逼近定理线性插值

设 $f (x)$ 是一个在某个区间内至少具有 $n$ 阶导数的函数。设 $x_{0}$ 是该区间内的一点。如果 $f (x_{0}) = 0$ , , $\dots$ , $f^{(n - 1)} (x_{0}) = 0$ , 但 $f^{(n)} (x_{0}) \neq 0$ , 则称 $f (x)$ 有一个 $f (x)$ 的 $n$ 重零点。因此如果

我们可以说 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个 至少 $n$ 重 的零点。

如果 $f (x)$ 在 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 处有零点(重数 $\geq 1$ ), 那么由罗尔定理, 在 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之间有一个零点(重数至少为 $1$ )。如果 $f (x)$ 在 $x_{1}$ 处有至少 $2$ 重的零点, 在 $x_{2}$ 处有至少 $1$ 重的零点, 比如说 $x_{1} < x_{2}$ , 那么在 $x_{1}$ 处有一个至少 $1$ 重的零点, 并且有一个至少 $1$ 重的零点 $t$ 满足 $x_{1} < t < x_{2}$ 。于是在 $x_{1}$ 和 $t$ 之间有一个至少 $1$ 重的零点。同样, 如果 $f (x)$ 在 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 处有零点, 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ , 那么在 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之间有一个零点, 在 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 之间有一个零点。因此在的这两个零点之间有一个零点。现在让我们给出一个一般的结论。

设 $f (x)$ 在某区间内(计重数)有 $n$ 个零点; 我们证明在该区间内(计重数)至少有 $(n - 1)$ 个零点。如果 $f (x)$ 的零点为 $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{r}$ , 其重数分别为 $m_{1}, m_{2}, \dots, m_{r}, m_{1} + m_{2} + \dots + m_{r} = n$ , 那么 $x_{1}$ 是的重数为 $m_{1} - 1$ 的零点, $x_{2}$ 是重数为 $m_{2} - 1$ 的零点, 以此类推。(重数为 $0$ 的零点就是不是零点。)此外, 在 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之间有一个零点, 在 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 之间有一个零点, 等等, 这样又至少给出 $r - 1$ 个零点。因此在该区间内零点(计重数)的总数至少为

这个关键定理将引导我们得到几种有趣的近似形式。

定理 1

假设 $f (x)$ 在 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r}$ 处有零点, 其重数分别至少为 $m_{1}, m_{2}, \dots, m_{r}$ 。设 $x_{0}$ 满足: 在包含 $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r}$ 的最小区间内 $f (x)$ 有 $n = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{r}$ 阶导数。令

H (x) = (x - x_{1})^{m_{1}} (x - x_{2})^{m_{2}} \dots (x - x_{r})^{m_{r}} .

那么在该区间内存在一个 $ξ$ , 使得

f (x_{0}) = \frac{H (x_{0})}{n!} f^{(n)} (ξ) \cdot

证明。 首先假设 $x_{0}$ 是 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r}$ 之一。那么 $f (x_{0}) = 0 = H (x_{0})$ , 我们可以取 $ξ$ 为该区间内的任意一点。剩下要考虑的是 $x_{0}$ 不同于所有 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r}$ 的情形。此时考虑

g (x) = f (x) - C H (x),

其中 $C$ 是使 $g (x_{0}) = 0$ 成立的常数。注意, 要能选取这样的 $C$ , 需要我们能从 $f (x_{0}) - C H (x_{0}) = 0$ 中解出 $C$ , 或者只需 $H (x_{0}) \neq 0$ , 而我们知道事实确实如此。当然我们可以明确写出 $C$ 是什么, 但这并非必要。

现在 $g (x)$ 以 $x_{1}$ 为至少 $m_{1}$ 重的零点, 以 $x_{2}$ 为至少 $m_{2}$ 重的零点, $\dots$ , 以 $x_{r}$ 为至少 $m_{r}$ 重的零点, 且 $x_{0}$ 也是 $g (x)$ 的零点。于是 $g (x)$ 在我们的区间内(计重数)至少有 $n + 1$ 个零点。因此在该区间内存在一个 $ξ$ , 使得 $g^{(n)} (ξ) = 0$ 。但 $g^{(n)} (x) = f^{(n)} (x) - C H^{(n)} (x)$ 。注意到当我们展开 $H (x)$ 时, 得到一个最高次项为 $x^{n}$ 的多项式, 其他各项的指数更低。但当我们取 $n$ 阶导数时, 所有这些其他项都变为 $0$ , 而 $(x^{n})^{(n)} = n! \cdot$ 于是

g^{(n)} (x) = f^{(n)} (x) - C \cdot n!,

0 = g^{(n)} (ξ) = f^{(n)} (ξ) - C \cdot n!,

并且

C = \frac{f^{(n)} (ξ)}{n!} \cdot

由 $g (x_{0}) = 0 = f (x_{0}) - C H (x_{0})$ 这一事实, 我们得到

f (x_{0}) = C H (x_{0}) = \frac{f^{(n)} (ξ)}{n!} H (x_{0}),

这正是所要证明的。

作为第一个应用, 让我们考虑从表格(例如对数表)进行插值的问题。如果我们有函数 $f (x)$ 的数值表, 并且当 $x_{1} < x_{2}$ 时我们读出了 $f (x_{1})$ 和 $f (x_{2})$ , 那么当 $x_{1} < x < x_{2}$ 时, 我们想估计用通过 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 和 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 的直线代替曲线来求 $f (x)$ 时所引入的误差。设 $y = a x + b$ 是这条近似直线。那么我们考虑函数 $f (x) - (a x + b)$ 。它在 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 处有至少 $1$ 重的零点。因此我们有 $n = 2$ , 且

H (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) \cdot

由我们的定理,

其中 $ξ$ 是 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之间的某个值。现在 $H (x) \leq 0$ , 因为 $x - x_{1}$ 和 $x - x_{2}$ 符号相反, 而 $f (x)$ 与 $a x + b$ 之差的绝对值将小于或等于 $H (x)$ 在其最小值处的绝对值乘以在该区间内可能的最大绝对值, 再除以 $2$ 。但 , 它在中点 $x = \frac{1}{2} (x_{1} + x_{2})$ 处为 $0$ 。这是 $H (x)$ 的最小值点, $H (x)$ 在该处的值为

\frac{(x_{2} - x_{1}) (x_{1} - x_{2})}{4} \cdot

于是

对于对数表, 取 $x_{1} = 1.01, x_{2} = 1.02, 误差至多为$

\frac{(.01)^{2}}{8} \cdot \underset{1.01 \leq ξ \leq 1.02}{Max} (\frac{1}{ξ^{2}}) = \frac{.0001}{8} \cdot \frac{1}{1.0201} < .00002 \cdot

习题

习题 1.

给出一个形如 (*) 的外推法则(其中 $x$ 位于区间 $[x_{1}, x_{2}]$ 之外)。

习题 2.

$\log 70.0 = 4.24850$ ; $\log 80.0 = 4.38203$ 。外推以求出 $\log 82.0$ 的值并估计你的误差。

习题 3.

$\log \tan 1.00 = 0.1924$ ; $\log \tan 1.10 = 0.2933$ 。估计对介于 1.100 和 1.10 之间的任意角度进行插值时的误差。