Contradicción y deformación

Índice

15.1 INTRODUCCIÓN
15.2 SEMINARIO
EJERCICIOS

15.1 INTRODUCCIÓN

15.1.1 Demostración por contradicción

Una de las falacias más comunes que se cometen en la argumentación lógica es invertir una implicación. Si $A$ implica $B$ , entonces $B$ implica $A$ . ¿Verdad? Si eres un idiota, haces estupideces. Entonces, si haces estupideces, eres un idiota. Esto no es cierto. La implicación $A \Rightarrow B$ no implica $B \Rightarrow A$ , pero sí implica $\neg B ⟹ \neg A$ . Esto se llama contradicción. Escribimos $\neg A$ para la negación de $A$ . Relacionado con la contradicción está el método de "Reductio ad absurdum". Para demostrar una afirmación $B$ a partir de algunas afirmaciones $A$ , podemos asumir que $B$ es falsa y deducir de esto que $A$ es falsa.

**Figura 1.** Reductio ad absurdum. Pintura del pintor escocés John Pettie (1839-1993). Esta imagen aparece en la página de Wikipedia sobre Reductio ad absurdum.

15.1.2 Invertir implicaciones es una falacia lógica: un ejemplo

He aquí un ejemplo: Sea $A$ la afirmación "Llueve". Y sea $B$ la afirmación "La calle está mojada". Obviamente $A$ implica $B$ . Pero $B$ no implica $A$ . Podría ser que la calle esté mojada por una lluvia que paró antes o que alguien estuviera limpiando la calle. Pero podemos concluir: si la calle no está mojada, entonces no llueve. La afirmación $A ⟹ B$ es, de hecho, equivalente a $\neg B ⟹ \neg A$ .

15.1.3 La belleza y el peligro de la demostración por contradicción

Geoffrey Hardy lo describe así: "La demostración es por reductio ad absurdum, y la reductio ad absurdum, que tanto amaba Euclides, es una de las mejores armas de un matemático." Pero todo matemático que ha hecho demostraciones conoce las trampas. He aquí una declaración bien formulada por Henry Cohn del MIT: "Lamentablemente, esta técnica de demostración puede causar problemas a los principiantes. Típicamente, lo que sucede es que la demostración comienza de manera bastante razonable, y luego se pierde en un laberinto de complejidad. En algún lugar de la confusión, se comete un error, lo que lleva a una contradicción. Entonces parece que la demostración está hecha, pero desafortunadamente la contradicción no tiene nada que ver con la suposición inicial, y proviene únicamente del error en el medio."

15.2 SEMINARIO

15.2.1 Más allá de las demostraciones directas: técnicas de contradicción y deformación

Ya hemos visto una técnica de demostración, el "método de inducción". Otras demostraciones se hicieron ya sea mediante cálculos directos o combinando teoremas o desigualdades ya conocidos. Hoy veremos dos técnicas de demostración nuevas y fundamentalmente diferentes. La primera es el método "por contradicción". El segundo método es el "método de deformación". Ambos métodos se ilustran con un teorema.

15.2.2 Sorpresa pitagórica

El primer teorema es uno de los resultados más tempranos en matemáticas. Es el teorema de Hípaso del 500 a.C. Fue un resultado que impactó tanto a los pitagóricos que Hípaso fue asesinado por su descubrimiento. Al menos eso cuentan los rumores.

Teorema 1. La diagonal de un cuadrado unitario tiene longitud irracional.

Demostración. $Supongamos$ que la afirmación es falsa y que la diagonal tiene longitud racional $p / q$ . Entonces, por el teorema de Pitágoras $2 = p^{2} / q^{2}$ o $2 q^{2} = p^{2}$ . Por el teorema fundamental de la aritmética, el lado izquierdo tiene un número impar de factores 2 , el lado derecho un número par. Esto es una $contradicción$ . La suposición debe haber sido incorrecta. ◻

Problema A: Demuestre que la raíz cúbica de $2$ es irracional.

15.2.3 Completando una demostración geométrica de la diagonal irracional

Nótese que la demostración se basó en el teorema fundamental de la aritmética, que asegura que todo entero tiene una factorización prima única.

Problema B: La figura (15.2) es una demostración geométrica por contradicción que no necesita el teorema fundamental de la aritmética. Complete la demostración.¹

**Figura 2.** $\sqrt{2}$ es irracional. Comience asumiendo que la longitud del lado y la diagonal del cuadrado amarillo grande son enteros. Concluya que para el cuadrado naranja estrictamente más pequeño, la longitud del lado y la diagonal son enteros.

15.2.4 Más allá de la contradicción

Las demostraciones por contradicción pueden ser peligrosas. Una demostración defectuosa puede " $suponer$ lo contrario, enredarse con argumentos, cometer un error en algún lugar y obtener una $contradicción$ . QED". Mejor que una demostración por contradicción es una demostración constructiva.

15.2.5 Una demostración no constructiva de potencias racionales de números irracionales

Aquí hay una demostración no constructiva que es asombrosa:

Teorema 2. Existen dos números irracionales $x$ , $y$ tales que $x^{y}$ es racional.

Demostración. Hay dos posibilidades. O bien $z = {\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ es irracional o no lo es. En el primer caso, hemos encontrado un ejemplo donde $x = y = \sqrt{2}$ . En el segundo caso, tomamos $x = z$ y tomamos $y = \sqrt{2}$ . Ahora $x^{y} = {\sqrt{2}}^{2} = 2$ es racional y tenemos un ejemplo. ◻

15.2.6 Explorando la curvatura y el Hopf Umlaufsatz

La segunda técnica de demostración que vemos hoy es un argumento de deformación. Para ilustrarlo, tomemos una curva cerrada $C^{2}$ en $ℝ^{2}$ sin autointersecciones. Ya hemos definido su curvatura $κ (t)$ . Para curvas en $ℝ^{2}$ , definimos la curvatura con signo $K (t)$ . Si la curva se parametriza de modo que |r^{\prime}(t)|=1 y $T (t) = [\cos (α (t)), \sin (α (t))]$ , entonces K(t)=\alpha^{\prime}(t). Nótese que \kappa(t)=|T^{\prime}(t)|=\big|[-\sin (\alpha(t)), \cos (\alpha(t))] \alpha^{\prime}(t)\big|=|K(t)|. Ahora, si tenemos una curva $r : [a, b] \to ℝ^{2}$ , podemos definir la curvatura total como $\int_{a}^{b} K (t) d t$ . Por el teorema fundamental del cálculo, esta curvatura total es el cambio del ángulo $α (b) - α (a)$ . Ahora, si la curva es cerrada, los ángulos inicial y final deben diferir en un múltiplo de $2 π$ . El Hopf Umlaufsatz dice que

Teorema 3. La curvatura total de una curva cerrada simple es $2 π$ o $- 2 π$ .

**Figura 3.** Cuatro curvas cerradas simples para las cuales no es obvio que la curvatura total sea $2 π$ .

Problema C:

¿Por qué la curvatura total no es siempre $2 π$ ?
Formule qué sucede en la Figura (15.4).

**Figura 4.** Demostración de deformación de Hopf: cada imagen muestra la línea que pasa por $r (s)$ , $r (t)$ y a la derecha el parámetro $(s, t)$ . En la columna izquierda, donde $s = t$ , tratamos con el giro de la tangente. Debemos mostrar que gira $2 π$ . Las siguientes columnas deforman la situación donde la trayectoria a través del cuadrado de parámetros es cambiada. En la columna de la extrema derecha, giramos el segmento dos veces por $π$ , en total $2 π$ .

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Demuestre por contradicción que $\sqrt{12}$ es irracional.

Ejercicio 2. Demuestre por contradicción que $\log_{10} (2)$ es irracional. $\log_{10}$ es el logaritmo con respecto a la base $10$ .

Ejercicio 3. Demuestre por contradicción que hay infinitos primos de la forma $4 k - 1$ .

Sugerencia: Si $p_{i}$ son de la forma $4 k - 1$ , entonces $4 \prod_{j} p_{i} - 1$ es nuevamente de la forma $4 k - 1$ .

Ejercicio 4. Verifique el Hopf Umlaufsatz para un círculo de radio $5$ , donde $r (t) = [\begin{matrix} 5 \cos (t) \\ 5 \sin (t) \end{matrix}] .$ Opcional: ¿qué dice el Umlaufsatz para un triángulo?

**Figura 5.** ¿Puede adaptar el Hopf Umlaufsatz para triángulos?

Ejercicio 5. Hay una variante de la demostración por contradicción que es la demostración por descenso infinito. Se usó para demostrar un caso especial del Último Teorema de Fermat. Este resultado especial dice que la ecuación $r^{2} + s^{4} = t^{4}$ no tiene solución con $r$ , $s$ , $t$ positivos. Busque y escriba la demostración de este teorema.

**Figura 6.** Pierre de Fermat: recorte de una foto de Didier Descouens: mostrando el Monumento a Pierre de Fermat de Alexandre Falguière en Beaumont-de-Lomagne, Tarn-et-Garonne, Francia.

Para más explicación, vea https://www.youtube.com/watch?v=Ih16BIoR9eM ↩︎