其他函数及其导数

为了培养技巧，我们再介绍几个其他函数并给出它们的导数。从数学角度来看，正弦和余弦的令人满意的定义不会在本课程中给出，但我们将为它们的导数公式提供直观的依据。指数函数和对数函数将在课程的稍后阶段更详细地讨论。

函数	导数
$\sin x$ （ $x$ 以弧度为单位）	$\cos x$
$\cos x$	$- \sin x$
$e^{x}$	$e^{x}$
$\log x$ （ $= \log_{e} x = \ln x$ ）	$\frac{1}{x}$

这里 $e$ 是数 $2.71828 \dots$ ，即所谓自然对数体系的底数。每当我们写 $\log x$ 时，它的意思都是以 $e$ 为底的对数。现在我们可以推导一个对 $a^{x}$ 求导的法则，其中 $a$ 是任意固定的正数。但首先我们必须对任意指数 $x$ 定义 $a^{x}$ 。假设指数函数和对数函数已被定义，我们定义 $a^{x} = e^{x \log a}$ 。那么如果我们设 $f (u) = e^{u}$ （同样）， $g (x) = x \log a$ ，我们就有 $a^{x} = f (g (x))$ ，并且

注意。 函数 $x^{b}$ （其中 $b$ 是固定的）和 $a^{x}$ （其中 $a > 0$ 是固定的）具有完全不同的性质，在对包含它们的表达式求导时应牢记这一点。 $x^{b}$ 的导数是 $b x^{b - 1}$ ；而 $a^{x}$ 的导数是 $a^{x} \log a$ 。

现在我们来构造 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的差商。它们是：

\frac{\sin (x + h) - \sin x}{h} = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}

以及

\frac{\cos (x + h) - \cos x}{h} = \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h},

即

以及

因此我们被引导去考虑

lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} 以及 lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} .

我们可以将第一个极限化为第二个，如下所示：

在这三个因子中，第二个在 $h \to 0$ 时趋于 0，第三个趋于 $- 1 / 2$ 。如果 $\frac{\sin h}{h}$ 的极限存在，那么 $\frac{\cos h - 1}{h}$ 的极限就将是 0。

现在考虑右边的图形。三角形 OAB 的面积小于或等于扇形 OCB 的面积，而扇形 OCB 的面积又小于或等于三角形 OCD 的面积。但我们知道：

OAB = \frac{1}{2} \sin h \cdot \cos h

扇形 OCB $= \frac{h}{2}$ （因为半径为 1 的整个圆的面积是 $π$ ，而圆中有 $2 π$ 弧度。）

OCD = \frac{1}{2} \tan h = \frac{1}{2} \frac{\sin h}{\cos h} .

单位圆上的几何构造，用于证明当 h 趋近于 0 时 sin(h)/h 的极限。图中显示了一个以 O 为顶点的圆心角 h，半径为 1 的扇形 OCB，高为 sin(h)、底为 cos(h) 的内接直角三角形 OAB，以及高为 tan(h) 的外侧直角三角形 OCD。这直观地展示了不等式 sin(h)·cos(h)/2 ≤ h/2 ≤ tan(h)/2，该不等式可化简为 cos(h) ≤ sin(h)/h ≤ 1/cos(h)。

因此

\frac{1}{2} \sin h \cdot \cos h \leq \frac{h}{2} \leq \frac{1}{2} \frac{\sin h}{\cos h} .

如果 $h > 0$ ，第一个不等式给出

\frac{\sin h}{h} \leq \frac{1}{\cos h},

而第二个不等式给出

\cos h \leq \frac{\sin h}{h} .

于是

\cos h \leq \frac{\sin h}{h} \leq \frac{1}{\cos h} .

但当 $h \to 0$ 时， $\cos h$ 和 $\frac{1}{\cos h}$ 都趋于 1。由于 $\frac{\sin h}{h}$ 介于这两个量之间，它也必然趋于 1。对于 $h < 0$ 可以使用类似的论证。因此我们得出结论：

lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1, lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0 .

在差商 (1) 和 (2) 中取极限，我们便得到最初给出的正弦和余弦的导数结果。

注意。 由于存在未定义的项，你应当把这个论证看作不是证明，而是根据你的经验使你相信我们的论述是合理的的一次尝试。

习题

练习 1.

求导： $\tan x, \cot x, \sec x, \csc x .$

练习 2.

R. Courant，微积分，第 I 卷：第 109 页，习题 2；第 144 页，习题 5, 6, 7, 8, 9；第 157 页，习题 1-15；第 177 页，习题 2, 3, 4, 5, 9, 12, 13。

练习 3.

C. O. Oakley，微积分；Barnes and Noble College Outlines：第 43 页，习题 1-13, 16, 17, 19, 20。