یک قضیه تقریب. درون‌یابی خطی

فرض کنید $f(x)$ تابعی باشد که دست‌کم دارای $n$ مشتق در یک بازه است. فرض کنید $x_0$ نقطه‌ای از این بازه باشد. می‌گوییم $f(x)$ دارای یک صفر از مرتبه چندگانگی $n$ برای $f(x)$ است اگر $f(x_0)=0$، ، $\dots$، $f^{(n-1)}(x_0)=0$، اما $f^{(n)}(x_0)\ne 0$. بنابراین اگر

می‌توانیم بگوییم که $x_0$ صفری از $f(x)$ با مرتبه چندگانگی دست‌کم $n$ است.

اگر $f(x)$ دارای صفرهایی (با مرتبه چندگانگی $\ge 1$) در $x_1$ و $x_2$ باشد، آنگاه بر پایه قضیه رول، دارای یک صفر (با مرتبه چندگانگی دست‌کم $1$) بین $x_1$ و $x_2$ است. اگر $f(x)$ در $x_1$ صفری با مرتبه چندگانگی دست‌کم $2$ و در $x_2$ صفری با مرتبه چندگانگی دست‌کم $1$ داشته باشد و مثلاً ، آنگاه دارای صفری با مرتبه چندگانگی دست‌کم $1$ در $x_1$ و صفری مانند $t$ با مرتبه چندگانگی دست‌کم $1$ است به‌طوری که . سپس صفری با مرتبه چندگانگی دست‌کم $1$ بین $x_1$ و $t$ دارد. به همین ترتیب، اگر $f(x)$ در $x_1,x_2,x_3$ صفر داشته باشد و ، آنگاه یک صفر بین $x_1$ و $x_2$ و یک صفر بین $x_2$ و $x_3$ دارد. بنابراین بین این صفرهای یک صفر دارد. اکنون بیایید یک حکم کلی بیان کنیم.

فرض کنید $f(x)$ با احتساب مرتبه‌های چندگانگی، دارای $n$ صفر در یک بازه باشد؛ نشان می‌دهیم که با احتساب مرتبه‌های چندگانگی، دارای دست‌کم $(n-1)$ صفر در آن بازه است. اگر صفرهای $f(x)$ برابر با با مرتبه‌های چندگانگی مربوطه $m_1,m_2,\dots ,m_r$ و $m_1+m_2+\cdots +m_r=n$ باشند، آنگاه $x_1$ صفری از با مرتبه چندگانگی $m_1-1$، $x_2$ صفری با مرتبه چندگانگی $m_2-1$ و به همین ترتیب خواهد بود. (صفرهای با مرتبه چندگانگی $0$ صرفاً صفر نیستند.) علاوه بر این، یک صفر بین $x_1$ و $x_2$، یک صفر بین $x_2$ و $x_3$ و غیره دارد که دست‌کم $r-1$ صفر دیگر به دست می‌دهد. بدین ترتیب تعداد کل صفرهای در این بازه با احتساب مرتبه‌های چندگانگی، دست‌کم برابر است با

قضیه‌ای کلیدی که ما را به چندین شکل جالب از تقریب‌ها هدایت می‌کند.

به عنوان نخستین کاربرد، مسئله درونیابی از روی جداول، برای نمونه از روی جداول لگاریتم را در نظر بگیریم. اگر جداولی برای تابع $f(x)$ داشته باشیم و مقادیر $f(x_1)$ و $f(x_2)$ را برای بخوانیم، می‌خواهیم خطای ناشی از به کار بردن خط مستقیم گذرنده از $(x_1,f(x_1))$ و $(x_2,f(x_2))$ را به جای منحنی برای یافتن $f(x)$ هنگامی که است، تخمین بزنیم. فرض کنید $y=ax+b$ خط تقریب‌زننده باشد. آنگاه تابع $f(x)-(ax+b)$ را در نظر می‌گیریم. این تابع دارای صفرهایی با مرتبه چندگانگی دست‌کم $1$ در $x_1$ و $x_2$ است. بنابراین $n=2$ داریم، و

بر پایه قضیه ما،

برای مقداری $\xi$ بین $x_1$ و $x_2$. اکنون $H(x)\le 0$ است، زیرا $x-x_1$ و $x-x_2$ علامت‌های مخالف دارند، و تفاضل بین $f(x)$ و $ax+b$ از نظر قدر مطلق، کمتر یا مساوی با قدر مطلق $H(x)$ در کمینه آن ضرب در بزرگ‌ترین قدر مطلق ممکن برای در بازه، تقسیم بر $2$ خواهد بود. اما که در نقطه میانی $x=\frac{1}{2}(x_1+x_2)$ برابر با $0$ است. این کمینه برای $H(x)$ است، و مقدار $H(x)$ در آنجا برابر است با

بنابراین

برای یک جدول لگاریتم، با $x_1=1.01,x_2=1.02,\text{ خطا حداکثر برابر است با}$

تمرین‌ها