قاعده سیمپسون

اکنون قضیه تقریب خود را برای محاسبه انتگرال‌های معین به کار خواهیم برد. این بار برای تقریب تابعی که می‌خواهیم از آن انتگرال بگیریم، از یک چندجمله‌ای درجه سه استفاده خواهیم کرد. اما ابتدا اجازه دهید نتیجه‌ای را در مورد انتگرال‌های چندجمله‌ای‌ها اثبات کنیم:

قضیه 1

فرض کنید $f (x)$ چندجمله‌ای با درجه $\leq 5$ باشد. فرض کنید $m$ نقطه میانی بازه $a \leq x \leq b$ باشد ( $m = \frac{1}{2} (a + b)$ ). در این صورت

\int_{a}^{b} f (x) d x = \frac{b - a}{6} (f (a) + 4 f (m) + f (b)) - \frac{(b - a)^{5}}{2880} f^{(i v)} (m) \cdot

اثبات. پیش از هر چیز توجه کنید که این حکم نسبت به $f$ خطی است. یعنی اگر برای $f (x)$ و برای $g (x)$ درست باشد، برای $f (x) + g (x)$ و برای $c f (x)$ که در آن $c$ یک مقدار ثابت است نیز درست خواهد بود. بنابراین برای همه چندجمله‌ای‌های درجه $\leq 5$ درست خواهد بود، اگر بتوانیم نشان دهیم که برای $1$ ، $x$ ، $x^{2}$ ، $x^{3}$ ، $x^{4}$ ، $x^{5}$ درست است، یا اگر بتوانیم آن را برای $1$ ، $(x - m)$ ، $(x - m)^{2}$ ، $(x - m)^{3}$ ، $(x - m)^{4}$ ، $(x - m)^{5}$ نشان دهیم. زیرا

برای هر $n$ یک چندجمله‌ای درجه $n$ بر حسب $(x - m)$ است؛ بنابراین هر چندجمله‌ای بر حسب $x$ با درجه $\leq 5$ ، یک چندجمله‌ای با درجه $\leq 5$ بر حسب $(x - m)$ نیز هست.

نخست فرض کنید $f (x) = (x - m)^{i}$ که در آن $i$ فرد است: $i = 1, 3, 5$ . در این صورت

اما $i + 1$ زوج است، بنابراین

{(\frac{b - a}{2})}^{i + 1} = {(\frac{a - b}{2})}^{i + 1},

\int_{a}^{b} (x - m)^{i} d x = 0 \cdot

در سمت راست، داریم

\frac{b - a}{6} ((a - m)^{i} + 4 (m - m)^{i} + (b - m)^{i}) - \frac{(b - a)^{5}}{2880} f^{(i v)} (m) \cdot

اگر $i = 1$ یا $3$ باشد، مشتق چهارم $(x - m)^{i}$ برابر با $0$ است. اگر $i = 5$ باشد، مشتق چهارم برابر با $5! (x - m)$ است و $f^{(i v)} (m) = 0$ . بدین ترتیب سمت راست کاهش می‌یابد به

\frac{b - a}{6} ((a - m)^{i} + (b - m)^{i}) = \frac{b - a}{6} ({(\frac{a - b}{2})}^{i} + {(\frac{b - a}{2})}^{i}) \cdot

از آنجا که $i$ فرد است،

{(\frac{a - b}{2})}^{i} = - {(\frac{b - a}{2})}^{i},

و سمت راست برابر با $0$ است. پس در این حالت، هر دو سمت معادله برابر با $0$ هستند و کار به پایان می‌رسد. باقی می‌ماند بررسی $f (x) = 1, (x - m)^{2}$ و $(x - m)^{4}$ .

در دو حالت نخست، $f^{(i v)} (x) = 0$ برای تمام $x$ ها برقرار است، بنابراین می‌توانیم از آخرین عبارت در سمت راست صرف‌نظر کنیم. برای $f (x) = 1$ ،

\int_{a}^{b} 1 d x = b - a,

در حالی که

\frac{b - a}{6} (f (a) + 4 f (m) + f (b)) = \frac{b - a}{6} \cdot 6 = b - a,

بنابراین این حکم برای $f (x) = 1$ درست است. برای $f (x) = (x - m)^{2}$ :

در همین حال،

سرانجام، فرض کنید $f (x) = (x - m)^{4}$ . در این صورت $f^{(i v)} (x) = 24$ برای تمام $x$ ها برقرار است.

\int_{a}^{b} f (x) d x = \frac{1}{5} ({(\frac{b - a}{2})}^{5} - {(\frac{a - b}{2})}^{5}) = \frac{1}{80} (b - a)^{5} \cdot

از سوی دیگر،

بنابراین این حکم برای تمام $(x - m)^{i}$ با $i \leq 5$ درست است، و در نتیجه برای تمام چندجمله‌ای‌های با درجه $\leq 5$ صادق است.

حال فرض کنید تابع $f (x)$ داده شده است که دارای چهار مشتق است، و فرض کنید یک چندجمله‌ای $P (x)$ از درجه $3$ پیدا کرده‌ایم به طوری که: $P (a) = f (a)$ ، $P (b) = f (b)$ ، $P (m) = f (m)$ ، . (بعداً نشان خواهیم داد که چگونه می‌توان $P (x)$ را ساخت). سپس $f (x) - P (x)$ در $x = a$ و در $x = b$ دارای ریشه‌ای با مرتبه حداقل یک، و در $x = m$ دارای ریشه‌ای با مرتبه حداقل $2$ است. بنابراین $n$ مربوط به قضیه تقریب را برابر با $4$ ، و $H (x) = (x - a) (x - m)^{2} (x - b)$ در نظر می‌گیریم. در این صورت

f (x) - P (x) = \frac{H (x)}{4!} (f^{(i v)} (ξ) - P^{(i v)} (ξ)), a < ξ < b \cdot

اما $P^{(i v)} (x) = 0$ ، زیرا $P (x)$ از درجه $3$ است. اکنون هرگاه $a \leq x \leq b$ باشد، $H (x) \leq 0$ است، و اگر .Max نشان‌دهنده ماکزیمم $f^{(i v)} (x)$ برای $a \leq x \leq b$ و .Min نشان‌دهنده مینیمم آن باشد، داریم

از آنجا که $H (x)$ یک چندجمله‌ای با درجه $\leq 5$ است، و با توجه به اینکه $H (a) = H (b) = H (m) = 0$ ، بر اساس قضیه خود می‌بینیم که

\int_{a}^{b} H (x) d x = - \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot H^{(i v)} (m) = - \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot 24.

با انتگرال‌گیری از نابرابری (**)، داریم

- \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot Max. \leq \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} P (x) d x \leq - \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot Min.

اگر همان‌طور که پیش‌تر در بحث ماکزیمم و مینیمم آن فرض کردیم، فرض کنیم $f^{(i v)}$ برای $a \leq x \leq b$ پیوسته است، در این صورت بنا بر قضیه‌ای که در فصل ۱۲ نقل کردیم،

\int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} P (x) d x = - \frac{(b - a)^{5}}{2880} f^{(i v)} (ξ)

به ازای یک $ξ$ ، با $a \leq ξ \leq b$ . حال از آنجا که $P^{(i v)} (x) = 0$ ، بنا بر قضیه خود می‌دانیم که

در نهایت، قاعده سیمپسون را داریم:

به ازای یک $ξ$ ، با $a ≦ ξ ≦ b$ .

نحوه استفاده از این قاعده بدین صورت است که از اولین عبارت سمت راست به عنوان تقریبی برای

\int_{a}^{b} f (x) d x .

استفاده می‌شود. عبارت دوم تخمینی از خطای ناشی از این تقریب را ارائه می‌دهد. خطا حداکثر برابر است با

\frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot | Max . | یا \frac{(b - a)^{5}}{2880} \cdot | Min . |,

هر کدام که بزرگتر باشد.

در نهایت، باید نشان دهیم که همواره می‌توان چندجمله‌ای $P (x)$ را پیدا کرد که شرایط ما را برآورده کند. فرض کنید $Q = (a, f (a))$ ، $R = (b, f (b))$ و $S = (m, f (m))$ باشند. در این صورت می‌توانیم یک خط مستقیم $y = A x + B$ گذرنده از $Q$ و $R$ پیدا کنیم (در اینجا $A$ و $B$ صرفاً اعداد هستند). تعریف کنید

g (x) = A x + B + C (x - a) (x - b),

که در آن $C$ چنان انتخاب شده است که $g (m) = f (m)$ باشد. این امر همواره امکان‌پذیر است زیرا $(m - a) (m - b) \neq 0$ . ما همچنان $g (a) = f (a)$ و $g (b) = f (b)$ را داریم. اکنون تعریف کنید

P (x) = g (x) + D (x - a) (x - b) (x - m) .

در این صورت

از آنجا که $(m - a) (m - b) \neq 0$ ، می‌توانیم ثابت $D$ را چنان انتخاب کنیم که باشد. در این صورت $P (a) = g (a) = f (a)$ ، $P (b) = g (b) = f (b)$ ، $P (m) = g (m) = f (m)$ و ؛ علاوه بر این، $P (x)$ از درجه $3$ است. بنابراین $P (x)$ همان چندجمله‌ای مورد نیاز ما است. (توجه داشته باشید که در به کار بردن قاعده سیمپسون، نیازی به محاسبه هیچ چیزی در مورد $P (x)$ نیست.)

تمرین‌ها

تمرین 1. ۱) از قاعده سیمپسون برای محاسبه

\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}};

استفاده کنید؛ نتیجه را با آنچه از انتگرال‌گیری مستقیم به دست می‌آورید مقایسه نمایید.

تمرین 2.

مقدار $\int_{- 1}^{1} e^{- x^{2}} d x :$ را محاسبه کنید: الف) برای $a = - 1, b = 1$ ؛
ب) با استفاده از این واقعیت که این انتگرال برابر با $2 \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$ است و با استفاده از $a = 0, b = 1$ . برآوردهای خطای خود را در هر مورد مقایسه کنید.

تمرین 3.

از قاعده سیمپسون برای تقریب زدن، به همراه خطا، برای $\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{4}}} \cdot$ استفاده کنید.

هیچ روش مستقیمی برای یافتن انتگرال‌های نامعین در تمرین‌های ۲ و ۳ شناخته نشده است؛ بنابراین روش‌های تقریبی در این موارد اهمیت زیادی پیدا می‌کنند. انتگرال در تمرین ۲ انتگرال خطا نامیده می‌شود، و در تمرین ۳ یک انتگرال بیضوی است.