矛盾与变形

15.1 引言

15.1.1 反证法

逻辑论证中最常见的谬误之一就是逆推蕴含关系。如果 $A$ 蕴含 $B$ ，那么 $B$ 就蕴含 $A$ 。对吗？如果你是个白痴，你就会做蠢事。所以，如果你做蠢事，你就是个白痴。这是不对的。蕴含关系 $A \Rightarrow B$ 并不蕴含 $B \Rightarrow A$ ，而是蕴含 $\neg B ⟹ \neg A$ 。这被称为反证法。我们用 $\neg A$ 表示 $A$ 的否定。与反证法相关的是“归谬法”。要从某些陈述 $A$ 证明陈述 $B$ ，我们可以假设 $B$ 为假，并由此推导出 $A$ 为假。

**图 1.** 归谬法。苏格兰画家约翰·佩蒂（1839-1993）的作品。此图出现在维基百科关于归谬法的页面上。

15.1.2 逆推蕴含是逻辑谬误：一个例子

举个例子：设 $A$ 为命题“天在下雨”。设 $B$ 为命题“街道是湿的”。显然 $A$ 蕴含 $B$ 。但 $B$ 并不蕴含 $A$ 。街道湿可能是因为早些时候下过雨，或者有人在清洗街道。但我们可以得出结论：如果街道不湿，那么天没有下雨。命题 $A ⟹ B$ 确实等价于 $\neg B ⟹ \neg A$ 。

15.1.3 反证法的美妙与危险

杰弗里·哈代描述如下：“这个证明用的是归谬法，而欧几里得钟爱的归谬法，是数学家最精良的武器之一。”但每个做过证明的数学家都知道其中的陷阱。麻省理工学院的亨利·科恩有一段精辟的论述：“不幸的是，这种证明技巧确实会给初学者带来麻烦。通常的情况是，证明开始时相当合理，然后便迷失在复杂的迷宫中。在混乱中的某处，犯了一个错误，导致了一个矛盾。然后看起来证明完成了，但不幸的是，这个矛盾与最初的假设毫无关系，完全源于中间的那个错误。”

15.2 研讨

15.2.1 超越直接证明：反证法与变形技巧

我们已经见过一种证明技巧，“归纳法”。其他证明要么通过直接计算，要么通过组合已知定理或不等式来完成。今天，我们来看两种全新的、根本不同的证明技巧。第一种是“反证法”。第二种是“变形法”。这两种方法都将通过一个定理来说明。

15.2.2 毕达哥拉斯学派的震惊

第一个定理是数学史上最早的结果之一。它是公元前500年的希帕索斯定理。这个结果令毕达哥拉斯学派大为震惊，以至于希帕索斯因这一发现而被杀。至少传闻是这么说的。

定理 1. 单位正方形的对角线长度是无理数。

证明. $假设$ 该命题为假，对角线长度为有理数 $p / q$ 。那么根据毕达哥拉斯定理，有 $2 = p^{2} / q^{2}$ 或 $2 q^{2} = p^{2}$ 。根据算术基本定理，左边有奇数个因子 2，右边有偶数个因子 2。这是一个 $矛盾$ 。因此假设必定是错误的。 ◻

问题 A: 证明 2 的立方根是无理数。

15.2.3 完成无理对角线的几何证明

注意，该证明依赖于算术基本定理，该定理确保每个整数都有唯一的素因数分解。

问题 B: 图 (15.2) 是一个不需要算术基本定理的几何反证法证明。完成该证明。¹

**图 2.** $\sqrt{2}$ 是无理数。首先假设大黄色正方形的边长和对角线长度都是整数。然后推断出严格较小的橙色正方形的边长和对角线长度也是整数。

15.2.4 超越反证法

反证法可能很危险。一个有缺陷的证明可能会“ $假设$ 相反情况，胡乱论证，在某处犯个错误，然后得出一个 $矛盾$ 。证毕”。比反证法更好的是构造性证明。

15.2.5 无理数的有理数次幂的非构造性证明

这里有一个令人惊叹的非构造性证明：

定理 2. 存在两个无理数 $x$ , $y$ ，使得 $x^{y}$ 是有理数。

证明. 有两种可能性。要么 $z = {\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ 是无理数，要么不是。在第一种情况下，我们找到了一个例子，其中 $x = y = \sqrt{2}$ 。在第二种情况下，取 $x = z$ ，取 $y = \sqrt{2}$ 。现在 $x^{y} = {\sqrt{2}}^{2} = 2$ 是有理数，我们有了一个例子。 ◻

15.2.6 探索曲率与霍普夫环绕定理

我们今天看到的第二种证明技巧是变形论证。为了说明它，取 $ℝ^{2}$ 中一条没有自交点的闭合 $C^{2}$ 曲线。我们已经定义了它的曲率 $κ (t)$ 。对于 $ℝ^{2}$ 中的曲线，定义有向曲率 $K (t)$ 。如果曲线参数化使得且 $T (t) = [\cos (α (t)), \sin (α (t))]$ ，那么。注意现在，如果我们有一条曲线 $r : [a, b] \to ℝ^{2}$ ，我们可以将总曲率定义为 $\int_{a}^{b} K (t) d t$ 。根据微积分基本定理，这个总曲率就是角度变化 $α (b) - α (a)$ 。现在，如果曲线是闭合的，初始角度和最终角度必须相差 $2 π$ 的整数倍。霍普夫环绕定理告诉我们