کاربردهای گرادیان

الف. خطاها

پیش از هر چیز، به کاربرد دیفرانسیل کل برای برآورد خطای کمیتی که از کمیت‌هایی با خطای معلوم محاسبه می‌شود، اشاره می‌کنیم. به عنوان مثال، جاذبه گرانشی بین جرم‌های $m_1,m_2$ در فاصله $r$ با رابطه زیر بیان می‌شود

ممکن است بپرسیم: اگر یافته باشیم که هر یک از $m_1$ و $m_2$ برابر با $1000\text{ گرم}\pm .01\text{ گرم}$ و $r=10\text{ سانتی‌متر}\pm .001\text{ سانتی‌متر}$ است، آنگاه در محاسبه نیرو با استفاده از این اعداد، چه مقدار خطا می‌تواند حاصل شود؟ از آنجا که ما تنها علاقه‌مند به یک برآورد هستیم، از جمله خطا در عبارت $df$ صرف‌نظر می‌کنیم و به دست می‌آوریم

اندازه قدر مطلق این عبارت زمانی بیشترین مقدار را دارد که $d{m}_1=+.01=d{m}_2,dr=-.001$ باشد. در این صورت داریم

بنابراین برآورد ما از بیشینه خطا در نیرو برابر با $\pm 2.2$ داین است.

ب. ماکزیمم‌ها و مینیمم‌ها

می‌توانیم یک آزمون ساده برای ماکزیمم‌ها و مینیمم‌های نسبی توابع چندمتغیره ارائه دهیم. ما بر حسب توابع دومتغیره سخن خواهیم گفت، اما تعمیم آن به توابع با متغیرهای بیشتر روشن خواهد بود. نقطه $(x_0,y_0)$ یک ماکزیمم نسبی از $f(x,y)$ نامیده می‌شود هرگاه همسایگی‌ای از $(x_0,y_0)$ وجود داشته باشد به طوری که برای تمام نقاط $(x,y)$ در این همسایگی،

یک مینیمم نسبی نیز به طور مشابه تعریف می‌شود. فرض کنید $f_x$ و $f_y$ در ماکزیمم نسبی $(x_0,y_0)$ وجود داشته باشند. آنگاه تابع $g(x)=f(x,y_0)$ دارای یک ماکزیمم نسبی در $x_0$ است، بنابراین . به همین ترتیب، $h(y)=f(x_0,y)$ دارای یک ماکزیمم نسبی در $y_0$ است، بنابراین . بنابراین نتیجه می‌گیریم:

عکس این قضیه بیش از حالت توابع یک‌متغیره برقرار نیست. آزمون‌های مشتق مرتبه بالاتر مانند قبل وجود دارند، اما ما در اینجا به آن‌ها نمی‌پردازیم.

ج. صفحات مماس و خطوط قائم بر سطوح

سپس مجموعه نقاط $(x,y,z)$ را در نظر بگیرید به طوری که $f(x,y,z)=c$ باشد، که در آن $c$ یک مقدار ثابت است و $f(x,y,z)$ دارای مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته است. چنین مجموعه‌ای از نقاط را یک سطح تراز برای تابع $f(x,y,z)$ می‌نامند. این مفهوم کاملاً مشابه منحنی‌های تراز برای توابع دومتغیره $f(x,y)$ است که در رسم نقشه‌های کانتور استفاده کردیم. یک حالت خاص از یک سطح تراز، «نمودار» یک تابع دومتغیره $g(x,y)$ است. نقاطی که در این حالت رسم می‌کنیم نقاط $(x,y,g(x,y))$ هستند، و این‌ها دقیقاً همان سطح تراز $f(x,y,z)=0$ هستند که در آن

مثالی که از این نوع نیست، کره به شعاع $5$ حول مبدأ است که سطح تراز زیر می‌باشد

می‌خواهیم خط قائم و صفحه مماس بر چنین سطحی را در یک نقطه $(x_0,y_0,z_0)$ از سطح پیدا کنیم. اگر بتوانیم برداری بیابیم که به نوعی بر سطح در $(x_0,y_0,z_0)$ عمود باشد، کار تمام است. زیرا این برداری مانند $A$ خواهد بود که موازی با خط قائم و عمود بر صفحه مماس است. آنچه نشان خواهیم داد این است که grad f، که در $(x_0,y_0,z_0)$ محاسبه شده باشد، چنین بردار $A$ است.

اما عمود بودن یک بردار بر سطح در $(x_0,y_0,z_0)$ به چه معناست؟ اگر می‌دانستیم خطوطی روی سطح وجود دارند که از $(x_0,y_0,z_0)$ می‌گذرند، ممکن بود بگوییم این بردار باید بر تمام چنین خطوطی عمود باشد. اما برای مثال روی کره هیچ خط راستی وجود ندارد؛ بنابراین در مرحله بعد تلاش می‌کنیم برداری بیابیم که در $(x_0,y_0,z_0)$ بر تمام منحنی‌های روی سطح که از $(x_0,y_0,z_0)$ عبور می‌کنند عمود باشد. بنابراین فرض کنید $X(t)=(x(t),y(t),z(t))$ منحنی‌ای روی سطح باشد، و فرض کنید $(x_0,y_0,z_0)=X(t_0)$. از آنجا که منحنی روی سطح قرار دارد، می‌دانیم که

بنابراین

اما دیده‌ایم که

پس

به طور خاص،

اما برداری موازی با خط مماس بر منحنی $X(t)$ در $t=t_0$ است. از آنجا که $(\text{grad }f)(x_0,y_0,z_0)$ بر عمود است، بر خط مماس بر منحنی در $t_0$ عمود است، و این برای هر منحنی روی سطح که از $(x_0,y_0,z_0)$ عبور کند صادق است. بنابراین $(\text{grad }f)(x_0,y_0,z_0)$ همان بردار مطلوب $A$ است. این امر یک تفسیر هندسی برای جهت grad f فراهم می‌کند: grad f، که در $(x_0,y_0,z_0)$ ارزیابی شده است، در نقطه $(x_0,y_0,z_0)$ بر سطح تراز $f(x,y,z)=f(x_0,y_0,z_0)$ عمود است. در بند بعدی تفسیری از طول آن ارائه خواهیم داد.

د. مشتق سویی

فرض کنید $f(x,y,z)$ تابعی از سه متغیر باشد (اگرچه $n$ متغیر نیز به همین ترتیب عمل می‌کند). فرض کنید $A=(a_1,a_2,a_3)$ یک بردار غیرصفر مفروض، و $X_0=(x_0,y_0,z_0)$ یک نقطه مفروض باشد. هنگامی که $f_x,f_y,f_z$ را در $X_0$ پیدا می‌کنیم، در حال یافتن آهنگ‌های تغییر $f$ نسبت به مسافت طی‌شده از نقطه $X_0$ در یکی از سه جهت موازی با محورهای متناظر هستیم. اکنون در عوض فرض کنید بردار $A$ را با نقطه شروع $X_0$ قرار دهیم و در امتداد $A$ حرکت کنیم، یا به عبارت دیگر، از $X_0$ در همان جهت $A$ حرکت کنیم، و بخواهیم آهنگ تغییر $f$ را نسبت به مسافت طی‌شده اندازه بگیریم. اگر از $X_0$ به $X_0+dX$ برویم، «آهنگ متوسط» برابر خواهد بود با

حال بردار $dX=(X_0+dX)-X_0$ باید هم‌جهت با $A$ باشد، بنابراین به ازای یک داریم $dX=hA$. بنابراین $|dX|=h|A|$. علاوه بر این،

که در آن

«آهنگ لحظه‌ای»، که آن را مشتق سویی $f(x,y,z)$ در $X_0$ در جهت $A$ می‌نامیم، حد آهنگ متوسط خواهد بود وقتی $|dX|\to 0$، یا از آنجا که $|dX|\to 0$ همان $h\to 0$ است،

اما دیده‌ایم که جمله دوم به صفر میل می‌کند، و جمله اول به سادگی برابر است با

این نتیجه فرمولی ساده برای یافتن مشتق سویی در اختیار ما قرار می‌دهد.

اکنون توجه کنید که اگر $\theta$ زاویه بین $A$ و grad f باشد، آنگاه $(\text{grad }f)\cdot A=|\text{grad }f||A|\cos \theta$، یا مشتق سویی به سادگی همان $|\text{grad }f|\cos \theta$ است. این مقدار مسلماً زمانی بیشترین است که $\cos \theta =1$ باشد، یعنی زمانی که $A$ هم‌جهت با grad f باشد، و در آن حالت دقیقاً برابر با $|\text{grad }f|$ است. بدین ترتیب تفسیر خود را برای $|\text{grad }f|$ به دست می‌آوریم: این مقدار بیشینه مقدار برای مشتق سویی $f$ در هر جهتی است. همچنین توجه داشته باشید که کمینه مقدار مشتق سویی $f$ زمانی رخ می‌دهد که جهت مخالف جهت grad f باشد، و این مقدار کمینه برابر با $-|\text{grad }f|$ است.

تمرین‌ها