As Regras da Soma e da Diferença
Aprendemos como derivar funções algébricas simples como x^2 + c ou ax^4, e agora temos que considerar como lidar com a soma de duas ou mais funções.
Por exemplo, seja y = (x^2+c) + (ax^4+b); qual será sua \dfrac{dy}{dx}? Como vamos proceder neste novo problema?
A resposta a esta pergunta é bem simples: apenas derive cada uma delas, uma após a outra, assim: \dfrac{dy}{dx} = 2x + 4ax^3.\quad (\text{Resp}.)
Se tiver alguma dúvida sobre se isto está correto, experimente um caso mais geral, resolvendo-o por primeiros princípios. E é assim que se faz.
Seja y = u+v, onde u é uma função qualquer de x, e v é outra função qualquer de x. Então, deixando x aumentar para x+dx, y aumentará para y+dy; e u aumentará para u+du; e v para v+dv.
E teremos: y+dy = u+du + v+dv. Subtraindo o y = u+v original, obtemos dy = du+dv, e dividindo por dx, temos: \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{du}{dx} + \dfrac{dv}{dx}.
Isto justifica o procedimento. Você deriva cada função separadamente e adiciona os resultados. Isto é chamado a Regra da Soma.
\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{y=u+v\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}+\dfrac{dv}{dx}}\tag{Regra da Soma}
Exemplo 6.1. Se agora tomarmos o exemplo do parágrafo anterior, e colocarmos os valores das duas funções, teremos, usando a notação mostrada \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{d(x^2+c)}{dx} + \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\ &= 2x + 4ax^3, \end{align} exatamente como antes.
Se houvesse três funções de x, que possamos chamar de u, v e w, de modo que \begin{align} y &= u+v+w; \end{align} então \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} + \frac{dw}{dx}. \end{align}
Quanto à subtração, segue imediatamente; pois se a função v tivesse um sinal negativo, sua derivada também seria negativa; de modo que ao diferenciar \begin{align} y &= u-v, \end{align} teríamos \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}. \end{align} Isto é chamado a Regra da Diferença. \bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{y=u-v\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}-\dfrac{dv}{dx}}\tag{Regra da Diferença}
A Regra do Produto
Quando temos que lidar com Produtos, a coisa não é tão simples assim.
Suponha que nos peçam para derivar a expressão y = (x^2+c) \times (ax^4+b), o que fazer? O resultado certamente não será 2x \times 4ax^3; pois é fácil ver que nem c \times ax^4, nem x^2 \times b, teriam sido incluídos naquele produto.
Agora há duas maneiras pelas quais podemos proceder.
Faça a multiplicação primeiro, e, tendo calculado, depois derive.
Assim, multiplicamos juntos x^2 + c e ax^4 + b.
Isto dá ax^6 + acx^4 + bx^2 + bc.
Agora derive, e obtemos: \dfrac{dy}{dx} = 6ax^5 + 4acx^3 + 2bx.
Volte aos primeiros princípios, e considere a equação y = u \times v; onde u é uma função de x, e v é qualquer outra função de x. Então, se x cresce para ser x+dx; e y para y+dy; e u fica u+du, e v fica v+dv, teremos: \begin{align} y + dy &= (u + du) \times (v + dv) \\ &= u \cdot v + u \cdot dv + v \cdot du + du \cdot dv. \end{align}
Agora du \cdot dv é uma quantidade pequena de segunda ordem de pequenez, e portanto no limite pode ser descartada, deixando y + dy = u \cdot v + u \cdot dv + v \cdot du.
Então, subtraindo o y = u\cdot v original, temos dy = u \cdot dv + v \cdot du; e, dividindo por dx, obtemos o resultado: \dfrac{dy}{dx} = u\, \dfrac{dv}{dx} + v\, \dfrac{du}{dx}.
Isto mostra que nossas instruções serão as seguintes: Para derivar o produto de duas funções, multiplique cada função pela derivada da outra, e adicione os dois produtos obtidos. Isto é chamado a Regra do Produto.
Você deve notar que este processo equivale ao seguinte: Trate u como constante enquanto você deriva v; então trate v como constante enquanto você deriva u; e a derivada inteira \dfrac{dy}{dx} será a soma destes dois cálculos.
\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{y=u\times v\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx} = u\, \dfrac{dv}{dx} + v\, \dfrac{du}{dx}}\tag{Regra do Produto}
Agora, tendo encontrado esta regra, aplique-a ao exemplo concreto que foi considerado acima.
Exemplo 6.2. Queremos derivar o produto (x^2 + c) \times (ax^4 + b).
Chame (x^2 + c) = u; e (ax^4 + b) = v.
Então, pela regra geral que acabamos de estabelecer, podemos escrever: \begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= (x^2 + c)\, \frac{d(ax^4 + b)}{dx} &&+ (ax^4 + b)\, \frac{d(x^2 + c)}{dx} \\ &= (x^2 + c)\, 4ax^3 &&+ (ax^4 + b)\, 2x \\ &= 4ax^5 + 4acx^3 &&+ 2ax^5 + 2bx, \end{align} \dfrac{dy}{dx}= 6ax^5 + 4acx^3 + 2bx,
exatamente como antes.
A Regra do Quociente
Por último, temos que derivar quocientes.
Pense neste exemplo, y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a}. Neste caso não adianta tentar fazer a divisão de antemão, pois x^2 + a não dividirá bx^5 + c, nem têm qualquer fator comum. Então não há nada a fazer senão voltar aos primeiros princípios, e encontrar uma regra.
Então colocaremos y = \frac{u}{v}; onde u e v são duas funções diferentes da variável independente x. Então, quando x se torna x + dx, y se tornará y + dy; e u se tornará u + du; e v se tornará v + dv. Assim y + dy = \dfrac{u + du}{v + dv}. Agora faça a divisão algébrica, assim:
Como ambos estes restos são quantidades pequenas de segunda ordem, podem ser negligenciados, e a divisão pode parar aqui, pois qualquer resto adicional seria de magnitudes ainda menores.
Então temos: y + dy = \dfrac{u}{v} + \dfrac{du}{v} - \dfrac{u\cdot dv}{v^2}; que pode ser escrito = \dfrac{u}{v} + \dfrac{v\cdot du - u\cdot dv}{v^2}. Agora subtraia o y = \dfrac{u}{v} original, e nos resta: dy = \dfrac{v\cdot du - u\cdot dv}{v^2}; portanto, \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{v\, \dfrac{du}{dx} - u\, \dfrac{dv}{dx}}{v^2}.
Uma abordagem diferente para obter a Regra do Quociente é escrever o quociente y=\frac{u}{v} como u=yv. Se diferenciarmos ambos os lados com relação a x, pela Regra do Produto obtemos \frac{du}{dx}=y\frac{dv}{dx}+v\frac{dy}{dx}. Resolvendo para \dfrac{dy}{dx} dá \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{du}{dx}-y\dfrac{dv}{dx}}{v} Agora se fizermos a substituição y=\dfrac{u}{v} no lado direito da fórmula acima, obtemos \begin{align} \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{du}{dx}-\dfrac{u}{v}\dfrac{dv}{dx}}{v} \end{align} ou \begin{align} \frac{dy}{dx}=\frac{v\dfrac{du}{dx}-u\dfrac{dv}{dx}}{v^2}, \end{align} como antes.
Isto nos dá nossas instruções sobre como derivar um quociente de duas funções. Multiplique a função divisor pela derivada da função dividendo; então multiplique a função dividendo pela derivada da função divisor; e subtraia. Por último divida pelo quadrado da função divisor. Isto é chamado a Regra do Quociente.
\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{y=\dfrac{u}{v}\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v\dfrac{du}{dx}-u\dfrac{dv}{dx}}{v^2}}\tag{Regra do Quociente}
Exemplo 6.3. Voltando ao nosso exemplo y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a},
escreva bx^5 + c = u; e x^2 + a = v.
Então \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + a)\, \dfrac{d(bx^5 + c)}{dx} - (bx^5 + c)\, \dfrac{d(x^2 + a)}{dx}}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{(x^2 + a)(5bx^4) - (bx^5 + c)(2x)}{(x^2 + a)^2}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3bx^6 + 5abx^4 - 2cx}{(x^2 + a)^2}.\quad {(\text{Resposta}.)} \end{align}
O cálculo de quocientes é frequentemente tedioso, mas não há nada difícil nisso.
Alguns exemplos adicionais completamente resolvidos são dados adiante.
Exemplo 6.4. Derive y = \dfrac{a}{b^2} x^3 - \dfrac{a^2}{b} x + \dfrac{a^2}{b^2}.
Solução. Sendo uma constante, \dfrac{a^2}{b^2} desaparece, e temos \frac{dy}{dx} = \frac{a}{b^2} \times 3 \times x^{3-1} - \frac{a^2}{b} \times 1 \times x^{1-1}.
Mas x^{1-1} = x^0 = 1; então obtemos: \frac{dy}{dx} = \frac{3a}{b^2} x^2 - \frac{a^2}{b}.
Exemplo 6.5. Derive y = 2a\sqrt{bx^3} - \dfrac{3b \sqrt[3]{a}}{x} - 2\sqrt{ab}.
Solução. Colocando x na forma de índice, obtemos y = 2a\sqrt{b} x^{\frac{3}{2}} - 3b \sqrt[3]{a} x^{-1} - 2\sqrt{ab}.
Agora \frac{dy}{dx} = 2a\sqrt{b} \times \dfrac{3}{2} \times x^{\frac{3}{2}-1} - 3b\sqrt[3]{a} \times (-1) \times x^{-1-1}; ou, \frac{dy}{dx} = 3a\sqrt{bx} + \frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}.
Exemplo 6.6. Derive z = 1.8 \sqrt[3]{\dfrac{1}{\theta^2}} - \dfrac{4.4}{\sqrt[5]{\theta}} - 27.
Solução. Isto pode ser escrito: z= 1.8\, \theta^{-\frac{2}{3}} - 4.4\, \theta^{-\frac{1}{5}} - 27.
O 27 desaparece, e temos \frac{dz}{d\theta} = 1.8 \times -\dfrac{2}{3} \times \theta^{-\frac{2}{3}-1} - 4.4 \times \left(-\dfrac{1}{5}\right)\theta^{-\frac{1}{5}-1}; ou, \frac{dz}{d\theta} = -1.2\, \theta^{-\frac{5}{3}} + 0.88\, \theta^{-\frac{6}{5}}; ou, \frac{dz}{d\theta} = \frac{0.88}{\sqrt[5]{\theta^6}} - \frac{1.2}{\sqrt[3]{\theta^5}}.
Exemplo 6.7. Derive v = (3 t^2 - 1.2 t + 1)^3.
Solução. Uma maneira direta de fazer isto será explicada mais tarde; mas podemos mesmo assim conseguir fazê-lo agora sem qualquer dificuldade.
Desenvolvendo o cubo, obtemos v = 27 t^6 - 32.4 t^5 + 39.96 t^4 - 23.328 t^3 + 13.32 t^2 - 3.6 t + 1; logo \frac{dv}{dt} = 162 t^5 - 162 t^4 + 159.84 t^3 - 69.984 t^2 + 26.64 t - 3.6.
Exemplo 6.8. Derive y = (2x - 3)(x + 1)^2.
Solução. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= (2x - 3)\, \frac{d\bigl[(x + 1)(x + 1)\bigr]}{dx}+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= (2x - 3) \left[(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}+(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right] + (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= 2(x + 1)\bigl[(2x - 3) + (x + 1)\bigr]\\ & = 2(x + 1)(3x - 2); \end{align} ou, mais simplesmente, multiplique e depois derive.
Exemplo 6.9. Derive y = 0.5 x^3(x-3).
Solução. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= 0.5\left[x^3 \frac{d(x-3)}{dx} + (x-3) \frac{d(x^3)}{dx}\right] \\ &= 0.5\left[x^3 + (x-3) \times 3x^2\right] = 2x^3 - 4.5x^2. \end{align}
Mesmos comentários do exemplo anterior.
Exemplo 6.10. Derive w = \left(\theta + \dfrac{1}{\theta}\right) \left(\sqrt{\theta} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta}}\right).
Solução. Isto pode ser escrito w = (\theta + \theta^{-1})(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}). \begin{align} \frac{dw}{d\theta} &= (\theta + \theta^{-1}) \frac{d(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})}{d\theta} + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}) \frac{d(\theta+\theta^{-1})}{d\theta} \\ &= (\theta + \theta^{-1})(\tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{1}{2}} - \tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{3}{2}}) + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})(1 - \theta^{-2}) \\ &= \tfrac{1}{2}(\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) + (\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) \\&= \tfrac{3}{2} \left(\sqrt{\theta} - \frac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) + \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{\theta}} - \frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \end{align}
Isto, novamente, poderia ser obtido mais simplesmente multiplicando os dois fatores primeiro, e depois derivando. Isto não é, porém, sempre possível; veja, por exemplo, Exemplo 15.8, no qual a regra para derivar um produto deve ser usada.
Exemplo 6.11. Derive y =\dfrac{a}{1 + a\sqrt{x} + a^2x}.
Solução. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x) \times 0 - a\dfrac{d(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)}{dx}} {(1 + a\sqrt{x} + a^2x)^2} \\ &= - \frac{a(\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}} + a^2)} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2}. \end{align}
Exemplo 6.12. Derive y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}.
Solução. \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x^2 + 1)\, 2x - x^2 \times 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}.
Exemplo 6.13. Derive y = \dfrac{a + \sqrt{x}}{a - \sqrt{x}}.
Solução. Na forma de índice, y = \dfrac{a + x^{\frac{1}{2}}}{a - x^{\frac{1}{2}}}. \frac{dy}{dx} = \frac{(a - x^{\frac{1}{2}})( \tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}) - (a + x^{\frac{1}{2}})(-\tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}})} {(a - x^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{ a - x^{\frac{1}{2}} + a + x^{\frac{1}{2}}} {2(a - x^{\frac{1}{2}})^2\, x^{\frac{1}{2}}}; logo \frac{dy}{dx} = \frac{a}{(a - \sqrt{x})^2\, \sqrt{x}}.
Exemplo 6.14. Derive \theta = \frac{1 - a \sqrt[3]{t^2}}{1 + a \sqrt[2]{t^3}}.
Solução. Agora \begin{align} \theta &= \frac{1 - at^{\frac{2}{3}}}{1 + at^{\frac{3}{2}}}. \\[9pt] \frac{d\theta}{dt} &= \frac{(1 + at^{\frac{3}{2}}) (-\tfrac{2}{3} at^{-\frac{1}{3}}) - (1 - at^{\frac{2}{3}}) \times \tfrac{3}{2} at^{\frac{1}{2}}} {(1 + at^{\frac{3}{2}})^2} \\ &= \frac{5a^2 \sqrt[6]{t^7} - \dfrac{4a}{\sqrt[3]{t}} - 9a \sqrt[2]{t}} {6(1 + a \sqrt[2]{{t^3}})^2}. \end{align}
Exemplo 6.15. Um reservatório de seção transversal quadrada tem lados inclinados em um ângulo de 45^\circ com a vertical. O lado do fundo é 200 pés. Encontre uma expressão para a quantidade que entra ou sai quando a profundidade da água varia em 1 pé; logo encontre, em galões, a quantidade retirada por hora quando a profundidade é reduzida de 14 para 10 pés em 24 horas.
O volume de um tronco de pirâmide (veja a figura seguinte) de altura H, e de bases A e a, é V = \dfrac{H}{3} \left(A + a + \sqrt{Aa} \right).
Solução. É facilmente visto que, sendo a inclinação 45^\circ, se a profundidade for h, o comprimento do lado da superfície quadrada da água é 200 + 2h pés (veja a figura seguinte), de modo que o volume de água é \dfrac{h}{3} [200^2 + (200 + 2h)^2 + 200(200 + 2h)] = 40,000 h + 400 h^2 + \dfrac{4 h^3}{3}.
\dfrac{dV}{dh} = 40,000 + 800h + 4h^2 = {} pés cúbicos por pé de variação de profundidade. O nível médio de 14 para 10 pés é 12 pés, quando h = 12, \dfrac{dV}{dh} = 50,176 pés cúbicos.
Galões por hora correspondendo a uma mudança de profundidade de 4 pés em 24 horas {} = \dfrac{4 \times 50,176 \times 6.25}{24} = 52,267 galões.
Exemplo 6.16. A pressão absoluta, em atmosferas, P, de vapor saturado à temperatura T medida em graus Celsius é dada por Dulong como sendo P = \left( \dfrac{40 + T}{140} \right)^5 contanto que T seja acima de 80\,^\circC. Encontre a taxa de variação da pressão com a temperatura em 100\,^\circC.
Solução. Expanda o numerador pelo teorema binomial (veja o apêndice). P = \frac{1}{140^5}\left (40^5 + 5\times40^4 T+ 10 \times 40^3 T^2 + 10 \times 40^2 T^3 + 5 \times 40 T^4 + T^5\right);
logo \begin{align} \dfrac{dP}{dT} = &\dfrac{1}{537,824 \times 10^5}\left(5 \times 40^4 + 20 \times 40^3 T + 30 \times 40^2 T^2 + 20 \times 40 T^3 + 5 T^4\right), \end{align} quando T = 100 isto se torna 0.036 atmosfera por grau de variação de temperatura Celsius.
Exercícios
Exercício 6.1. Derive
u = 1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3} + \dotsb.
y = ax^2 + bx + c.
y = (x + a)^2.
y = (x + a)^3.
Resposta
(1) 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} + \ldots.
(2) 2ax + b.
(3) 2x + 2a.
(4) 3x^2 + 6ax + 3a^2.
Solução
(1)
\begin{align} & u=1+x+\frac{x^{2}}{1 \times 2}+\frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}+\cdots \\ & \frac{d u}{d x}=1+x+\frac{x^{2}}{1 \times 2}+\frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}+\cdots=u \end{align}
(2)
\begin{align} & y=a x^{2}+b x+c \\ & \frac{d y}{d x}=2 a x+b \end{align}
(3)
\begin{align} & y=(x+a)^{2} \\ & y=x^{2}+2 a x+a^{2} \\ & \frac{d y}{d x}=2 x+2 a=2(x+a) \end{align}
(4)
\begin{align} y & =(x+a)^{3} \\ y & =x^{3}+3 x^{2} a+3 x a+a^{3} \\ \frac{d y}{d x} & =3 x^{2}+6 x a+3 a^{2} \\ & =3\left(x^{2}+2 a x+a^{2}\right) \\ & =3(x+a)^{2} \end{align}
Exercício 6.2. Se w = at - \frac{1}{2}bt^2, encontre \dfrac{dw}{dt}.
Resposta
\dfrac{dw}{dt} = a - bt.
Solução
\begin{align} w & =a t-\frac{1}{2} b t^{2} \\ \frac{d w}{d t} & =a-b t \end{align}
Exercício 6.3. Encontre a derivada de y = (x + \sqrt{-1}) \times (x - \sqrt{-1}).
Resposta
\dfrac{dy}{dx} = 2x.
Solução
y=(x+\sqrt{-1})(x-\sqrt{-1})
Método 1) Usando a Regra do Produto, obtemos
\begin{align} \frac{d y}{d x} & =1 \times(x-\sqrt{-1})+1 \times(x+\sqrt{-1}) \\ & =2 x \end{align}
Método 2) Primeiro, vamos simplificar a expressão \begin{align} y & =(x+\sqrt{-1})(x-\sqrt{-1}) \\ & =x^{2}-(\sqrt{-1})^{2} \\ & =x^{2}-(-1)=x^{2}+1 \end{align} Agora podemos facilmente derivá-la: \frac{d y}{d x} =2 x
Exercício 6.4. Derive y = (197x - 34x^2) \times (7 + 22x - 83x^3).
Resposta
14110x^4 - 65404x^3 - 2244x^2 + 8192x + 1379.
Solução
y=\left(197 x-34 x^{2}\right) \times\left(7+22 x-83 x^{3}\right) Método a) Use a Regra do Produto \begin{gathered} \frac{d y}{d x}=(197-68 x)\left(7+22 x-83 x^{3}\right)+\left(197 x-34 x^{2}\right)\left(22-249 x^{2}\right) \\ =1379+4334 x-16351 x^{3}-476 x-1496 x^{2}+5644 x^{4} \\ +4334 x-49053 x^{3}-748 x^{2}+8466 x^{4} \end{gathered} Portanto,
\frac{d y}{d x}=14110 x^{4}-65404 x^{3}-22404 x^{2}+8192 x+1379
Método b) Expanda a expressão dada e então derive
\begin{align} y & =\left(197 x-34 x^{2}\right)\left(7+22 x-83 x^{3}\right) \\ & =2822 x^{5}-16351 x^{4}-748 x^{3}+4096 x^{2}+1379 x \\ \frac{d y}{d x} & =14110 x^{4}-65404 x^{3}-2244 x^{2}+8192 x+1379 \end{align}
Exercício 6.5. Se x = (y + 3) \times (y + 5), encontre \dfrac{dx}{dy}.
Resposta
\dfrac{dx}{dy} = 2y + 8.
Solução
x=(y+3)(y+5)
Usando a Regra do Produto, obtemos: \begin{align} \frac{d x}{d y}&=\frac{d(y+3)}{dy}(y+5)+\frac{d(y+5)}{dy}(y+3) \\ &=1(y+5)+1(y+3)\\ & =2 y+8 \end{align}
Exercício 6.6. Derive y = 1.3709x \times (112.6 + 45.202x^2).
Resposta
185.9022654x^2 + 154.36334.
Solução
\begin{gathered} y=1.3709 x \times\left(112.6+45.202 x^{2}\right) \\ \frac{d y}{d x}=1.3709\left(112.6+45.202 x^{2}\right)+1.3709 x(90.404 x) \\ =154.36334+61.9674218 x^{2}+123.9348436 x^{2} \\ =185.9022654 x^{2}+154.36334 \end{gathered}
Encontre as derivadas de
Exercício 6.7. y = \dfrac{2x + 3}{3x + 2}.
Resposta
\dfrac{-5}{(3x + 2)^2}.
Solução
y=\frac{2 x+3}{3 x+2}
Usando a Regra do Quociente, obtemos:
\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{\dfrac{d(2x+3)}{dx}(3x+2)-\dfrac{d(3x+2)}{dx}(2x+3)}{(3x+2)^2}\\ &=\frac{2(3 x+2)-3(2 x+3)}{(3 x+2)^{2}} \\ & =-\frac{5}{(3 x+2)^{2}} \end{align}
Exercício 6.8. y = \dfrac{1 + x + 2x^2 + 3x^3}{1 + x + 2x^2}.
Resposta
\dfrac{6x^4 + 6x^3 + 9x^2}{(1 + x + 2x^2)^2}.
Solução
y=\frac{1+x+2 x^{2}+3 x^{3}}{1+x+2 x^{2}} Usando a Regra do Quociente, obtemos
\begin{align} \frac{d y}{d x} & = \frac{\dfrac{d(1+x+2 x^{2}+3 x^{3})}{dx}\left(1+x+2 x^{2}\right)-\dfrac{d(1+x+2 x^{2})}{dx}(1+x+2 x^{2}+3 x^{3})}{\left(1+x+2 x^{2}\right)^2}\\ &=\frac{\left(1+4 x+9 x^{2}\right)\left(1+x+2 x^{2}\right)-(1+4 x)\left(1+x+2 x^{2}+3 x^{3}\right)}{(1+x+2 x)^{2}} \\ & =\frac{6 x^{4}+6 x^{3}+9 x^{2}}{(1+x+2 x)^{2}} \end{align}
Exercício 6.9. y = \dfrac{ax + b}{cx + d}.
Resposta
\dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}.
Solução
\begin{gathered} y=\frac{a x+b}{c x+d} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{a(c x+d)-c(a x+b)}{(c x+d)^{2}} \\ =\frac{a d-c b}{(c x+d)^{2}} \end{gathered}
Exercício 6.10. y = \dfrac{x^n + a}{x^{-n} + b}.
Resposta
\dfrac{anx^{-n-1} + bnx^{n-1} + 2nx^{-1}}{(x^{-n} + b)^2}.
Solução
\begin{align} \frac{dy}{d x}&= \frac{n x^{n-1}\left(x^{-n}+b\right)-(-n) x^{-n-1}\left(x^{n}+a\right)}{\left(x^{-n}+b\right)^{2}} \\ &= \frac{n x^{-1}+n b x^{n-1}+n x^{-1}+a n x^{-n-1}}{\left(x^{-n}+b\right)^{2}} \\ &= \frac{a n x^{-n-1}+b n x^{n-1}+2 n x^{-1}}{\left(x^{-n}+b\right)^{2}} \end{align}
Exercício 6.11. A temperatura T do filamento de uma lâmpada elétrica incandescente está conectada à corrente que passa pela lâmpada pela relação C = a + b T + c T^2. Encontre uma expressão que dê a variação da corrente correspondendo a uma variação de temperatura.
Resposta
b + 2 c T.
Solução
\begin{align} C&=a+b T+c T^{2} \\ \frac{d C}{d T}&=b+2 c T \end{align}
Exercício 6.12. As seguintes fórmulas foram propostas para expressar a relação entre a resistência elétrica R de um fio à temperatura T medida em ^\circC., e a resistência R_0 do mesmo fio em 0 graus Celsius, a, b, c sendo constantes. \begin{align} R &= R_0\left(1 + a T + bT^2\right). \\ R &= R_0\left(1 + a T + b\sqrt{T}\right). \\ R &= R_0\left(1 + a T + bT^2\right)^{-1}. \end{align} Encontre a taxa de variação da resistência com relação à temperatura como dada por cada uma destas fórmulas.
Resposta
R_0(a + 2 b T),R_0 \left(a + \dfrac{b}{2\sqrt{T}}\right), -\dfrac{R_0(a + 2bT)}{(1 + a T + b T^2)^2}ou\dfrac{R^2 (a + 2 b T)}{R_0}.
Solução
Se R = R_0\left(1 + a T + bT^2\right): \begin{align} \frac{d R}{d T}&=\frac{d\left\{R_{0}\left(1+a T+b T^{2}\right)\right\}}{d T}\\ &=R_0\ \frac{d\left(1+a T+b T^{2}\right)}{d T}\\ &=R_{0}\,(a+2 b T) \end{align}
Se R=R_0\left(1 + a T + b\sqrt{T}\right)
\begin{align} \frac{d R}{d T}&=\frac{d\left\{R_{0}\left(1+a T+b T^{\frac{1}{2}}\right)\right\}}{d T}\\ &= R_0 \frac{d\left(1+a T+b T^{\frac{1}{2}}\right)}{d T}\\ &=R_{0}\left(a+\frac{b}{2} T^{-\frac{1}{2}}\right)\\ &=R_{0}\left(a+\frac{b}{2 \sqrt{T}}\right) \end{align}
Se R=R_0\left(1 + a T + bT^2\right)^{-1} \begin{align} \frac{d R}{d T}&=\frac{d}{d T}\left(\frac{R_{0}}{1+a T+b T^{2}}\right)\\ &=R_{0} \frac{-(a+2 b T)}{\left(1+a T+b T^{2}\right)^{2}} \end{align}
Como R=\dfrac{R_{0}}{\left(1+a T+b T^{2}\right)}, o resultado pode também ser escrito como
\frac{d R}{d T}=-\frac{R^{2}(a+2 b T)}{R_{0}}
Exercício 6.13. A força eletromotriz E de um certo tipo de célula padrão foi encontrada variar com a temperatura T de acordo com a relação E = 1.4340 \bigl[1 - 0.000814(T-15)+ 0.000007(T-15)^2\bigr] \text{ volts}. Encontre a mudança de força eletromotriz por grau, em 15\,^\circC, 20\ ^\circC e 25\,^\circC.
Resposta
1.4340(0.000014 T - 0.001024),-0.00117,-0.00107,-0.00097.
Solução
E=1.4340\left[1-0.000814(T-15)+0.000007(T-15)^{2}\right] ou E=1.4340\left[-0.000814 T+0.01221+0.000007\left(T^{2}-30 T+225\right)\right] Portanto
\begin{align} & \frac{d E}{d T}=1.4340[-0.000814-0.00021+0.000014 T] \\ & =1.4340[-0.001024+0.000014 T] \end{align}
Quando T=15,
\frac{d E}{d T}=-0.001167
Quando T=20,
\frac{d E}{d T}=-0.001067
Quando T=25,
\frac{d E}{d T}=-0.000967
Exercício 6.14. A força eletromotriz necessária para manter um arco elétrico de comprimento l com uma corrente de intensidade i foi encontrada por Sra. Ayrton ser E = a + bl + \frac{c + kl}{i}, onde a, b, c, k são constantes.
Encontre uma expressão para a variação da força eletromotriz (a) com relação ao comprimento do arco; (b) com relação à intensidade da corrente.
Resposta
\dfrac{dE}{dl} = b + \dfrac{k}{i},\dfrac{dE}{di} = -\dfrac{c + kl}{i^2}.
Solução
E =a+b l+\frac{c+k l}{i} A variação da força eletromotriz com relação ao comprimento do arco: \frac{d E}{d l} =b+\frac{k}{i}
Para encontrar a variação da força eletromotriz com relação à intensidade da corrente ou \dfrac{d E}{d i}, reescrevemos E como E=a+b l+(c+k l) i^{-1}. Então \begin{align} \frac{d E}{d i} & =-(c+k l) i^{-2} \\ & =-\frac{c+k l}{i^{2}} \end{align}
