Um teorema de aproximação. Interpolação linear

Seja $f(x)$ uma função que possui pelo menos $n$ derivadas f', f'', \dots, f^{(n)} em um intervalo. Seja $x_0$ um ponto deste intervalo. Dizemos que $f(x)$ tem um zero de multiplicidade $n$ de $f(x)$ se $f(x_0)=0$, f'(x_0) = 0, $\dots$, $f^{(n-1)}(x_0)=0$, mas $f^{(n)}(x_0)\ne 0$. Assim, se

f(x_0) = 0 = f'(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0),

podemos dizer que $x_0$ é um zero de $f(x)$ de multiplicidade pelo menos $n$.

Se $f(x)$ tem zeros (de multiplicidade $\ge 1$) em $x_1$ e $x_2$, então, pelo Teorema de Rolle, f'(x) tem um zero (de multiplicidade pelo menos $1$) entre $x_1$ e $x_2$. Se $f(x)$ tem um zero de multiplicidade pelo menos $2$ em $x_1$ e um zero de multiplicidade pelo menos $1$ em $x_2$ e, digamos, , então f'(x) tem um zero de multiplicidade pelo menos $1$ em $x_1$ e um zero $t$ de multiplicidade pelo menos $1$ tal que . Então f''(x) tem um zero de multiplicidade pelo menos $1$ entre $x_1$ e $t$. Da mesma forma, se $f(x)$ tem zeros em $x_1,x_2,x_3$, e , então f'(x) tem um zero entre $x_1$ e $x_2$ e um entre $x_2$ e $x_3$. Portanto, f''(x) tem um zero entre esses zeros de f'(x). Agora, façamos uma afirmação geral.

Seja $f(x)$ com $n$ zeros, contando multiplicidades, em um intervalo; mostramos que f'(x) tem pelo menos $(n-1)$ zeros no intervalo, contando multiplicidades. Se os zeros de $f(x)$ são , com respectivas multiplicidades $m_1,m_2,\dots ,m_r,m_1+m_2+\cdots +m_r=n$, então $x_1$ é um zero de f'(x) de multiplicidade $m_1-1$, $x_2$ um zero de multiplicidade $m_2-1$, e assim por diante. (Zeros de multiplicidade $0$ são simplesmente não zeros.) Além disso, f'(x) tem um zero entre $x_1$ e $x_2$, um entre $x_2$ e $x_3$, etc., dando pelo menos $r-1$ zeros adicionais. O número total de zeros, contando multiplicidades, de f'(x) no intervalo é, portanto, pelo menos

\begin{aligned} (m_1 - 1) &+ (m_2 - 1) + \dots + (m_r - 1) + (r - 1)\\ &= (m_1 + m_2 + \dots + m_r) - r + (r - 1) \\ &=m_1+m_2+\cdots+m_r-1\\ &= n - 1 \cdot \end{aligned}

um teorema fundamental que nos levará a várias formas interessantes de aproximações.

Como primeira aplicação, consideremos o problema de interpolar a partir de tabelas, por exemplo, a partir de tabelas de logaritmos. Se temos tabelas para a função $f(x)$ e lemos $f(x_1)$ e $f(x_2)$ para , queremos estimar o erro introduzido ao usar a reta que passa por $(x_1,f(x_1))$ e $(x_2,f(x_2))$ no lugar da curva para encontrar $f(x)$ quando . Seja $y=ax+b$ a reta aproximadora. Então consideramos a função $f(x)-(ax+b)$. Esta tem zeros de multiplicidade pelo menos $1$ em $x_1$ e $x_2$. Portanto, temos $n=2$, e

$$H(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdot$$

Pelo nosso teorema,

f(x) - (ax + b) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{2!} f''(\xi)

para algum $\xi$ entre $x_1$ e $x_2$. Agora, $H(x)\le 0$, já que $x-x_1$ e $x-x_2$ têm sinais opostos, e a diferença entre $f(x)$ e $ax+b$ será, em valor absoluto, menor ou igual ao valor absoluto de $H(x)$ em seu mínimo vezes o maior valor absoluto possível para f''(x) no intervalo, dividido por $2$. Mas H'(x) = (x - x_1) + (x - x_2), que é $0$ no ponto médio $x=\frac{1}{2}(x_1+x_2)$. Este é o mínimo de $H(x)$, e o valor de $H(x)$ lá é

$$\frac{(x_2-x_1)(x_1-x_2)}{4}\cdot$$

Assim

|f(x) - (ax + b)| \le \frac{(x_2 - x_1)^2}{8} \cdot \text{Max } |f''(\xi)| \cdot \tag{*}

Para uma tabela de logaritmos, com $x_1=1.01,x_2=1.02,\text{ o erro é no máximo}$

EXERCÍCIOS