Regla de Simpson

Ahora aplicaremos nuestro teorema de aproximación al cálculo de integrales definidas. Esta vez usaremos un polinomio de tercer grado para aproximar la función que vamos a integrar. Pero primero demostremos un resultado sobre integrales de polinomios:

Teorema 1

Sea $f (x)$ un polinomio de grado $\leq 5$ . Sea $m$ el punto medio del intervalo $a \leq x \leq b$ ( $m = \frac{1}{2} (a + b)$ ). Entonces

\int_{a}^{b} f (x) d x = \frac{b - a}{6} (f (a) + 4 f (m) + f (b)) - \frac{(b - a)^{5}}{2880} f^{(i v)} (m) \cdot

DEMOSTRACIÓN. Observemos ante todo que la afirmación es lineal en $f$ , es decir, si es verdadera para $f (x)$ y para $g (x)$ , entonces es verdadera para $f (x) + g (x)$ y para $c f (x)$ , donde $c$ es una constante. Por lo tanto, será verdadera para todos los polinomios de grado $\leq 5$ , si podemos mostrar que es verdadera para $1$ , $x$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ , $x^{4}$ , $x^{5}$ , o si podemos mostrarla para $1$ , $(x - m)$ , $(x - m)^{2}$ , $(x - m)^{3}$ , $(x - m)^{4}$ , $(x - m)^{5}$ . Pues

\begin{aligned} x^n &= ((x-m)+m)^n \\ &= (x-m)^n + n(x-m)^{n-1}m + \dots + n(x-m)m^{n-1} + m^n \end{aligned}

es un polinomio de grado $n$ en $(x - m)$ para cualquier $n$ ; así, cualquier polinomio en $x$ de grado $\leq 5$ es también un polinomio de grado $\leq 5$ en $(x - m)$ .

Primero sea $f (x) = (x - m)^{i}$ , donde $i$ es impar: $i = 1, 3, 5$ . Entonces

\begin{aligned} \int_a^b (x-m)^i \, dx &= \left. \frac{1}{i+1} (x-m)^{i+1} \right|_a^b \\ &= \frac{1}{i+1} \left( (b-m)^{i+1} - (a-m)^{i+1} \right)\\ &= \frac{1}{i+1} \left( \left( \frac{b-a}{2} \right)^{i+1} - \left( \frac{a-b}{2} \right)^{i+1} \right) \cdot \end{aligned}

Pero $i + 1$ es par, así que

{(\frac{b - a}{2})}^{i + 1} = {(\frac{a - b}{2})}^{i + 1},

\int_{a}^{b} (x - m)^{i} d x = 0 \cdot

En el lado derecho, tenemos

\frac{b - a}{6} ((a - m)^{i} + 4 (m - m)^{i} + (b - m)^{i}) - \frac{(b - a)^{5}}{2880} f^{(i v)} (m) \cdot

Si $i = 1$ o $3$ , la cuarta derivada de $(x - m)^{i}$ es $0$ . Si $i = 5$ , la cuarta derivada es $5! (x - m)$ , y $f^{(i v)} (m) = 0$ . Así, el lado derecho se reduce a

\frac{b - a}{6} ((a - m)^{i} + (b - m)^{i}) = \frac{b - a}{6} ({(\frac{a - b}{2})}^{i} + {(\frac{b - a}{2})}^{i}) \cdot

Dado que $i$ es impar,

{(\frac{a - b}{2})}^{i} = - {(\frac{b - a}{2})}^{i},

y el lado derecho es $0$ . Así que en este caso, ambos lados de la ecuación son $0$ , y hemos terminado. Resta tratar $f (x) = 1, (x - m)^{2}$ y $(x - m)^{4}$ .

En los dos primeros casos, $f^{(i v)} (x) = 0$ para todo $x$ , por lo que podemos omitir el último término de la derecha. Para $f (x) = 1$ ,

\int_{a}^{b} 1 d x = b - a,

mientras que

\frac{b - a}{6} (f (a) + 4 f (m) + f (b)) = \frac{b - a}{6} \cdot 6 = b - a,

Así, la afirmación es verdadera para $f (x) = 1$ . Para $f (x) = (x - m)^{2}$ :

\begin{aligned} \int_a^b (x-m)^2 \, dx &= \left. \frac{1}{3} (x-m)^3 \right|_a^b \\ &= \frac{1}{3} \left( \left( \frac{b-a}{2} \right)^3 - \left( \frac{a-b}{2} \right)^3 \right)\\ &= \frac{1}{3} \left( \left( \frac{b-a}{2} \right)^3 + \left( \frac{b-a}{2} \right)^3 \right) \\ &= \frac{(b-a)^3}{12} \cdot \end{aligned}

Mientras tanto,

\begin{aligned} \frac{b-a}{6} (f(a) + 4f(m) + f(b)) &= \frac{b-a}{6} \left( (a-m)^2 + (b-m)^2 \right)\\ &= \frac{b-a}{6} \left( \left( \frac{a-b}{2} \right)^2 + \left( \frac{b-a}{2} \right)^2 \right) \\ &= \frac{(b-a)^3}{12} \\ &= \int_a^b f(x) \, dx \cdot \end{aligned}

Finalmente, sea $f (x) = (x - m)^{4}$ . Entonces $f^{(i v)} (x) = 24$ para todo $x$ .

\int_{a}^{b} f (x) d x = \frac{1}{5} ({(\frac{b - a}{2})}^{5} - {(\frac{a - b}{2})}^{5}) = \frac{1}{80} (b - a)^{5} \cdot

Por otro lado,

\begin{aligned} \frac{b-a}{6} (f(a) &+ 4f(m) + f(b)) - \frac{(b-a)^5}{2880} f^{\rm (iv)}(m)\\ &= \frac{b-a}{6} \left( \left( \frac{a-b}{2} \right)^4 + \left( \frac{b-a}{2} \right)^4 \right) - \frac{(b-a)^5}{2880} \cdot 24\\ &= \frac{(b-a)^5}{48} - \frac{(b-a)^5}{120} \\ &= \frac{(b-a)^5}{80} \\ &= \int_a^b f(x) \, dx \cdot \end{aligned}

Así, la afirmación es verdadera para todos los $(x - m)^{i}$ , $i \leq 5$ , y por lo tanto para todos los polinomios de grado $\leq 5$ .

Ahora supongamos que se nos da una función $f (x)$ que tiene cuatro derivadas, y supongamos que hemos encontrado un polinomio $P (x)$ de grado $3$ tal que: $P (a) = f (a)$ , $P (b) = f (b)$ , $P (m) = f (m)$ , P'(m) = f'(m). (Mostraremos más adelante cómo se puede construir $P (x)$ ). Entonces $f (x) - P (x)$ tiene en $x = a$ y en $x = b$ un cero de multiplicidad al menos uno, y en $x = m$ un cero de multiplicidad al menos $2$ . Por lo tanto, tomamos el $n$ del teorema de aproximación como $4$ , y $H (x) = (x - a) (x - m)^{2} (x - b)$ . Entonces

f (x) - P (x) = \frac{H (x)}{4!} (f^{(i v)} (ξ) - P^{(i v)} (ξ)), a < ξ < b \cdot

Pero $P^{(i v)} (x) = 0$ , ya que $P (x)$ es de grado $3$ . Ahora bien, $H (x) \leq 0$ siempre que $a \leq x \leq b$ , y si Máx. denota el máximo de $f^{(i v)} (x)$ para $a \leq x \leq b$ , y Mín. su mínimo, tenemos

\frac{H(x)}{24} \cdot \text{Máx.} \le f(x) - P(x) \le \frac{H(x)}{24} \cdot \text{Mín.} \tag{**}

Dado que $H (x)$ es un polinomio de grado $\leq 5$ , y dado que $H (a) = H (b) = H (m) = 0$ , vemos por nuestro teorema que

\int_{a}^{b} H (x) d x = - \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot H^{(i v)} (m) = - \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot 24.

Tomando las integrales en la desigualdad (**), tenemos

- \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot Máx. \leq \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} P (x) d x \leq - \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot Mín.

Si suponemos, como ya lo hemos hecho al discutir su máximo y su mínimo, que $f^{(i v)}$ es continua para $a \leq x \leq b$ , entonces por el teorema que citamos en el Capítulo 12,

\int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} P (x) d x = - \frac{(b - a)^{5}}{2880} f^{(i v)} (ξ)

para algún $ξ$ , $a \leq ξ \leq b$ . Ahora, dado que $P^{(i v)} (x) = 0$ , sabemos por nuestro teorema que

\begin{aligned} \int_a^b P(x) \, dx &= \frac{b-a}{6} (P(a) + 4P(m) + P(b)) \\ &= \frac{b-a}{6} (f(a) + 4f(m) + f(b)). \end{aligned}

Finalmente, tenemos la regla de Simpson:

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \frac{b-a}{6} (f(a) + 4f(m) + f(b)) - \frac{(b-a)^5}{2880} f^{\rm (iv)}(\xi) \tag{*}

para algún $ξ$ , $a ≦ ξ ≦ b$ .

La manera en que se usa esta regla es tomando el primer término de la derecha como una aproximación de

\int_{a}^{b} f (x) d x .

El segundo término da una estimación del error introducido al hacer esta aproximación. El error es a lo sumo

\frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot | Máx. | o \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot | Mín. |,

el que sea mayor.

Finalmente, debemos mostrar que siempre se puede encontrar un polinomio $P (x)$ que satisfaga nuestros requisitos. Sea $Q = (a, f (a))$ , $R = (b, f (b))$ , $S = (m, f (m))$ . Entonces podemos encontrar una recta $y = A x + B$ que pase por $Q$ y $R$ (aquí $A$ y $B$ son simplemente números). Fijemos

g (x) = A x + B + C (x - a) (x - b),

donde $C$ se elige de modo que $g (m) = f (m)$ . Esto siempre es posible porque $(m - a) (m - b) \neq 0$ . Todavía tenemos $g (a) = f (a)$ , $g (b) = f (b)$ . Ahora fijemos

P (x) = g (x) + D (x - a) (x - b) (x - m) .

Entonces

P'(m) = g'(m) + D(m-a)(m-b).

Dado que $(m - a) (m - b) \neq 0$ , podemos elegir la constante $D$ de modo que P'(m) = f'(m). Entonces $P (a) = g (a) = f (a)$ , $P (b) = g (b) = f (b)$ , $P (m) = g (m) = f (m)$ y P'(m) = f'(m); además, $P (x)$ es de grado $3$ . Por lo tanto, $P (x)$ es el polinomio requerido. (Nótese que al aplicar la regla de Simpson, no es necesario calcular nada sobre $P (x)$ .)

EJERCICIOS

Ejercicio 1. 1) Use la regla de Simpson para calcular

\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}};

compárese con el resultado que se obtiene por integración directa.

Ejercicio 2.

Calcule $\int_{- 1}^{1} e^{- x^{2}} d x :$ a) para $a = - 1, b = 1$ ;
b) usando el hecho de que es $2 \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$ y usando $a = 0, b = 1$ . Compare sus estimaciones del error en cada caso.

Ejercicio 3.

Use la regla de Simpson para aproximar, con el error, $\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{4}}} \cdot$

No se conoce ningún medio directo para encontrar integrales indefinidas en los Ejercicios 2 y 3; por lo tanto, los métodos de aproximación adquieren gran importancia en estos casos. La integral del Ejercicio 2 se llama la integral del error, y la del Ejercicio 3 es una integral elíptica.

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