Regra de Simpson

Aplicaremos agora nosso teorema de aproximação ao cálculo de integrais definidas. Desta vez usaremos um polinômio de terceiro grau para aproximar a função que vamos integrar. Mas primeiro provemos um resultado sobre integrais de polinômios:

Teorema 1

Seja $f (x)$ um polinômio de grau $\leq 5$ . Seja $m$ o ponto médio do intervalo $a \leq x \leq b$ ( $m = \frac{1}{2} (a + b)$ ). Então

\int_{a}^{b} f (x) d x = \frac{b - a}{6} (f (a) + 4 f (m) + f (b)) - \frac{(b - a)^{5}}{2880} f^{(i v)} (m) \cdot

DEMONSTRAÇÃO. Observe, antes de tudo, que a afirmação é linear em $f$ , ou seja, se é verdadeira para $f (x)$ e para $g (x)$ , então é verdadeira para $f (x) + g (x)$ e para $c f (x)$ , onde $c$ é uma constante. Portanto, será verdadeira para todos os polinômios de grau $\leq 5$ se conseguirmos mostrar que é verdadeira para $1$ , $x$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ , $x^{4}$ , $x^{5}$ , ou se conseguirmos mostrá-la para $1$ , $(x - m)$ , $(x - m)^{2}$ , $(x - m)^{3}$ , $(x - m)^{4}$ , $(x - m)^{5}$ . Pois

\begin{aligned} x^n &= ((x-m)+m)^n \\ &= (x-m)^n + n(x-m)^{n-1}m + \dots + n(x-m)m^{n-1} + m^n \end{aligned}

é um polinômio de grau $n$ em $(x - m)$ para qualquer $n$ ; assim, qualquer polinômio em $x$ de grau $\leq 5$ é também um polinômio de grau $\leq 5$ em $(x - m)$ .

Primeiro, seja $f (x) = (x - m)^{i}$ , onde $i$ é ímpar: $i = 1, 3, 5$ . Então

\begin{aligned} \int_a^b (x-m)^i \, dx &= \left. \frac{1}{i+1} (x-m)^{i+1} \right|_a^b \\ &= \frac{1}{i+1} \left( (b-m)^{i+1} - (a-m)^{i+1} \right)\\ &= \frac{1}{i+1} \left( \left( \frac{b-a}{2} \right)^{i+1} - \left( \frac{a-b}{2} \right)^{i+1} \right) \cdot \end{aligned}

Mas $i + 1$ é par, de modo que

{(\frac{b - a}{2})}^{i + 1} = {(\frac{a - b}{2})}^{i + 1},

\int_{a}^{b} (x - m)^{i} d x = 0 \cdot

No lado direito, temos

\frac{b - a}{6} ((a - m)^{i} + 4 (m - m)^{i} + (b - m)^{i}) - \frac{(b - a)^{5}}{2880} f^{(i v)} (m) \cdot

Se $i = 1$ ou $3$ , a quarta derivada de $(x - m)^{i}$ é $0$ . Se $i = 5$ , a quarta derivada é $5! (x - m)$ , e $f^{(i v)} (m) = 0$ . Assim, o lado direito se reduz a

\frac{b - a}{6} ((a - m)^{i} + (b - m)^{i}) = \frac{b - a}{6} ({(\frac{a - b}{2})}^{i} + {(\frac{b - a}{2})}^{i}) \cdot

Como $i$ é ímpar,

{(\frac{a - b}{2})}^{i} = - {(\frac{b - a}{2})}^{i},

e o lado direito é $0$ . Portanto, neste caso, ambos os lados da equação são $0$ , e terminamos. Resta tratar $f (x) = 1, (x - m)^{2}$ e $(x - m)^{4}$ .

Nos dois primeiros casos, $f^{(i v)} (x) = 0$ para todo $x$ , de modo que podemos omitir o último termo à direita. Para $f (x) = 1$ ,

\int_{a}^{b} 1 d x = b - a,

enquanto

\frac{b - a}{6} (f (a) + 4 f (m) + f (b)) = \frac{b - a}{6} \cdot 6 = b - a,

Assim, a afirmação é verdadeira para $f (x) = 1$ . Para $f (x) = (x - m)^{2}$ :

\begin{aligned} \int_a^b (x-m)^2 \, dx &= \left. \frac{1}{3} (x-m)^3 \right|_a^b \\ &= \frac{1}{3} \left( \left( \frac{b-a}{2} \right)^3 - \left( \frac{a-b}{2} \right)^3 \right)\\ &= \frac{1}{3} \left( \left( \frac{b-a}{2} \right)^3 + \left( \frac{b-a}{2} \right)^3 \right) \\ &= \frac{(b-a)^3}{12} \cdot \end{aligned}

Enquanto isso,

\begin{aligned} \frac{b-a}{6} (f(a) + 4f(m) + f(b)) &= \frac{b-a}{6} \left( (a-m)^2 + (b-m)^2 \right)\\ &= \frac{b-a}{6} \left( \left( \frac{a-b}{2} \right)^2 + \left( \frac{b-a}{2} \right)^2 \right) \\ &= \frac{(b-a)^3}{12} \\ &= \int_a^b f(x) \, dx \cdot \end{aligned}

Finalmente, seja $f (x) = (x - m)^{4}$ . Então $f^{(i v)} (x) = 24$ para todo $x$ .

\int_{a}^{b} f (x) d x = \frac{1}{5} ({(\frac{b - a}{2})}^{5} - {(\frac{a - b}{2})}^{5}) = \frac{1}{80} (b - a)^{5} \cdot

Por outro lado,

\begin{aligned} \frac{b-a}{6} (f(a) &+ 4f(m) + f(b)) - \frac{(b-a)^5}{2880} f^{\rm (iv)}(m)\\ &= \frac{b-a}{6} \left( \left( \frac{a-b}{2} \right)^4 + \left( \frac{b-a}{2} \right)^4 \right) - \frac{(b-a)^5}{2880} \cdot 24\\ &= \frac{(b-a)^5}{48} - \frac{(b-a)^5}{120} \\ &= \frac{(b-a)^5}{80} \\ &= \int_a^b f(x) \, dx \cdot \end{aligned}

Assim, a afirmação é verdadeira para todos os $(x - m)^{i}$ , $i \leq 5$ , e portanto para todos os polinômios de grau $\leq 5$ .

Agora suponha que nos seja dada uma função $f (x)$ com quatro derivadas, e suponha que tenhamos encontrado um polinômio $P (x)$ de grau $3$ tal que: $P (a) = f (a)$ , $P (b) = f (b)$ , $P (m) = f (m)$ , P'(m) = f'(m). (Mostraremos mais adiante como $P (x)$ pode ser construído. Então $f (x) - P (x)$ tem em $x = a$ e em $x = b$ um zero de multiplicidade pelo menos um, e em $x = m$ um zero de multiplicidade pelo menos $2$ . Portanto, tomamos o $n$ do teorema de aproximação como sendo $4$ , e $H (x) = (x - a) (x - m)^{2} (x - b)$ . Então

f (x) - P (x) = \frac{H (x)}{4!} (f^{(i v)} (ξ) - P^{(i v)} (ξ)), a < ξ < b \cdot

Mas $P^{(i v)} (x) = 0$ , já que $P (x)$ é de grau $3$ . Agora, $H (x) \leq 0$ sempre que $a \leq x \leq b$ , e se Máx. denota o máximo de $f^{(i v)} (x)$ para $a \leq x \leq b$ , e Mín. seu mínimo, temos

\frac{H(x)}{24} \cdot \text{Máx.} \le f(x) - P(x) \le \frac{H(x)}{24} \cdot \text{Mín.} \tag{**}

Como $H (x)$ é um polinômio de grau $\leq 5$ , e como $H (a) = H (b) = H (m) = 0$ , vemos pelo nosso teorema que

\int_{a}^{b} H (x) d x = - \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot H^{(i v)} (m) = - \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot 24.

Tomando as integrais na desigualdade (**), temos

- \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot Máx. \leq \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} P (x) d x \leq - \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot Mín.

Se assumirmos, como já fizemos ao discutir seu máximo e seu mínimo, que $f^{(i v)}$ é contínua para $a \leq x \leq b$ , então pelo teorema que citamos no Capítulo 12,

\int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} P (x) d x = - \frac{(b - a)^{5}}{2880} f^{(i v)} (ξ)

para algum $ξ$ , $a \leq ξ \leq b$ . Agora, como $P^{(i v)} (x) = 0$ , sabemos pelo nosso teorema que

\begin{aligned} \int_a^b P(x) \, dx &= \frac{b-a}{6} (P(a) + 4P(m) + P(b)) \\ &= \frac{b-a}{6} (f(a) + 4f(m) + f(b)). \end{aligned}

Finalmente, temos a regra de Simpson:

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \frac{b-a}{6} (f(a) + 4f(m) + f(b)) - \frac{(b-a)^5}{2880} f^{\rm (iv)}(\xi) \tag{*}

para algum $ξ$ , $a ≦ ξ ≦ b$ .

A maneira como esta regra é usada consiste em tomar o primeiro termo à direita como uma aproximação para

\int_{a}^{b} f (x) d x .

O segundo termo dá uma estimativa do erro introduzido ao fazer esta aproximação. O erro é no máximo

\frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot | Máx. | ou \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot | Mín. |,

o que for maior.

Finalmente, devemos mostrar que um polinômio $P (x)$ pode sempre ser encontrado satisfazendo nossos requisitos. Sejam $Q = (a, f (a))$ , $R = (b, f (b))$ , $S = (m, f (m))$ . Então podemos encontrar uma reta $y = A x + B$ passando por $Q$ e $R$ (aqui $A$ e $B$ são simplesmente números). Defina

g (x) = A x + B + C (x - a) (x - b),

onde $C$ é escolhido de modo que $g (m) = f (m)$ . Isso é sempre possível porque $(m - a) (m - b) \neq 0$ . Ainda temos $g (a) = f (a)$ , $g (b) = f (b)$ . Agora defina

P (x) = g (x) + D (x - a) (x - b) (x - m) .

Então

P'(m) = g'(m) + D(m-a)(m-b).

Como $(m - a) (m - b) \neq 0$ , podemos escolher a constante $D$ de modo que P'(m) = f'(m). Então $P (a) = g (a) = f (a)$ , $P (b) = g (b) = f (b)$ , $P (m) = g (m) = f (m)$ e P'(m) = f'(m); além disso, $P (x)$ é de grau $3$ . Portanto, $P (x)$ é o polinômio requerido. (Note que, ao aplicar a regra de Simpson, não é preciso calcular nada sobre $P (x)$ .)

EXERCÍCIOS

Exercício 1. 1) Use a regra de Simpson para calcular

\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}};

compare com o resultado obtido por integração direta.

Exercício 2.

Calcule $\int_{- 1}^{1} e^{- x^{2}} d x :$ a) para $a = - 1, b = 1$ ;
b) usando o fato de que é $2 \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$ e usando $a = 0, b = 1$ . Compare suas estimativas de erro em cada caso.

Exercício 3.

Use a regra de Simpson para aproximar, com erro, $\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{4}}} \cdot$

Não se conhece nenhum meio direto de encontrar as primitivas nos Exercícios 2 e 3; portanto, os métodos aproximados assumem grande importância nesses casos. A integral do Exercício 2 é chamada de integral do erro, e a do Exercício 3 é uma integral elíptica.

Regra de Simpson

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