توابع دیگر و مشتقات آنها

به منظور پرورش تکنیک، چند تابع دیگر را ذکر می‌کنیم و مشتق‌های آن‌ها را می‌دهیم. تعاریف رضایت‌بخش سینوس و کسینوس از دیدگاه ریاضی در این درس ارائه نخواهند شد، اما شواهد شهودی برای فرمول‌های مشتق‌های آن‌ها ارائه خواهیم داد. توابع نمایی و لگاریتمی در مرحله‌ای بعدی از درس با جزئیات بیشتری بحث خواهند شد.

تابع	مشتق
$\sin x$ ( $x$ بر حسب رادیان)	$\cos x$
$\cos x$	$- \sin x$
$e^{x}$	$e^{x}$
$\log x$ ( $= \log_{e} x = \ln x$ )	$\frac{1}{x}$

در اینجا $e$ عدد $2.71828 \dots$ است، یعنی پایه دستگاه لگاریتم‌های موسوم به طبیعی. هر گاه $\log x$ بنویسیم، منظور لگاریتم در پایه $e$ خواهد بود. اکنون می‌توانیم قاعده‌ای برای مشتق‌گیری از $a^{x}$ به دست آوریم، که در آن $a$ هر عدد مثبت ثابتی است. اما نخست باید $a^{x}$ را برای توان دلخواه $x$ تعریف کنیم. با فرض اینکه توابع نمایی و لگاریتم تعریف شده باشند، $a^{x} = e^{x \log a}$ را تعریف می‌کنیم. سپس اگر $f (u) = e^{u}$ ( نیز) و $g (x) = x \log a$ قرار دهیم، $a^{x} = f (g (x))$ خواهد بود، و

توجه. توابع $x^{b}$ که در آن $b$ ثابت است، و $a^{x}$ که در آن $a > 0$ ثابت است، ماهیتی کاملاً متفاوت دارند، و هنگام تشکیل مشتق عبارت‌هایی که شامل آن‌ها هستند باید این نکته را در نظر داشت. مشتق $x^{b}$ برابر $b x^{b - 1}$ است؛ مشتق $a^{x}$ برابر $a^{x} \log a$ است.

اکنون بیایید خارج قسمت‌های تفاضل را برای $\sin x$ و $\cos x$ تشکیل دهیم. آن‌ها عبارتند از:

\frac{\sin (x + h) - \sin x}{h} = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}

\frac{\cos (x + h) - \cos x}{h} = \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h},

یا

بدین ترتیب به بررسی این عبارت‌ها می‌پردازیم

lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} و lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} .

می‌توانیم اولی را به صورت زیر به دومی کاهش دهیم:

از این سه عامل، دومی وقتی $h \to 0$ به 0 میل می‌کند، و سومی به $- 1 / 2$ نزدیک می‌شود. اگر اصلاً حد $\frac{\sin h}{h}$ وجود داشته باشد، پس حد $\frac{\cos h - 1}{h}$ برابر 0 خواهد بود.

اکنون شکل سمت راست را در نظر بگیرید. مساحت مثلث OAB کمتر یا مساوی مساحت قطاع OCB است، که آن نیز کمتر یا مساوی مساحت مثلث OCD است. اما می‌دانیم:

OAB = \frac{1}{2} \sin h \cdot \cos h

قطاع OCB $= \frac{h}{2}$ (زیرا مساحت کل دایره‌ای به شعاع 1 برابر $π$ است، و در دایره $2 π$ رادیان وجود دارد.)

OCD = \frac{1}{2} \tan h = \frac{1}{2} \frac{\sin h}{\cos h} .

A geometric construction on a unit circle used to prove the limit of sin(h)/h as h approaches 0. The diagram shows a central angle h with vertex O, a sector OCB of radius 1, an inscribed right triangle OAB with height sin(h) and base cos(h), and an outer right triangle OCD with height tan(h). This visualizes the inequality sin(h)·cos(h)/2 ≤ h/2 ≤ tan(h)/2, which simplifies to cos(h) ≤ sin(h)/h ≤ 1/cos(h).

بنابراین

\frac{1}{2} \sin h \cdot \cos h \leq \frac{h}{2} \leq \frac{1}{2} \frac{\sin h}{\cos h} .

اگر $h > 0$ باشد، نامساوی اول نتیجه می‌دهد

\frac{\sin h}{h} \leq \frac{1}{\cos h},

و دومی نتیجه می‌دهد

\cos h \leq \frac{\sin h}{h} .

بنابراین

\cos h \leq \frac{\sin h}{h} \leq \frac{1}{\cos h} .

اما وقتی $h \to 0$ ، هر دوی $\cos h$ و $\frac{1}{\cos h}$ به 1 نزدیک می‌شوند. چون $\frac{\sin h}{h}$ بین این کمیت‌ها قرار دارد، باید آن نیز به 1 نزدیک شود. استدلال مشابهی می‌تواند برای $h < 0$ به کار رود. بنابراین نتیجه می‌گیریم که

lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1, lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0 .

با گرفتن حد در خارج قسمت‌های تفاضل (1) و (2)، به نتایجی می‌رسیم که در ابتدا برای مشتق‌های سینوس و کسینوس داده شد.

توجه. به دلیل وجود عبارت‌های تعریف‌نشده، باید این استدلال را نه یک اثبات، بلکه تلاشی برای متقاعد کردن شما بدانید که گزاره‌های ما در پرتو تجربه شما معقول هستند.

تمرین‌ها

تمرین 1.

مشتق بگیرید: $\tan x, \cot x, \sec x, \csc x .$

تمرین 2.

R. Courant، حساب دیفرانسیل و انتگرال، جلد I: ص. 109، تمرین 2؛ ص. 144، تمرین‌های 5، 6، 7، 8، 9؛ ص. 157، تمرین‌های 1-15؛ ص. 177، تمرین‌های 2، 3، 4، 5، 9، 12، 13.

تمرین 3.

C. O. Oakley، حسابان؛ Barnes and Noble College Outlines: ص. 43، تمرین‌های 1-13، 16، 17، 19، 20.