix} e^{t} \\ e^{- t} \\ \sqrt{2} t \end{matrix}]$ 在 $0 \leq t \leq 1$ 上的弧长。

问题 14B.5（10分）：

（2分）叙述柯西-施瓦茨不等式。
（2分）由两个向量 $v$ 和 $w$ 张成的平行四边形的面积公式是什么？
（2分）由三个向量 $u$ 、 $v$ 、 $w$ 张成的平行六面体的体积公式是什么？
（2分）谁发明了四元数？
（2分）假设 $rref (A) = rref (B)$ ，是否意味着 $A = B$ ？

问题 14B.6（10分）：

（2分）将复数 $z = e^{- i π / 2}$ 写成 $z = a + i b$ 的形式。
（2分）哪个点 $(x, y, z)$ 的柱坐标为 $(r, θ, z) = (1, π / 2, 0)$ ？
（2分）点 $(x, y, z) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, - 2)$ 的球坐标 $(ρ, ϕ, θ)$ 是什么？
（2分） $ρ \sin^{2} (ϕ) = \cos (ϕ)$ 表示什么曲面？给出名称并用笛卡尔坐标表示。
（2分）在柱坐标中，方程 $r \sin (θ) = 2$ 表示什么曲面？

问题 14B.7（10分）：

（5分）已知求 $r (1)$ 。
（5分）求 $r (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{matrix}]$ 在 $t = 0$ 处的曲率。

问题 14B.8（10分）：

（2分）求锥面 $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ 的一个参数化。
（2分）求 $x^{2} / 4 + y^{2} / 9 + z^{2} / 16 = 1$ 的一个参数化。
（2分）求曲面 $x^{2} - y^{2} = z$ 的一个参数化。
（2分）求平面 $z = 2$ 的一个参数化。
（2分）求圆柱面 $x^{2} + z^{2} = 1$ 的一个参数化。

问题 14B.9（10分）：

（5分）求两个矩阵之间的点积 $A \cdot B = tr (A^{T} B)$ 。
（5分）求这两个矩阵之间夹角的余弦。

问题 14B.10（10分）：

（5分）坐标变换 $f ([\begin{array}{l} x \\ y \end{array}]) = [\begin{matrix} 2 x - y + \sin (x) \\ x \end{matrix}]$ 的雅可比矩阵 $d f$ 是什么？
（5分）求映射 $f$ 的畸变因子 $\det (d f)$ ，该映射也称为 Chirikov 映射。

14.4 第一次小考

问题 14.1（10分）：

用归纳法证明：对于每个 $n \geq 1$ ，公式 $2 \sum_{k = 0}^{n - 1} 3^{k} =$ $3^{n} - 1$ 成立。

问题 14.2（10分）：

（5分）使用基本行简化步骤对矩阵 $A = [\begin{array}{lllll} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \end{array}]$ 进行行简化。
（5分）对于 $B = [\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \end{array}]$ ，计算 $A B$ 或 $B A$ ，取决于哪个有意义。

问题 14.3（10分）：

（2分）参数化 $ℝ^{2}$ 中的曲线 $4 x^{2} + y^{2} = 1$ 。
（2分）参数化 $ℝ^{2}$ 中的曲线 $y - e^{x} = 0$ 。
（2分）参数化 $ℝ^{3}$ 中的曲线 $x = y^{3}$ ， $z = 4$ 。
（2分）参数化 $ℝ^{3}$ 中的直线 $x + y = 4$ ， $z = 2$ 。
（2分）参数化 $ℝ^{3}$ 中的圆 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ ， $z = 1$ 。

问题 14.4（10分）：

（8分）计算 $r (t) = [\frac{t^{3}}{3}, \sqrt{2} \frac{t^{4}}{4}, \frac{t^{5}}{5}]$ 在 $0 \leq t \leq 1$ 上的弧长。
（2分）不进行任何计算，新参数化 $r (t^{3})$ 在 $0 \leq t \leq 1$ 上的弧长是多少？

问题 14.5（10分）：

（2分）叙述阿尔·卡西公式。
（2分）我们学过海涅- $\dots \dots$ 定理。请填写第二个名字！
（2分）线性空间 ${x ∣ A x = 0}$ 也称为 $A$ 的 $\dots \dots$ 。
（2分）给出欧拉公式 $e^{i t} = \dots \dots$ ，并推导出“数学中最美丽的公式”。
（2分） $rref (A) = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$ 是行简化后的矩阵吗？

问题 14.6（10分）：

（2分）将 $z = e^{i π / 2} + 3 e^{i π}$ 表示为 $z = a + i b$ 的形式。
（2分）将 $(r, θ, z) = (2, - π / 2, 0)$ 写成笛卡尔坐标。
（2分）将 $(x, y, z) = (2, 2, 0)$ 写成球坐标 $(ρ, ϕ, θ)$ 。
（2分）将曲面 $ρ \cos (ϕ) = 2$ 用笛卡尔坐标表示。
（2分）将曲面 $r \cos (θ) = 2$ 用笛卡尔坐标表示。

问题 14.7（10分）：

（5分）已知求 $r (1)$ 。
（2分）是否存在某个时刻 $t$ ，使得曲线 $r (t)$ 到达地面 $z = 0$ ？
（3分）求 $r (t) = [\begin{matrix} t^{2} \\ \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ 在 $t = 0$ 处的曲率。

问题 14.8（10分）：

我们对一些曲面进行参数化。自行选择参数。

（2分）求双曲面 $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ 的一个参数化。
（2分）求圆柱面 $(x - 1)^{2} / 4 + y^{2} / 9 = 1$ 的一个参数化。
（2分）求曲面 $z = \cos (x y)$ 的一个参数化。
（2分）求平面 $x + y - 3 z = 1$ 的一个参数化。
（2分）求圆柱面 $x^{2} / 9 + (y - 2)^{2} = 1$ 的一个参数化。

问题 14.9（10分）：

（4分）计算两个矩阵 $A = [\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}], B = [\begin{array}{lll} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \end{array}]$ 的点积（内积） $A \cdot B = tr (A^{T} B)$ 。
（4分）现在确定 $A$ 和 $B$ 之间夹角的余弦。
（2分）最后求 $A$ 和 $B$ 之间的距离 $| A - B |$ 。

问题 14.10（10分）：

（4分）坐标变换 $r ([\begin{array}{l} x \\ y \end{array}]) = [\begin{matrix} 4 x + y \\ y^{2} \end{matrix}]$ 的雅可比矩阵 $d r$ 是什么？
（2分）现在求第一基本形式 $g = d r^{T} d r$ 。
（2分）计算畸变因子 $| \det (d r) |$ 。

(2分) 在这种情况下验证

| \det (d r) | = \sqrt{\det (g)}

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