辛普森法则

现在我们将应用我们的逼近定理来计算定积分。这一次我们将使用三次多项式来逼近待积分的函数。但首先让我们证明一个关于多项式积分的结果：

定理 1

设 f ( x ) 是次数 ≤ 5 的多项式。设 m 为区间 a ≤ x ≤ b 的中点（ m = 1 2 ( a + b ) ）。那么

∫ a b f ( x ) d x = b − a 6 ( f ( a ) + 4 f ( m ) + f ( b ) ) − ( b − a ) 5 2880 f ( i v ) ( m ) ⋅

证明。首先注意到，该论断关于 f 是线性的，也就是说，如果它对 f ( x ) 和 g ( x ) 成立，那么它对 f ( x ) + g ( x ) 以及 c f ( x ) （其中 c 为常数）也成立。因此，只要我们能证明它对 1 、 x 、 x 2 、 x 3 、 x 4 、 x 5 成立，或者能证明它对 1 、 ( x − m ) 、 ( x − m ) 2 、 ( x − m ) 3 、 ( x − m ) 4 、 ( x − m ) 5 成立，它就对所有次数 ≤ 5 的多项式成立。因为

对任意 n 都是关于 ( x − m ) 的 n 次多项式；于是任何关于 x 的次数 ≤ 5 的多项式也是关于 ( x − m ) 的次数 ≤ 5 的多项式。

先设 f ( x ) = ( x − m ) i ，其中 i 是奇数： i = 1 , 3 , 5 。那么

但 i + 1 是偶数，所以

( b − a 2 ) i + 1 = ( a − b 2 ) i + 1 ,

于是

∫ a b ( x − m ) i d x = 0 ⋅

在等式右边，我们有

b − a 6 ( ( a − m ) i + 4 ( m − m ) i + ( b − m ) i ) − ( b − a ) 5 2880 f ( i v ) ( m ) ⋅

若 i = 1 或 3 ， ( x − m ) i 的四阶导数为 0 。若 i = 5 ，四阶导数为 5 ! ( x − m ) ，于是 f ( i v ) ( m ) = 0 。因此右边化为

b − a 6 ( ( a − m ) i + ( b − m ) i ) = b − a 6 ( ( a − b 2 ) i + ( b − a 2 ) i ) ⋅

由于 i 是奇数，

( a − b 2 ) i = − ( b − a 2 ) i ,

所以右边为 0 。因此在这种情形下，等式两边都是 0 ，证毕。剩下要处理的是 f ( x ) = 1 , ( x − m ) 2 和 ( x − m ) 4 。

在前两种情形中， f ( i v ) ( x ) = 0 对所有 x 成立，所以我们可以省略右边的最后一项。对于 f ( x ) = 1 ，

∫ a b 1 d x = b − a ,

而

b − a 6 ( f ( a ) + 4 f ( m ) + f ( b ) ) = b − a 6 ⋅ 6 = b − a ,

因此该论断对 f ( x ) = 1 成立。对于 f ( x ) = ( x − m ) 2 ：

另一方面，

最后，设 f ( x ) = ( x − m ) 4 。那么 f ( i v ) ( x ) = 24 对所有 x 成立。

∫ a b f ( x ) d x = 1 5 ( ( b − a 2 ) 5 − ( a − b 2 ) 5 ) = 1 80 ( b − a ) 5 ⋅

另一方面，

因此该论断对所有 ( x − m ) i （ i ≤ 5 ）成立，从而对所有次数 ≤ 5 的多项式成立。

现在假设给定一个具有四阶导数的函数 f ( x ) ，并假设我们已经找到一个三次多项式 P ( x ) 满足： P ( a ) = f ( a ) ， P ( b ) = f ( b ) ， P ( m ) = f ( m ) ， 。（我们稍后将说明如何构造 P ( x ) 。）那么 f ( x ) − P ( x ) 在 x = a 和 x = b 处有至少一重的零点，在 x = m 处有至少 2 重的零点。因此我们取逼近定理中的 n 为 4 ，且 H ( x ) = ( x − a ) ( x − m ) 2 ( x − b ) 。那么

f ( x ) − P ( x ) = H ( x ) 4 ! ( f ( i v ) ( ξ ) − P ( i v ) ( ξ ) ) , a < ξ < b ⋅

但 P ( i v ) ( x ) = 0 ，因为 P ( x ) 是三次的。现在，只要 a ≤ x ≤ b 就有 H ( x ) ≤ 0 ，如果 Max. 表示 f ( i v ) ( x ) 在 a ≤ x ≤ b 上的最大值，Min. 表示其最小值，那么我们有

最大值最小值

由于 H ( x ) 是次数 ≤ 5 的多项式，且 H ( a ) = H ( b ) = H ( m ) = 0 ，由我们的定理可得

∫ a b H ( x ) d x = − ( b − a ) 5 2880 ⋅ H ( i v ) ( m ) = − ( b − a ) 5 2880 ⋅ 24.

对不等式 (**) 中的各项取积分，我们得到

− ( b − a ) 5 2880 ⋅ 最大值 ≤ ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b P ( x ) d x ≤ − ( b − a ) 5 2880 ⋅ 最小值

如果我们像在讨论其最大值和最小值时那样，假设 f ( i v ) 在 a ≤ x ≤ b 上连续，那么根据我们在第 12 章中引用的定理，

∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b P ( x ) d x = − ( b − a ) 5 2880 f ( i v ) ( ξ )

对某个 ξ （ a ≤ ξ ≤ b ）成立。现在由于 P ( i v ) ( x ) = 0 ，由我们的定理可知

最后，我们得到辛普森法则：

对某个 ξ （ a ≦ ξ ≦ b ）成立。

使用这一法则的方法是将右边的第一项作为下式的近似值：

∫ a b f ( x ) d x .

第二项给出了这种近似所带来的误差的估计。该误差至多为

( b − a ) 5 2880 ⋅ | 最大值 | 或 ( b − a ) 5 2880 ⋅ | 最小值 | ,

取二者中较大者。

最后，我们必须证明总能找到一个满足我们要求的多项式 P ( x ) 。设 Q = ( a , f ( a ) ) ， R = ( b , f ( b ) ) ， S = ( m , f ( m ) ) 。那么我们可以找到一条经过 Q 和 R 的直线 y = A x + B （这里 A 和 B 只是数）。设

g ( x ) = A x + B + C ( x − a ) ( x − b ) ,

其中 C 的选取使得 g ( m ) = f ( m ) 。这总是可能的，因为 ( m − a ) ( m − b ) ≠ 0 。我们仍然有 g ( a ) = f ( a ) ， g ( b ) = f ( b ) 。现在设

P ( x ) = g ( x ) + D ( x − a ) ( x − b ) ( x − m ) .

那么

由于 ( m − a ) ( m − b ) ≠ 0 ，我们可以选取常数 D 使得 。于是 P ( a ) = g ( a ) = f ( a ) ， P ( b ) = g ( b ) = f ( b ) ， P ( m ) = g ( m ) = f ( m ) ，且 ；此外， P ( x ) 是三次的。因此 P ( x ) 就是我们所要求的多项式。（注意，在应用辛普森法则时，无需计算任何关于 P ( x ) 的东西。）

习题

习题 1. 1) 用辛普森法则计算 ∫ 0 1 d x 1 + x 2 ; 并与直接积分所得的结果进行比较。
习题 2.
  1. 计算 ∫ − 1 1 e − x 2 d x : a) 取 a = − 1 , b = 1 ；
    b) 利用它是 2 ∫ 0 1 e − x 2 d x 这一事实，并取 a = 0 , b = 1 。比较这两种情形下你对误差的估计。
习题 3.
  1. 用辛普森法则近似计算下式并估计误差： ∫ − 1 / 2 1 / 2 d x 1 − x 4 ⋅

习题 2 和习题 3 中的不定积分没有已知的直接求法；因此，近似方法在这些情形中显得极为重要。习题 2 中的积分称为误差积分，习题 3 中的积分是椭圆积分。