梯度的应用

A. 误差

首先，我们介绍如何使用全微分来估计由已知误差的量计算出的某个量的误差。例如，质量 $m_1,m_2$ 在距离 $r$ 时的万有引力由下式给出

我们可能会问：如果我们测得 $m_1$ 和 $m_2$ 各为 $1000\text{ grams}\pm .01\text{ g.}$，且 $r=10\text{ cm.}\pm .001\text{ cm.}$，那么用这些数值计算力时会产生多大的误差？由于我们只关心一个估计值，我们忽略 $df$ 表达式中的误差项，得到

当 $d{m}_1=+.01=d{m}_2,dr=-.001$ 时，其绝对值最大。于是我们有

因此我们对力的最大误差的估计为 $\pm 2.2$ 达因。

B. 极大值与极小值

我们可以对多元函数的相对极大值和极小值做一个简单的检验。我们将以二元函数的形式来讨论，但推广到更多变量的函数是显而易见的。点 $(x_0,y_0)$ 称为 $f(x,y)$ 的相对极大值点，如果存在 $(x_0,y_0)$ 的一个邻域，使得对于该邻域内的所有点 $(x,y)$，

相对极小值可类似定义。假设 $f_x$ 和 $f_y$ 在相对极大值点 $(x_0,y_0)$ 处存在。那么函数 $g(x)=f(x,y_0)$ 在 $x_0$ 处有相对极大值，所以 。同样地，$h(y)=f(x_0,y)$ 在 $y_0$ 处有相对极大值，所以 。因此我们得出结论：

其逆命题并不比一元函数的情形更成立。和以前一样，也有高阶导数检验法，但我们不在此讨论。

C. 曲面的切平面与法线

接下来考虑满足 $f(x,y,z)=c$ 的点集 $(x,y,z)$，其中 $c$ 是某个常数，且 $f(x,y,z)$ 具有连续的一阶偏导数。这样的点集称为函数 $f(x,y,z)$ 的一个等值面。它完全类似于我们绘制等高线图时使用的二元函数 $f(x,y)$ 的等值线。等值面的一个特例是二元函数 $g(x,y)$ 的“图像”。在这种情况下我们绘制的点是 $(x,y,g(x,y))$，而这些点恰好是等值面 $f(x,y,z)=0$ 上的点，其中

一个不属于这种类型的例子是以原点为中心、半径为 $5$ 的球面，它是等值面

我们希望求出这样一个曲面在曲面上一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的法线和切平面。如果我们能在某种意义下找到一个在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处垂直于曲面的向量，那么问题就解决了。因为这个向量 $A$ 将平行于法线且垂直于切平面。我们要证明的是，在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处取值的 grad f 正是这样的向量 $A$。

但是，一个向量在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处垂直于曲面是什么意思呢？如果我们知道曲面上存在经过 $(x_0,y_0,z_0)$ 的直线，我们可以说该向量应当垂直于所有这样的直线。但例如球面上并没有直线；所以接下来我们尝试找到一个在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处垂直于曲面上所有经过 $(x_0,y_0,z_0)$ 的曲线的向量。因此，设 $X(t)=(x(t),y(t),z(t))$ 是曲面上的一条曲线，并设 $(x_0,y_0,z_0)=X(t_0)$。由于曲线位于曲面上，我们知道

因此

但我们已经看到

所以

特别地，

但 是与曲线 $X(t)$ 在 $t=t_0$ 处的切线平行的向量。由于 $(\text{grad }f)(x_0,y_0,z_0)$ 垂直于 ，它垂直于曲线在 $t_0$ 处的切线，并且这对曲面上经过 $(x_0,y_0,z_0)$ 的任何曲线都成立。因此 $(\text{grad }f)(x_0,y_0,z_0)$ 就是所求的向量 $A$。这为 grad f 的方向给出了一个几何解释：grad f 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处取值时，垂直于等值面 $f(x,y,z)=f(x_0,y_0,z_0)$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处。我们将在下一段中给出其长度的解释。

D. 方向导数

设 $f(x,y,z)$ 是一个三元函数（尽管 $n$ 元函数也同样适用）。设 $A=(a_1,a_2,a_3)$ 是一个给定的非零向量，并设 $X_0=(x_0,y_0,z_0)$ 是一个给定的点。当我们在 $X_0$ 处求 $f_x,f_y,f_z$ 时，我们求的是 $f$ 关于从点 $X_0$ 出发沿三个坐标轴方向之一所经过距离的变化率。现在假设改为将向量 $A$ 以点 $X_0$ 为起点放置并沿 $A$ 行进，换句话说，我们从 $X_0$ 沿 $A$ 的方向行进，并且我们希望度量 $f$ 关于所行进距离的变化率。如果我们从 $X_0$ 走到 $X_0+dX$，那么“平均变化率”为

现在向量 $dX=(X_0+dX)-X_0$ 应与 $A$ 具有相同的方向，所以 $dX=hA$，其中某个 。因此 $|dX|=h|A|$。此外，

其中

“瞬时变化率”，我们称之为 $f(x,y,z)$ 在 $X_0$ 处沿 $A$ 方向的方向导数，将是平均变化率当 $|dX|\to 0$ 时的极限，或者由于 $|dX|\to 0$ 与 $h\to 0$ 含义相同，即为

但我们已经看到第二项趋于零，而第一项就是

这个结果为我们提供了一个求方向导数的简单公式。

现在注意到，如果 $\theta$ 是 $A$ 与 grad f 之间的夹角，那么 $(\text{grad }f)\cdot A=|\text{grad }f||A|\cos \theta$，即方向导数就是 $|\text{grad }f|\cos \theta$。这当然在 $\cos \theta =1$ 时最大，即当 $A$ 与 grad f 方向相同时，此时它就是 $|\text{grad }f|$。因此我们得到了对 $|\text{grad }f|$ 的解释：它是 $f$ 在任意方向上的方向导数的最大值。还要注意，$f$ 的方向导数的最小值出现在方向与 grad f 相反时，且该最小值为 $-|\text{grad }f|$。

习题