Outras Funções e Suas Derivadas

Com o objetivo de desenvolver técnica, mencionamos várias outras funções e damos suas derivadas. Definições satisfatórias do seno e do cosseno do ponto de vista matemático não serão dadas neste curso, mas apresentaremos evidências intuitivas para as fórmulas de suas derivadas. As funções exponencial e logarítmica serão discutidas com mais detalhes em uma etapa posterior do curso.

Função	Derivada
$\sin x$ ($x$ medido em radianos)	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$
$\log x$ ($={\log }_{e}x=\ln x$)	${\displaystyle \frac{1}{x}}$

Aqui $e$ é o número $2.71828\dots$, a base do sistema de logaritmos chamados naturais. Sempre que escrevermos $\log x$, isso significará o logaritmo na base $e$. Agora podemos derivar uma regra para diferenciar $a^x$, onde $a$ é qualquer número positivo fixo. Mas primeiro devemos definir $a^x$ para expoente arbitrário $x$. Assumindo que as funções exponencial e logaritmo estão definidas, definimos $a^x=e^{x\log a}$. Então, se tomamos $f(u)=e^u$ (f'(u) = e^u também), $g(x)=x\log a$, temos $a^x=f(g(x))$, e

(a^x)' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{x \log a} \cdot \log a = a^x \log a .

Formemos agora os quocientes incrementais para $\sin x$ e $\cos x$. Eles são:

$$\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}$$

e

$$\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}=\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h},$$

ou

\tag{1} \frac{\cos h - 1}{h} \cdot \sin x + \frac{\sin h}{h} \cdot \cos x ,

e

\tag{2} \frac{\cos h - 1}{h} \cdot \cos x - \frac{\sin h}{h} \cdot \sin x .

Assim, somos levados a considerar

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos h-1}{h}\text{e}\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin h}{h}.$$

Podemos reduzir o primeiro destes ao segundo da seguinte maneira:

\begin{aligned} \frac{\cos h - 1}{h} &= \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} \\ &= \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} \\ & = \frac{\sin h}{h} \cdot \sin h \cdot \frac{-1}{\cos h + 1} . \end{aligned}

Desses três fatores, o segundo vai para 0 quando $h\to 0$, e o terceiro se aproxima de $-1/2$. Se o limite de $\frac{\sin h}{h}$ de fato existir, o limite de $\frac{\cos h-1}{h}$ será, portanto, 0.

Considere agora o diagrama à direita. A área do triângulo OAB é menor ou igual à do setor OCB, que por sua vez é menor ou igual à do triângulo OCD. Mas sabemos:

$$\text{OAB}=\frac{1}{2}\sin h\cdot \cos h$$

setor OCB $={\displaystyle \frac{h}{2}}$ (já que a área do círculo inteiro de raio 1 é $\pi$, e há $2\pi$ radianos no círculo.)

$$\text{OCD}=\frac{1}{2}\tan h=\frac{1}{2}\frac{\sin h}{\cos h}.$$

Assim

$$\frac{1}{2}\sin h\cdot \cos h\le \frac{h}{2}\le \frac{1}{2}\frac{\sin h}{\cos h}.$$

Se , a primeira desigualdade fornece

$$\frac{\sin h}{h}\le \frac{1}{\cos h},$$

e a segunda fornece

$$\cos h\le \frac{\sin h}{h}.$$

Assim

$$\cos h\le \frac{\sin h}{h}\le \frac{1}{\cos h}.$$

Mas quando $h\to 0$, tanto $\cos h$ quanto $\frac{1}{\cos h}$ se aproximam de 1. Como $\frac{\sin h}{h}$ está entre essas quantidades, ele também deve se aproximar de 1. Um argumento semelhante pode ser usado para . Portanto, concluímos que

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin h}{h}=1,\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos h-1}{h}=0.$$

Tomando os limites nos quocientes incrementais (1) e (2), obtemos os resultados originalmente dados para as derivadas do seno e do cosseno.

NOTA. Devido à presença de termos indefinidos, você deve considerar este argumento não como uma prova, mas sim como um esforço para convencê-lo de que nossas afirmações são razoáveis à luz de sua experiência.

Exercícios