تناقض و دگرشکلی

15.1 مقدمه

15.1.1 اثبات با تناقض

یکی از رایج‌ترین مغالطه‌هایی که در استدلال منطقی انجام می‌شود معکوس‌سازی یک استلزام است. اگر $A$ نتیجه دهد $B$ را، آنگاه $B$ نتیجه دهد $A$ را. درست است؟ اگر شما احمق باشید، کارهای احمقانه انجام می‌دهید. پس اگر کارهای احمقانه انجام می‌دهید، شما احمق هستید. این درست نیست. استلزام $A\Rightarrow B$ نتیجه نمی‌دهد $B\Rightarrow A$ را، بلکه نتیجه می‌دهد $\mathrm{\neg }B⟹\mathrm{\neg }A$ را. این را تناقض می‌نامند. ما $\mathrm{\neg }A$ را برای نقیض $A$ می‌نویسیم. در ارتباط با تناقض روش «برهان خلف» است. برای اثبات یک گزاره $B$ از برخی گزاره‌های $A$، می‌توانیم فرض کنیم که $B$ نادرست است و از این نتیجه بگیریم که $A$ نادرست است.

15.1.2 معکوس‌سازی استلزام‌ها مغالطه‌ای منطقی است: یک مثال

در اینجا یک مثال می‌آوریم: بگذارید $A$ گزاره «باران می‌بارد» باشد. و بگذارید $B$ گزاره «خیابان خیس است» باشد. بدیهی است که $A$ نتیجه می‌دهد $B$ را. اما $B$ نتیجه نمی‌دهد $A$ را. ممکن است خیابان از بارانی که زودتر بند آمده خیس باشد یا اینکه کسی خیابان را تمیز کرده باشد. اما می‌توانیم نتیجه بگیریم: اگر خیابان خیس نباشد، آنگاه باران نمی‌بارد. گزاره $A⟹B$ در واقع معادل است با $\mathrm{\neg }B⟹\mathrm{\neg }A$.

15.1.3 زیبایی و خطر اثبات با تناقض

جفری هاردی چنین توصیف می‌کند: "اثبات از طریق برهان خلف است، و برهان خلف که اقلیدس آن را بسیار دوست می‌داشت، یکی از بهترین ابزارهای یک ریاضیدان است." اما هر ریاضیدانی که اثبات‌هایی انجام داده باشد از مشکلات آن آگاه است. در اینجا یک بیانیه به‌خوبی فرموله‌شده از هنری کوهن از MIT آمده است: "متأسفانه، این تکنیک اثبات واقعاً می‌تواند برای مبتدیان مشکل‌ساز باشد. به طور معمول، آنچه اتفاق می‌افتد این است که اثبات کاملاً منطقی شروع می‌شود، و سپس در هزارتویی از پیچیدگی گم می‌شود. جایی در این آشفتگی، اشتباهی رخ می‌دهد که منجر به یک تناقض می‌شود. آنگاه به نظر می‌رسد که اثبات کامل شده است، اما متأسفانه تناقض هیچ ربطی به فرض اولیه ندارد، و صرفاً از اشتباه میان راه ناشی می‌شود."

15.2 سمینار

15.2.1 فراتر از اثبات‌های مستقیم: تکنیک‌های تناقض و تغییر شکل

ما قبلاً یک تکنیک اثبات را دیده‌ایم، یعنی "روش استقرا". سایر اثبات‌ها یا از طریق محاسبات مستقیم انجام شده‌اند یا با ترکیب قضایا یا نامساوی‌های از پیش شناخته‌شده. امروز، به دو تکنیک اثبات جدید و اساساً متفاوت می‌پردازیم. روش اول، روش "با تناقض" است. روش دوم، "روش تغییر شکل" است. هر دو روش با یک قضیه نشان داده می‌شوند.

15.2.2 شگفتی فیثاغورثی

اولین قضیه یکی از قدیمی‌ترین نتایج در ریاضیات است. این قضیه هیپاسوس از سال ۵۰۰ قبل از میلاد است. نتیجه‌ای بود که فیثاغورثیان را چنان شوکه کرد که هیپاسوس به خاطر کشف آن کشته شد. حداقل این چیزی است که شایعات می‌گویند.

15.2.3 تکمیل یک اثبات هندسی برای قطر گنگ

توجه داشته باشید که اثبات بر قضیه اساسی حساب تکیه داشت که تضمین می‌کند هر عدد صحیح یک تجزیه اولیه منحصر به فرد دارد.

15.2.4 فراتر از تناقض

اثبات‌های با تناقض می‌توانند خطرناک باشند. یک اثبات معیوب می‌تواند "$\boxed{\text{فرض کند}}$ خلاف را، با استدلال‌ها ور برود، جایی اشتباه کند و به یک $\boxed{\text{تناقض}}$ برسد. تمام." بهتر از یک اثبات با تناقض، یک اثبات سازنده است.

15.2.5 یک اثبات غیرسازنده برای توان‌های گویا از اعداد گنگ

در اینجا یک اثبات غیرسازنده شگفت‌انگیز آورده شده است:

15.2.6 کاوش در انحنا و قضیه اوملاوف هوپف

دومین تکنیک اثبات که امروز می‌بینیم یک استدلال تغییر شکل است. برای توضیح آن، یک خم بسته $C^2$ در ${ℝ}^2$ بدون تقاطع‌های خودی در نظر بگیرید. ما قبلاً انحنای $\kappa (t)$ آن را تعریف کرده‌ایم. برای خم‌ها در ${ℝ}^2$، انحنای علامت‌دار $K(t)$ را تعریف کنید. اگر خم به گونه‌ای پارامتری شود که و $T(t)=[\cos (\alpha (t)),\sin (\alpha (t))]$، آنگاه . توجه کنید که اکنون اگر یک خم $r:[a,b]\to {ℝ}^2$ داشته باشیم، می‌توانیم انحنای کل را به صورت ${\int }_a^{b}K(t)dt$ تعریف کنیم. بر اساس قضیه اساسی حسابان، این انحنای کل برابر با تغییر زاویه $\alpha (b)-\alpha (a)$ است. اکنون، اگر خم بسته باشد، زوایای ابتدایی و انتهایی باید مضربی از $2\pi$ اختلاف داشته باشند. قضیه اوملاوف هوپف می‌گوید که

تمرین‌ها