Regras da Soma, Diferença, Produto e Quociente

Exemplo 6.1. Se agora tomarmos o exemplo do parágrafo anterior, e colocarmos os valores das duas funções, teremos, usando a notação mostrada \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{d(x^2+c)}{dx} + \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\ &= 2x + 4ax^3, \end{align} exatamente como antes.

Exemplo 6.2. Queremos derivar o produto $$(x^2+c)\times (a{x}^4+b).$$

Chame $(x^2+c)=u$; e $(a{x}^4+b)=v$.

Então, pela regra geral que acabamos de estabelecer, podemos escrever: \begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= (x^2 + c)\, \frac{d(ax^4 + b)}{dx} &&+ (ax^4 + b)\, \frac{d(x^2 + c)}{dx} \\ &= (x^2 + c)\, 4ax^3 &&+ (ax^4 + b)\, 2x \\ &= 4ax^5 + 4acx^3 &&+ 2ax^5 + 2bx, \end{align} $$\frac{dy}{dx}=6a{x}^5+4ac{x}^3+2bx,$$

exatamente como antes.

Exemplo 6.3. Voltando ao nosso exemplo $y={\displaystyle \frac{b{x}^5+c}{x^2+a}}$,

escreva $$b{x}^5+c=u;$$ e $$x^2+a=v.$$

Então \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + a)\, \dfrac{d(bx^5 + c)}{dx} - (bx^5 + c)\, \dfrac{d(x^2 + a)}{dx}}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{(x^2 + a)(5bx^4) - (bx^5 + c)(2x)}{(x^2 + a)^2}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3bx^6 + 5abx^4 - 2cx}{(x^2 + a)^2}.\quad {(\text{Resposta}.)} \end{align}

Exemplo 6.4. Derive $y={\displaystyle \frac{a}{b^2}}{x}^3-{\displaystyle \frac{a^2}{b}}x+{\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}$.

Solução. Sendo uma constante, ${\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}$ desaparece, e temos $$\frac{dy}{dx}=\frac{a}{b^2}\times 3\times x^{3-1}-\frac{a^2}{b}\times 1\times x^{1-1}.$$

Mas $x^{1-1}=x^0=1$; então obtemos: $$\frac{dy}{dx}=\frac{3a}{b^2}{x}^2-\frac{a^2}{b}.$$

Exemplo 6.5. Derive $y=2a\sqrt{b{x}^3}-{\displaystyle \frac{3b\sqrt[3]{a}}{x}}-2\sqrt{ab}$.

Solução. Colocando $x$ na forma de índice, obtemos $$y=2a\sqrt{b}{x}^{\frac{3}{2}}-3b\sqrt[3]{a}{x}^{-1}-2\sqrt{ab}.$$

Agora $$\frac{dy}{dx}=2a\sqrt{b}\times \frac{3}{2}\times x^{\frac{3}{2}-1}-3b\sqrt[3]{a}\times (-1)\times x^{-1-1};$$ ou, $$\frac{dy}{dx}=3a\sqrt{bx}+\frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}.$$

Exemplo 6.6. Derive $z=1.8\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{{\theta }^2}}}-{\displaystyle \frac{4.4}{\sqrt[5]{\theta }}}-27$.

Solução. Isto pode ser escrito: $z=1.8{\theta }^{-\frac{2}{3}}-4.4{\theta }^{-\frac{1}{5}}-27$.

O $27$ desaparece, e temos $$\frac{dz}{d\theta }=1.8\times -\frac{2}{3}\times {\theta }^{-\frac{2}{3}-1}-4.4\times (-\frac{1}{5}){\theta }^{-\frac{1}{5}-1};$$ ou, $$\frac{dz}{d\theta }=-1.2{\theta }^{-\frac{5}{3}}+0.88{\theta }^{-\frac{6}{5}};$$ ou, $$\frac{dz}{d\theta }=\frac{0.88}{\sqrt[5]{{\theta }^6}}-\frac{1.2}{\sqrt[3]{{\theta }^5}}.$$

Exemplo 6.7. Derive $v=(3t^2-1.2t+1{)}^3$.

Solução. Uma maneira direta de fazer isto será explicada mais tarde; mas podemos mesmo assim conseguir fazê-lo agora sem qualquer dificuldade.

Desenvolvendo o cubo, obtemos $$v=27t^6-32.4t^5+39.96t^4-23.328t^3+13.32t^2-3.6t+1;$$ logo $$\frac{dv}{dt}=162t^5-162t^4+159.84t^3-69.984t^2+26.64t-3.6.$$

Exemplo 6.8. Derive $y=(2x-3)(x+1{)}^2$.

Solução. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= (2x - 3)\, \frac{d\bigl[(x + 1)(x + 1)\bigr]}{dx}+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= (2x - 3) \left[(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}+(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right] + (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= 2(x + 1)\bigl[(2x - 3) + (x + 1)\bigr]\\ & = 2(x + 1)(3x - 2); \end{align} ou, mais simplesmente, multiplique e depois derive.

Exemplo 6.9. Derive $y=0.5x^3(x-3)$.

Solução. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= 0.5\left[x^3 \frac{d(x-3)}{dx} + (x-3) \frac{d(x^3)}{dx}\right] \\ &= 0.5\left[x^3 + (x-3) \times 3x^2\right] = 2x^3 - 4.5x^2. \end{align}

Mesmos comentários do exemplo anterior.

Exemplo 6.10. Derive $w=(\theta +{\displaystyle \frac{1}{\theta }})(\sqrt{\theta }+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\theta }}})$.

Solução. Isto pode ser escrito $$w=(\theta +{\theta }^{-1})({\theta }^{\frac{1}{2}}+{\theta }^{-\frac{1}{2}}).$$ \begin{align} \frac{dw}{d\theta} &= (\theta + \theta^{-1}) \frac{d(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})}{d\theta} + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}) \frac{d(\theta+\theta^{-1})}{d\theta} \\ &= (\theta + \theta^{-1})(\tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{1}{2}} - \tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{3}{2}}) + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})(1 - \theta^{-2}) \\ &= \tfrac{1}{2}(\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) + (\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) \\&= \tfrac{3}{2} \left(\sqrt{\theta} - \frac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) + \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{\theta}} - \frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \end{align}

Isto, novamente, poderia ser obtido mais simplesmente multiplicando os dois fatores primeiro, e depois derivando. Isto não é, porém, sempre possível; veja, por exemplo, Exemplo 15.8, no qual a regra para derivar um produto deve ser usada.

Exemplo 6.11. Derive $y={\displaystyle \frac{a}{1+a\sqrt{x}+a^{2}x}}$.

Solução. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x) \times 0 - a\dfrac{d(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)}{dx}} {(1 + a\sqrt{x} + a^2x)^2} \\ &= - \frac{a(\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}} + a^2)} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2}. \end{align}

Exemplo 6.12. Derive $y={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}$.

Solução. $$\frac{dy}{dx}=\frac{(x^2+1)2x-x^2\times 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}.$$

Exemplo 6.13. Derive $y={\displaystyle \frac{a+\sqrt{x}}{a-\sqrt{x}}}$.

Solução. Na forma de índice, $y={\displaystyle \frac{a+x^{\frac{1}{2}}}{a-x^{\frac{1}{2}}}}$. $$\frac{dy}{dx}=\frac{(a-x^{\frac{1}{2}})(\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}})-(a+x^{\frac{1}{2}})(-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}})}{(a-x^{\frac{1}{2}}{)}^2}=\frac{a-x^{\frac{1}{2}}+a+x^{\frac{1}{2}}}{2(a-x^{\frac{1}{2}}{)}^2{x}^{\frac{1}{2}}};$$ logo $$\frac{dy}{dx}=\frac{a}{(a-\sqrt{x}{)}^2\sqrt{x}}.$$

Exemplo 6.14. Derive $$\theta =\frac{1-a\sqrt[3]{t^2}}{1+a\sqrt[2]{t^3}}.$$

Solução. Agora \begin{align} \theta &= \frac{1 - at^{\frac{2}{3}}}{1 + at^{\frac{3}{2}}}. \\[9pt] \frac{d\theta}{dt} &= \frac{(1 + at^{\frac{3}{2}}) (-\tfrac{2}{3} at^{-\frac{1}{3}}) - (1 - at^{\frac{2}{3}}) \times \tfrac{3}{2} at^{\frac{1}{2}}} {(1 + at^{\frac{3}{2}})^2} \\ &= \frac{5a^2 \sqrt[6]{t^7} - \dfrac{4a}{\sqrt[3]{t}} - 9a \sqrt[2]{t}} {6(1 + a \sqrt[2]{{t^3}})^2}. \end{align}

Exemplo 6.15. Um reservatório de seção transversal quadrada tem lados inclinados em um ângulo de ${45}^{\circ }$ com a vertical. O lado do fundo é $200$ pés. Encontre uma expressão para a quantidade que entra ou sai quando a profundidade da água varia em $1$ pé; logo encontre, em galões, a quantidade retirada por hora quando a profundidade é reduzida de $14$ para $10$ pés em $24$ horas.

O volume de um tronco de pirâmide (veja a figura seguinte) de altura $H$, e de bases $A$ e $a$, é $V={\displaystyle \frac{H}{3}}(A+a+\sqrt{Aa})$.

Solução. É facilmente visto que, sendo a inclinação ${45}^{\circ }$, se a profundidade for $h$, o comprimento do lado da superfície quadrada da água é $200+2h$ pés (veja a figura seguinte), de modo que o volume de água é $$\frac{h}{3}[{200}^2+(200+2h{)}^2+200(200+2h)]=40,000h+400h^2+\frac{4h^3}{3}.$$

${\displaystyle \frac{dV}{dh}}=40,000+800h+4h^2=$ pés cúbicos por pé de variação de profundidade. O nível médio de $14$ para $10$ pés é $12$ pés, quando $h=12$, ${\displaystyle \frac{dV}{dh}}=50,176$ pés cúbicos.

Galões por hora correspondendo a uma mudança de profundidade de $4$ pés em $24$ horas $={\displaystyle \frac{4\times 50,176\times 6.25}{24}}=52,267$ galões.

Exemplo 6.16. A pressão absoluta, em atmosferas, $P$, de vapor saturado à temperatura $T$ medida em graus Celsius é dada por Dulong como sendo $P={\left({\displaystyle \frac{40+T}{140}}\right)}^5$ contanto que $T$ seja acima de $80{}^{\circ }$C. Encontre a taxa de variação da pressão com a temperatura em $100{}^{\circ }$C.

Solução. Expanda o numerador pelo teorema binomial (veja o apêndice). $$P=\frac{1}{{140}^5}({40}^5+5\times {40}^{4}T+10\times {40}^3{T}^2+10\times {40}^2{T}^3+5\times 40T^4+T^5);$$

logo \begin{align} \dfrac{dP}{dT} = &\dfrac{1}{537,824 \times 10^5}\left(5 \times 40^4 + 20 \times 40^3 T + 30 \times 40^2 T^2 + 20 \times 40 T^3 + 5 T^4\right), \end{align} quando $T=100$ isto se torna $0.036$ atmosfera por grau de variação de temperatura Celsius.