Regras da Soma, Diferença, Produto e Quociente

Exemplo 6.1. Se agora tomarmos o exemplo do parágrafo anterior, e colocarmos os valores das duas funções, teremos, usando a notação mostrada \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{d(x^2+c)}{dx} + \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\ &= 2x + 4ax^3, \end{align}\] exatamente como antes.

Exemplo 6.2. Queremos derivar o produto \[(x^2 + c) \times (ax^4 + b).\]

Chame \((x^2 + c) = u\); e \((ax^4 + b) = v\).

Então, pela regra geral que acabamos de estabelecer, podemos escrever: \[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= (x^2 + c)\, \frac{d(ax^4 + b)}{dx} &&+ (ax^4 + b)\, \frac{d(x^2 + c)}{dx} \\ &= (x^2 + c)\, 4ax^3 &&+ (ax^4 + b)\, 2x \\ &= 4ax^5 + 4acx^3 &&+ 2ax^5 + 2bx, \end{align}\] \[\dfrac{dy}{dx}= 6ax^5 + 4acx^3 + 2bx,\]

exatamente como antes.

Exemplo 6.3. Voltando ao nosso exemplo \(y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a}\),

escreva \[bx^5 + c = u;\] e \[x^2 + a = v.\]

Então \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + a)\, \dfrac{d(bx^5 + c)}{dx} - (bx^5 + c)\, \dfrac{d(x^2 + a)}{dx}}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{(x^2 + a)(5bx^4) - (bx^5 + c)(2x)}{(x^2 + a)^2}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3bx^6 + 5abx^4 - 2cx}{(x^2 + a)^2}.\quad {(\text{Resposta}.)} \end{align}\]

Exemplo 6.4. Derive \(y = \dfrac{a}{b^2} x^3 - \dfrac{a^2}{b} x + \dfrac{a^2}{b^2}\).

Solução. Sendo uma constante, \(\dfrac{a^2}{b^2}\) desaparece, e temos \[\frac{dy}{dx} = \frac{a}{b^2} \times 3 \times x^{3-1} - \frac{a^2}{b} \times 1 \times x^{1-1}.\]

Mas \(x^{1-1} = x^0 = 1\); então obtemos: \[\frac{dy}{dx} = \frac{3a}{b^2} x^2 - \frac{a^2}{b}.\]

Exemplo 6.5. Derive \(y = 2a\sqrt{bx^3} - \dfrac{3b \sqrt[3]{a}}{x} - 2\sqrt{ab}\).

Solução. Colocando \(x\) na forma de índice, obtemos \[y = 2a\sqrt{b} x^{\frac{3}{2}} - 3b \sqrt[3]{a} x^{-1} - 2\sqrt{ab}.\]

Agora \[\frac{dy}{dx} = 2a\sqrt{b} \times \dfrac{3}{2} \times x^{\frac{3}{2}-1} - 3b\sqrt[3]{a} \times (-1) \times x^{-1-1};\] ou, \[\frac{dy}{dx} = 3a\sqrt{bx} + \frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}.\]

Exemplo 6.6. Derive \(z = 1.8 \sqrt[3]{\dfrac{1}{\theta^2}} - \dfrac{4.4}{\sqrt[5]{\theta}} - 27\).

Solução. Isto pode ser escrito: \(z= 1.8\, \theta^{-\frac{2}{3}} - 4.4\, \theta^{-\frac{1}{5}} - 27\).

O \(27\) desaparece, e temos \[\frac{dz}{d\theta} = 1.8 \times -\dfrac{2}{3} \times \theta^{-\frac{2}{3}-1} - 4.4 \times \left(-\dfrac{1}{5}\right)\theta^{-\frac{1}{5}-1};\] ou, \[\frac{dz}{d\theta} = -1.2\, \theta^{-\frac{5}{3}} + 0.88\, \theta^{-\frac{6}{5}};\] ou, \[\frac{dz}{d\theta} = \frac{0.88}{\sqrt[5]{\theta^6}} - \frac{1.2}{\sqrt[3]{\theta^5}}.\]

Exemplo 6.7. Derive \(v = (3 t^2 - 1.2 t + 1)^3\).

Solução. Uma maneira direta de fazer isto será explicada mais tarde; mas podemos mesmo assim conseguir fazê-lo agora sem qualquer dificuldade.

Desenvolvendo o cubo, obtemos \[v = 27 t^6 - 32.4 t^5 + 39.96 t^4 - 23.328 t^3 + 13.32 t^2 - 3.6 t + 1;\] logo \[\frac{dv}{dt} = 162 t^5 - 162 t^4 + 159.84 t^3 - 69.984 t^2 + 26.64 t - 3.6.\]

Exemplo 6.8. Derive \(y = (2x - 3)(x + 1)^2\).

Solução. \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= (2x - 3)\, \frac{d\bigl[(x + 1)(x + 1)\bigr]}{dx}+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= (2x - 3) \left[(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}+(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right] + (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= 2(x + 1)\bigl[(2x - 3) + (x + 1)\bigr]\\ & = 2(x + 1)(3x - 2); \end{align}\] ou, mais simplesmente, multiplique e depois derive.

Exemplo 6.9. Derive \(y = 0.5 x^3(x-3)\).

Solução. \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= 0.5\left[x^3 \frac{d(x-3)}{dx} + (x-3) \frac{d(x^3)}{dx}\right] \\ &= 0.5\left[x^3 + (x-3) \times 3x^2\right] = 2x^3 - 4.5x^2. \end{align}\]

Mesmos comentários do exemplo anterior.

Exemplo 6.10. Derive \(w = \left(\theta + \dfrac{1}{\theta}\right) \left(\sqrt{\theta} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta}}\right)\).

Solução. Isto pode ser escrito \[w = (\theta + \theta^{-1})(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}).\] \[\begin{align} \frac{dw}{d\theta} &= (\theta + \theta^{-1}) \frac{d(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})}{d\theta} + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}) \frac{d(\theta+\theta^{-1})}{d\theta} \\  &= (\theta + \theta^{-1})(\tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{1}{2}} - \tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{3}{2}}) + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})(1 - \theta^{-2}) \\  &= \tfrac{1}{2}(\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) + (\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) \\&= \tfrac{3}{2} \left(\sqrt{\theta} - \frac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) + \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{\theta}} - \frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \end{align}\]

Isto, novamente, poderia ser obtido mais simplesmente multiplicando os dois fatores primeiro, e depois derivando. Isto não é, porém, sempre possível; veja, por exemplo, Exemplo 15.8, no qual a regra para derivar um produto deve ser usada.

Exemplo 6.11. Derive \(y =\dfrac{a}{1 + a\sqrt{x} + a^2x}\).

Solução. \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x) \times 0 - a\dfrac{d(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)}{dx}} {(1 + a\sqrt{x} + a^2x)^2} \\ &= - \frac{a(\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}} + a^2)} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2}. \end{align}\]

Exemplo 6.12. Derive \(y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}\).

Solução. \[\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x^2 + 1)\, 2x - x^2 \times 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}.\]

Exemplo 6.13. Derive \(y = \dfrac{a + \sqrt{x}}{a - \sqrt{x}}\).

Solução. Na forma de índice, \(y = \dfrac{a + x^{\frac{1}{2}}}{a - x^{\frac{1}{2}}}\). \[\frac{dy}{dx} = \frac{(a - x^{\frac{1}{2}})( \tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}) - (a + x^{\frac{1}{2}})(-\tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}})} {(a - x^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{ a - x^{\frac{1}{2}} + a + x^{\frac{1}{2}}} {2(a - x^{\frac{1}{2}})^2\, x^{\frac{1}{2}}};\] logo \[\frac{dy}{dx} = \frac{a}{(a - \sqrt{x})^2\, \sqrt{x}}.\]

Exemplo 6.14. Derive \[\theta = \frac{1 - a \sqrt[3]{t^2}}{1 + a \sqrt[2]{t^3}}.\]

Solução. Agora \[\begin{align} \theta &= \frac{1 - at^{\frac{2}{3}}}{1 + at^{\frac{3}{2}}}. \\[9pt] \frac{d\theta}{dt} &= \frac{(1 + at^{\frac{3}{2}}) (-\tfrac{2}{3} at^{-\frac{1}{3}}) - (1 - at^{\frac{2}{3}}) \times \tfrac{3}{2} at^{\frac{1}{2}}} {(1 + at^{\frac{3}{2}})^2} \\ &= \frac{5a^2 \sqrt[6]{t^7} - \dfrac{4a}{\sqrt[3]{t}} - 9a \sqrt[2]{t}} {6(1 + a \sqrt[2]{{t^3}})^2}. \end{align}\]

Exemplo 6.15. Um reservatório de seção transversal quadrada tem lados inclinados em um ângulo de \(45^\circ\) com a vertical. O lado do fundo é \(200\) pés. Encontre uma expressão para a quantidade que entra ou sai quando a profundidade da água varia em \(1\) pé; logo encontre, em galões, a quantidade retirada por hora quando a profundidade é reduzida de \(14\) para \(10\) pés em \(24\) horas.

O volume de um tronco de pirâmide (veja a figura seguinte) de altura \(H\), e de bases \(A\) e \(a\), é \(V = \dfrac{H}{3} \left(A + a + \sqrt{Aa} \right)\).

Solução. É facilmente visto que, sendo a inclinação \(45^\circ\), se a profundidade for \(h\), o comprimento do lado da superfície quadrada da água é \(200 + 2h\) pés (veja a figura seguinte), de modo que o volume de água é \[\dfrac{h}{3} [200^2 + (200 + 2h)^2 + 200(200 + 2h)] = 40,000 h + 400 h^2 + \dfrac{4 h^3}{3}.\]

\(\dfrac{dV}{dh} = 40,000 + 800h + 4h^2 = {}\) pés cúbicos por pé de variação de profundidade. O nível médio de \(14\) para \(10\) pés é \(12\) pés, quando \(h = 12\), \(\dfrac{dV}{dh} = 50,176\) pés cúbicos.

Galões por hora correspondendo a uma mudança de profundidade de \(4\) pés em \(24\) horas \({} = \dfrac{4 \times 50,176 \times 6.25}{24} = 52,267\) galões.

Exemplo 6.16. A pressão absoluta, em atmosferas, \(P\), de vapor saturado à temperatura \(T\) medida em graus Celsius é dada por Dulong como sendo \(P = \left( \dfrac{40 + T}{140} \right)^5\) contanto que \(T\) seja acima de \(80\,^\circ\)C. Encontre a taxa de variação da pressão com a temperatura em \(100\,^\circ\)C.

Solução. Expanda o numerador pelo teorema binomial (veja o apêndice). \[P = \frac{1}{140^5}\left (40^5 + 5\times40^4 T+ 10 \times 40^3 T^2 + 10 \times 40^2 T^3 + 5 \times 40 T^4 + T^5\right);\]

logo \[\begin{align} \dfrac{dP}{dT} = &\dfrac{1}{537,824 \times 10^5}\left(5 \times 40^4 + 20 \times 40^3 T + 30 \times 40^2 T^2 + 20 \times 40 T^3 + 5 T^4\right), \end{align}\] quando \(T = 100\) isto se torna \(0.036\) atmosfera por grau de variação de temperatura Celsius.