Contradição e Deformação

Sumário

15.1 INTRODUÇÃO
15.2 SEMINÁRIO
EXERCÍCIOS

15.1 INTRODUÇÃO

15.1.1 Prova por Contradição

Uma das falácias mais comuns na argumentação lógica é inverter uma implicação. Se $A$ implica $B$ , então $B$ implica $A$ . Certo? Se você é um idiota, você faz coisas estúpidas. Então, se você faz coisas estúpidas, você é um idiota. Isso não é verdade. A implicação $A \Rightarrow B$ não implica $B \Rightarrow A$ , mas implica $\neg B ⟹ \neg A$ . Isso é chamado de contradição. Escrevemos $\neg A$ para a negação de $A$ . Relacionado à contradição está o método de "Reductio ad absurdum". Para provar uma afirmação $B$ a partir de algumas afirmações $A$ , podemos assumir que $B$ é falsa e deduzir disso que $A$ é falsa.

**Figura 1.** Reductio ad absurdum. Pintura do pintor escocês John Pettie (1839-1993). Esta imagem aparece na página da Wikipedia sobre Reductio ad absurdum.

15.1.2 Inverter Implicações é uma Falácia Lógica: Um Exemplo

Aqui está um exemplo: Seja $A$ a afirmação "Está chovendo". E seja $B$ a afirmação "A rua está molhada". Obviamente $A$ implica $B$ . Mas $B$ não implica $A$ . Pode ser que a rua esteja molhada de uma chuva que parou mais cedo ou que alguém estava lavando a rua. Mas podemos concluir: se a rua não está molhada, então não está chovendo. A afirmação $A ⟹ B$ é de fato equivalente a $\neg B ⟹ \neg A$ .

15.1.3 A Beleza e o Perigo da Prova por Contradição

Geoffrey Hardy descreve da seguinte forma: "A prova é por reductio ad absurdum, e reductio ad absurdum, que Euclides tanto amava, é uma das melhores armas de um matemático." Mas todo matemático que já fez provas conhece as armadilhas. Aqui está uma afirmação bem formulada por Henry Cohn do MIT "Infelizmente, essa técnica de prova pode realmente causar problemas para iniciantes. Normalmente, o que acontece é que a prova começa de forma bastante razoável, e então se perde em um labirinto de complexidade. Em algum lugar na confusão, um erro é cometido, o que leva a uma contradição. Então parece que a prova está concluída, mas infelizmente a contradição não tem nada a ver com a suposição inicial, e vem apenas do erro no meio."

15.2 SEMINÁRIO

15.2.1 Além das Provas Diretas: Técnicas de Contradição e Deformação

Já vimos uma técnica de prova, o "método de indução". Outras provas foram feitas ou por cálculos diretos ou pela combinação de teoremas ou desigualdades já conhecidos. Hoje, examinamos duas novas e fundamentalmente diferentes técnicas de prova. A primeira é o método "por contradição". O segundo método é o "método de deformação". Ambos os métodos são ilustrados por um teorema.

15.2.2 Surpresa Pitagórica

O primeiro teorema é um dos resultados mais antigos da matemática. É o teorema de Hípaso de 500 a.C. Foi um resultado que chocou tanto os pitagóricos que Hípaso foi morto por sua descoberta. Pelo menos é o que dizem os rumores.

Teorema 1. A diagonal de um quadrado unitário tem comprimento irracional.

Prova. $Assume$ que a afirmação é falsa e a diagonal tem comprimento racional $p / q$ . Então, pelo teorema de Pitágoras $2 = p^{2} / q^{2}$ ou $2 q^{2} = p^{2}$ . Pelo teorema fundamental da aritmética, o lado esquerdo tem um número ímpar de fatores 2, o lado direito um número par. Isso é uma $contradiction$ . A suposição deve estar errada. ◻

Problema A: Prove que a raiz cúbica de $2$ é irracional.

15.2.3 Completando uma Prova Geométrica da Diagonal Irracional

Note que a prova dependia do teorema fundamental da aritmética que assegurava que todo inteiro tem uma fatoração prima única.

Problema B: A Figura (15.2) é uma prova geométrica por contradição que não precisa do teorema fundamental da aritmética. Complete a prova.¹

**Figura 2.** $\sqrt{2}$ é irracional. Comece assumindo que o comprimento do lado e a diagonal do grande quadrado amarelo são inteiros. Conclua que, para o quadrado laranja estritamente menor, o comprimento do lado e a diagonal são inteiros.

15.2.4 Além da Contradição

Provas por contradição podem ser perigosas. Uma prova falha pode " $assume$ o contrário, bagunçar os argumentos, cometer um erro em algum lugar e obter uma $contradiction$ . QED". Melhor do que uma prova por contradição é uma prova construtiva.

15.2.5 Uma Prova Não Construtiva de Potências Racionais de Números Irracionais

Aqui está uma prova não construtiva que é incrível:

Teorema 2. Existem dois irracionais $x$ , $y$ tais que $x^{y}$ é racional.

Prova. Existem duas possibilidades. Ou $z = {\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ é irracional ou não. No primeiro caso, encontramos um exemplo onde $x = y = \sqrt{2}$ . No segundo caso, tome $x = z$ e tome $y = \sqrt{2}$ . Agora $x^{y} = {\sqrt{2}}^{2} = 2$ é racional e temos um exemplo. ◻

15.2.6 Explorando a Curvatura e o Hopf Umlaufsatz

A segunda técnica de prova que vemos hoje é um argumento de deformação. Para ilustrá-la, tome uma curva $C^{2}$ fechada em $ℝ^{2}$ sem auto-interseções. Já definimos sua curvatura $κ (t)$ . Para curvas em $ℝ^{2}$ , defina a curvatura com sinal $K (t)$ . Se a curva é parametrizada de modo que |r^{\prime}(t)|=1 e $T (t) = [\cos (α (t)), \sin (α (t))]$ , então K(t)=\alpha^{\prime}(t). Note que \kappa(t)=|T^{\prime}(t)|=\big|[-\sin (\alpha(t)), \cos (\alpha(t))] \alpha^{\prime}(t)\big|=|K(t)|. Agora, se temos uma curva $r : [a, b] \to ℝ^{2}$ , podemos definir a curvatura total como $\int_{a}^{b} K (t) d t$ . Pelo teorema fundamental do cálculo, essa curvatura total é a variação do ângulo $α (b) - α (a)$ . Agora, se a curva é fechada, os ângulos inicial e final têm que diferir por um múltiplo de $2 π$ . O Hopf Umlaufsatz afirma que

Teorema 3. A curvatura total de uma curva fechada simples é $2 π$ ou $- 2 π$ .

**Figura 3.** Quatro curvas fechadas simples para as quais não é óbvio que a curvatura total é $2 π$ .

Problema C:

Por que a curvatura total nem sempre é $2 π$ ?
Formule o que acontece na Figura (15.4).

**Figura 4.** Prova de deformação de Hopf: cada imagem mostra a reta passando por $r (s)$ , $r (t)$ e à direita o parâmetro $(s, t)$ . Na coluna da esquerda, onde $s = t$ , lidamos com a rotação da tangente. Temos que mostrar que ela gira em $2 π$ . As próximas colunas deformam a situação onde o caminho através do quadrado de parâmetros é alterado. Na coluna da extrema direita, giramos o segmento duas vezes em $π$ , totalizando $2 π$ .

EXERCÍCIOS

Exercício 1. Prove por contradição que $\sqrt{12}$ é irracional.

Exercício 2. Prove por contradição que $\log_{10} (2)$ é irracional. $\log_{10}$ é o logaritmo na base $10$ .

Exercício 3. Prove por contradição que existem infinitos primos da forma $4 k - 1$ .

Dica: Se $p_{i}$ são da forma $4 k - 1$ então $4 \prod_{j} p_{i} - 1$ é novamente da forma $4 k - 1$ .

Exercício 4. Verifique o Hopf Umlaufsatz para um círculo de raio $5$ , onde $r (t) = [\begin{matrix} 5 \cos (t) \\ 5 \sin (t) \end{matrix}] .$ Opcional: o que o Umlaufsatz diz para um triângulo?

**Figura 5.** Você consegue adaptar o Hopf Umlaufsatz para triângulos?

Exercício 5. Existe uma variante da prova por contradição que é a prova por descenso infinito. Ela foi usada para provar um caso especial do Último Teorema de Fermat. Esse resultado especial diz que a equação $r^{2} + s^{4} = t^{4}$ não tem solução com $r$ , $s$ , $t$ positivos. Pesquise e escreva a prova deste teorema.

**Figura 6.** Pierre de Fermat: recorte de foto de Didier Descouens: mostrando o Monumento a Pierre de Fermat por Alexandre Falguière em Beaumont-de-Lomagne, Tarn-et-Garonne, França.

Para mais explicações, veja https://www.youtube.com/watch?v=Ih16BIoR9eM ↩︎