Un teorema de aproximación. Interpolación lineal

Sea $f(x)$ una función que tiene al menos $n$ derivadas f', f'', \dots, f^{(n)} en un intervalo. Sea $x_0$ un punto de este intervalo. Diremos que $f(x)$ tiene un cero de multiplicidad $n$ de $f(x)$ si $f(x_0)=0$, f'(x_0) = 0, $\dots$, $f^{(n-1)}(x_0)=0$, pero $f^{(n)}(x_0)\ne 0$. Así, si

f(x_0) = 0 = f'(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0),

podemos decir que $x_0$ es un cero de $f(x)$ de multiplicidad al menos $n$.

Si $f(x)$ tiene ceros (de multiplicidad $\ge 1$) en $x_1$ y $x_2$, entonces por el Teorema de Rolle f'(x) tiene un cero (de multiplicidad al menos $1$) entre $x_1$ y $x_2$. Si $f(x)$ tiene un cero de multiplicidad al menos $2$ en $x_1$ y de multiplicidad al menos $1$ en $x_2$ y, digamos, , entonces f'(x) tiene un cero de multiplicidad al menos $1$ en $x_1$ y un cero $t$ de multiplicidad al menos $1$ tal que . Entonces f''(x) tiene un cero de multiplicidad al menos $1$ entre $x_1$ y $t$. De manera análoga, si $f(x)$ tiene ceros en $x_1,x_2,x_3$, y , entonces f'(x) tiene un cero entre $x_1$ y $x_2$ y otro entre $x_2$ y $x_3$. Por lo tanto, f''(x) tiene un cero entre estos ceros de f'(x). Hagamos ahora una afirmación general.

Sea $f(x)$ con $n$ ceros, contando multiplicidades, en un intervalo; mostramos que f'(x) tiene al menos $(n-1)$ ceros en el intervalo, contando multiplicidades. Si los ceros de $f(x)$ son , con multiplicidades respectivas $m_1,m_2,\dots ,m_r,m_1+m_2+\cdots +m_r=n$, entonces $x_1$ es un cero de f'(x) de multiplicidad $m_1-1$, $x_2$ un cero de multiplicidad $m_2-1$, y así sucesivamente. (Los ceros de multiplicidad $0$ simplemente no son ceros.) Además, f'(x) tiene un cero entre $x_1$ y $x_2$, otro entre $x_2$ y $x_3$, etc., lo que da al menos $r-1$ ceros más. El número total de ceros, contando multiplicidades, de f'(x) en el intervalo es así al menos

\begin{aligned} (m_1 - 1) &+ (m_2 - 1) + \dots + (m_r - 1) + (r - 1)\\ &= (m_1 + m_2 + \dots + m_r) - r + (r - 1) \\ &=m_1+m_2+\cdots+m_r-1\\ &= n - 1 \cdot \end{aligned}

un teorema clave que nos llevará a varias formas interesantes de aproximación.

Como primera aplicación, consideremos el problema de interpolar a partir de tablas, por ejemplo a partir de tablas de logaritmos. Si tenemos tablas para la función $f(x)$ y leemos $f(x_1)$ y $f(x_2)$ para , queremos estimar el error introducido al usar la recta que pasa por $(x_1,f(x_1))$ y $(x_2,f(x_2))$ en lugar de la curva para encontrar $f(x)$ cuando . Sea $y=ax+b$ la recta aproximante. Entonces consideramos la función $f(x)-(ax+b)$. Esta tiene ceros de multiplicidad al menos $1$ en $x_1$ y $x_2$. Por lo tanto tenemos $n=2$, y

$$H(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdot$$

Por nuestro teorema,

f(x) - (ax + b) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{2!} f''(\xi)

para algún $\xi$ entre $x_1$ y $x_2$. Ahora, $H(x)\le 0$, ya que $x-x_1$ y $x-x_2$ tienen signos opuestos, y la diferencia entre $f(x)$ y $ax+b$ será, en valor absoluto, menor o igual que el valor absoluto de $H(x)$ en su mínimo por el mayor valor absoluto posible de f''(x) en el intervalo, dividido por $2$. Pero H'(x) = (x - x_1) + (x - x_2), que es $0$ en el punto medio $x=\frac{1}{2}(x_1+x_2)$. Este es el mínimo de $H(x)$, y el valor de $H(x)$ allí es

$$\frac{(x_2-x_1)(x_1-x_2)}{4}\cdot$$

Así

|f(x) - (ax + b)| \le \frac{(x_2 - x_1)^2}{8} \cdot \text{Max } |f''(\xi)| \cdot \tag{*}

Para una tabla de logaritmos, con $x_1=1.01,x_2=1.02,\text{ el error es a lo sumo}$

EJERCICIOS