Otras funciones y sus derivadas

Con el fin de desarrollar técnica, mencionamos varias otras funciones y damos sus derivadas. Definiciones satisfactorias del seno y el coseno desde el punto de vista matemático no se darán en este curso, pero presentaremos evidencia intuitiva de las fórmulas para sus derivadas. Las funciones exponencial y logarítmica se discutirán con más detalle en una etapa posterior del curso.

Función	Derivada
$\sin x$ ($x$ medido en radianes)	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$
$\log x$ ($={\log }_{e}x=\ln x$)	${\displaystyle \frac{1}{x}}$

Aquí $e$ es el número $2.71828\dots$, la base del sistema de logaritmos llamados naturales. Siempre que escribamos $\log x$, significará el logaritmo en base $e$. Ahora podemos derivar una regla para diferenciar $a^x$, donde $a$ es cualquier número positivo fijo. Pero primero debemos definir $a^x$ para exponente arbitrario $x$. Suponiendo que las funciones exponencial y logaritmo están definidas, definimos $a^x=e^{x\log a}$. Entonces, si hacemos $f(u)=e^u$ (f'(u) = e^u también), $g(x)=x\log a$, tenemos $a^x=f(g(x))$, y

(a^x)' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{x \log a} \cdot \log a = a^x \log a .

Formemos ahora los cocientes de diferencias para $\sin x$ y $\cos x$. Ellos son:

$$\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}$$

y

$$\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}=\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h},$$

o

\tag{1} \frac{\cos h - 1}{h} \cdot \sin x + \frac{\sin h}{h} \cdot \cos x ,

y

\tag{2} \frac{\cos h - 1}{h} \cdot \cos x - \frac{\sin h}{h} \cdot \sin x .

Así nos vemos llevados a considerar

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos h-1}{h}\text{y}\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin h}{h}.$$

Podemos reducir el primero de estos al segundo como sigue:

\begin{aligned} \frac{\cos h - 1}{h} &= \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} \\ &= \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} \\ & = \frac{\sin h}{h} \cdot \sin h \cdot \frac{-1}{\cos h + 1} . \end{aligned}

De estos tres factores, el segundo tiende a 0 cuando $h\to 0$, y el tercero se aproxima a $-1/2$. Si el límite de $\frac{\sin h}{h}$ existe, el límite de $\frac{\cos h-1}{h}$ será por lo tanto 0.

Ahora considere el diagrama de la derecha. El área del triángulo OAB es menor o igual que la del sector OCB, que a su vez es menor o igual que la del triángulo OCD. Pero sabemos:

$$\text{OAB}=\frac{1}{2}\sin h\cdot \cos h$$

sector OCB $={\displaystyle \frac{h}{2}}$ (ya que el área de todo el círculo de radio 1 es $\pi$, y hay $2\pi$ radianes en el círculo.)

$$\text{OCD}=\frac{1}{2}\tan h=\frac{1}{2}\frac{\sin h}{\cos h}.$$

Así

$$\frac{1}{2}\sin h\cdot \cos h\le \frac{h}{2}\le \frac{1}{2}\frac{\sin h}{\cos h}.$$

Si , la primera desigualdad da

$$\frac{\sin h}{h}\le \frac{1}{\cos h},$$

y la segunda da

$$\cos h\le \frac{\sin h}{h}.$$

Así

$$\cos h\le \frac{\sin h}{h}\le \frac{1}{\cos h}.$$

Pero cuando $h\to 0$, $\cos h$ y $\frac{1}{\cos h}$ se aproximan ambos a 1. Como $\frac{\sin h}{h}$ está entre estas cantidades, también debe aproximarse a 1. Un argumento similar puede usarse para . Por lo tanto concluimos que

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin h}{h}=1,\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos h-1}{h}=0.$$

Tomando límites en los cocientes de diferencias (1) y (2), obtenemos los resultados dados originalmente para las derivadas del seno y el coseno.

NOTA. Debido a la presencia de términos no definidos, usted debe considerar este argumento no como una demostración, sino más bien como un esfuerzo por convencerlo de que nuestras afirmaciones son razonables a la luz de su experiencia.

Ejercicios