Aplicações do Gradiente

A. Erros

Antes de tudo, mencionamos o uso da diferencial total para estimar o erro em uma quantidade calculada a partir de quantidades nas quais o erro é conhecido. Por exemplo, a atração gravitacional entre as massas $m_1,m_2$ à distância $r$ é dada por

$$\frac{m_1{m}_2}{r^2}=f(m_1,m_2,r)\cdot$$

Poderíamos perguntar: Se encontramos $m_1$ e $m_2$ cada uma igual a $1000\text{ gramas}\pm .01\text{ g.}$ e $r=10\text{ cm}\pm .001\text{ cm}$, então qual pode ser a magnitude do erro resultante no cálculo da força, usando esses números? Como estamos interessados apenas em uma estimativa, negligenciamos o termo de erro na expressão para $df$ e encontramos

\begin{aligned} df &= \frac{m_2}{r^2} dm_1 + \frac{m_1}{r^2} dm_2 - \frac{2m_1 m_2}{r^3} dr \\ &= \frac{10^3}{10^2} dm_1 + \frac{10^3}{10^2} dm_2 - \frac{2 \cdot 10^6}{10^3} dr \cdot \end{aligned}

O valor absoluto disso é máximo quando $d{m}_1=+.01=d{m}_2,dr=-.001$. Então temos

$$df=10\cdot (.01)+10\cdot (.01)+2\cdot {10}^3\cdot (.001)=2.2\cdot$$

Assim, nossa estimativa do erro máximo na força é $\pm 2.2$ dinas.

B. Máximos e Mínimos

Podemos fazer um teste simples para máximos e mínimos relativos de funções de várias variáveis. Falaremos em termos de funções de duas variáveis, mas a extensão para funções de mais variáveis será clara. Um ponto $(x_0,y_0)$ é chamado de máximo relativo de $f(x,y)$ se existe uma vizinhança de $(x_0,y_0)$ tal que para todos os pontos $(x,y)$ dessa vizinhança,

$$f(x,y)\le f(x_0,y_0)\cdot$$

Um mínimo relativo é definido de maneira análoga. Suponha que $f_x$ e $f_y$ existam no máximo relativo $(x_0,y_0)$. Então a função $g(x)=f(x,y_0)$ tem um máximo relativo em $x_0$, logo g'(x_0) = f_x(x_0, y_0) = 0. Da mesma forma, $h(y)=f(x_0,y)$ tem um máximo relativo em $y_0$, logo h'(y_0) = f_y(x_0, y_0) = 0. Assim, concluímos:

A recíproca não é mais verdadeira do que no caso das funções de uma variável. Existem testes de derivadas de ordem superior como antes, mas não os discutiremos aqui.

C. Planos Tangentes e Retas Normais a Superfícies

Em seguida, considere o conjunto de pontos $(x,y,z)$ tais que $f(x,y,z)=c$, onde $c$ é alguma constante e $f(x,y,z)$ tem derivadas primeiras contínuas. Tal conjunto de pontos é chamado de superfície de nível para a função $f(x,y,z)$. É completamente análogo às curvas de nível para as funções $f(x,y)$ de duas variáveis que usamos ao desenhar nossos mapas de contorno. Um caso particular de superfície de nível é o "gráfico" de uma função $g(x,y)$ de duas variáveis. Os pontos que plotamos nesse caso são os pontos $(x,y,g(x,y))$, e esses são exatamente a superfície de nível $f(x,y,z)=0$ onde

$$f(x,y,z)=z-g(x,y)\cdot$$

Um exemplo que não é deste tipo é a esfera de raio $5$ centrada na origem, que é a superfície de nível

$$x^2+y^2+z^2=25\cdot$$

Desejamos encontrar a reta normal e o plano tangente a tal superfície em um ponto $(x_0,y_0,z_0)$ da superfície. Se conseguirmos encontrar um vetor perpendicular, em algum sentido, à superfície em $(x_0,y_0,z_0)$, então teremos terminado. Pois este será um vetor $A$ paralelo à reta normal e perpendicular ao plano tangente. O que mostraremos é que grad f, avaliado em $(x_0,y_0,z_0)$, é tal vetor $A$.

Mas o que significa um vetor ser perpendicular à superfície em $(x_0,y_0,z_0)$? Se soubéssemos que existem retas na superfície passando por $(x_0,y_0,z_0)$, poderíamos dizer que o vetor deveria ser perpendicular a todas essas retas. Mas não há retas na esfera, por exemplo; então, em seguida, tentamos encontrar um vetor perpendicular em $(x_0,y_0,z_0)$ a todas as curvas na superfície que passam por $(x_0,y_0,z_0)$. Portanto, seja $X(t)=(x(t),y(t),z(t))$ uma curva na superfície, e seja $(x_0,y_0,z_0)=X(t_0)$. Como a curva está sobre a superfície, sabemos que

$$f(x(t),y(t),z(t))=c\text{para todo }t\cdot$$

Portanto

$$\frac{d}{dt}(f(x(t),y(t),z(t)))=\frac{dc}{dt}=0\cdot$$

Mas vimos que

\frac{d}{dt} (f(x(t), y(t), z(t))) = (\text{grad } f) \cdot X'(t),

logo

(\text{grad } f) \cdot X'(t) = 0 \cdot

Em particular,

((\text{grad } f)(x_0, y_0, z_0)) \cdot X'(t_0) = 0 \cdot

Mas X'(t_0) é um vetor paralelo à tangente à curva $X(t)$ em $t=t_0$. Como $(\text{grad }f)(x_0,y_0,z_0)$ é perpendicular a X'(t_0), ele é perpendicular à tangente à curva em $t_0$, e isso vale para qualquer curva na superfície que passe por $(x_0,y_0,z_0)$. Assim, $(\text{grad }f)(x_0,y_0,z_0)$ é o vetor desejado $A$. Isso dá uma interpretação geométrica para a direção de grad f: grad f, avaliado em $(x_0,y_0,z_0)$, é perpendicular à superfície de nível $f(x,y,z)=f(x_0,y_0,z_0)$ no ponto $(x_0,y_0,z_0)$. Daremos uma interpretação para o seu comprimento no próximo parágrafo.

D. Derivada direcional

Seja $f(x,y,z)$ uma função de três variáveis (embora $n$ variáveis serviriam igualmente). Seja $A=(a_1,a_2,a_3)$ um vetor dado diferente de zero, e seja $X_0=(x_0,y_0,z_0)$ um ponto dado. Quando encontramos $f_x,f_y,f_z$ em $X_0$, estamos encontrando as taxas de variação de $f$ com respeito à distância percorrida a partir do ponto $X_0$ em uma das três direções paralelas aos respectivos eixos. Agora suponha, em vez disso, que posicionamos o vetor $A$ com o ponto $X_0$ como ponto inicial e viajamos ao longo de $A$, ou em outras palavras, viajamos de $X_0$ na mesma direção de $A$, e desejamos medir a taxa de variação de $f$ com respeito à distância percorrida. Se vamos de $X_0$ para $X_0+dX$, a "taxa média" será

$$\frac{f(x_0+dx,y_0+dy,z_0+dz)-f(x_0,y_0,z_0)}{|dX|}\cdot$$

Agora, o vetor $dX=(X_0+dX)-X_0$ deve ter a mesma direção de $A$, logo $dX=hA$ para algum . Portanto, $|dX|=h|A|$. Além disso,

$$f(x_0+dx,y_0+dy,z_0+dz)-f(x_0,y_0,z_0)=(\text{grad }f)\cdot dX+\text{erro},$$

onde

$$\frac{\text{erro}}{|dX|}\to 0\text{quando }|dX|\to 0\cdot$$

A "taxa instantânea", que chamamos de derivada direcional de $f(x,y,z)$ em $X_0$ na direção de $A$, será o limite quando $|dX|\to 0$ da taxa média, ou, já que $|dX|\to 0$ significa o mesmo que $h\to 0$,

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{(\text{grad }f)\cdot hA}{h|A|}+\frac{\text{erro}}{h|A|}\cdot$$

Mas vimos que o segundo termo vai para zero, e o primeiro é simplesmente

$$\frac{(\text{grad }f)\cdot A}{|A|}\cdot$$

Este resultado nos dá uma fórmula simples para encontrar a derivada direcional.

Agora observe que se $\theta$ é o ângulo entre $A$ e grad f, então $(\text{grad }f)\cdot A=|\text{grad }f||A|\cos \theta$, ou seja, a derivada direcional é simplesmente $|\text{grad }f|\cos \theta$. Isso é, claro, máximo quando $\cos \theta =1$, isto é, quando $A$ tem a mesma direção de grad f, e nesse caso é simplesmente $|\text{grad }f|$. Assim, temos nossa interpretação para $|\text{grad }f|$: É o valor máximo para a derivada direcional de $f$ em qualquer direção. Observe também que o valor mínimo para a derivada direcional de $f$ ocorre quando a direção é oposta à de grad f, e que esse valor mínimo é $-|\text{grad }f|$.

EXERCÍCIOS