Aplicaciones del gradiente

A. Errores

Ante todo, mencionamos el uso de la diferencial total para estimar el error en una cantidad calculada a partir de cantidades en las que el error es conocido. Por ejemplo, la atracción gravitacional entre masas $m_1,m_2$ a distancia $r$ está dada por

$$\frac{m_1{m}_2}{r^2}=f(m_1,m_2,r)\cdot$$

Podríamos preguntarnos: Si hemos encontrado que $m_1$ y $m_2$ son cada una $1000\text{ gramos}\pm .01\text{ g.}$ y $r=10\text{ cm.}\pm .001\text{ cm.}$, ¿qué tan grande puede ser el error al calcular la fuerza usando estos números? Como solo estamos interesados en una estimación, despreciamos el término de error en la expresión para $df$ y encontramos

\begin{aligned} df &= \frac{m_2}{r^2} dm_1 + \frac{m_1}{r^2} dm_2 - \frac{2m_1 m_2}{r^3} dr \\ &= \frac{10^3}{10^2} dm_1 + \frac{10^3}{10^2} dm_2 - \frac{2 \cdot 10^6}{10^3} dr \cdot \end{aligned}

El valor absoluto de esto es máximo cuando $d{m}_1=+.01=d{m}_2,dr=-.001$. Entonces tenemos

$$df=10\cdot (.01)+10\cdot (.01)+2\cdot {10}^3\cdot (.001)=2.2\cdot$$

Así, nuestra estimación del error máximo en la fuerza es $\pm 2.2$ dinas.

B. Máximos y Mínimos

Podemos hacer una prueba sencilla para máximos y mínimos relativos de funciones de varias variables. Hablaremos en términos de funciones de dos variables, pero la extensión a funciones de más variables será clara. Un punto $(x_0,y_0)$ se llama máximo relativo de $f(x,y)$ si existe una vecindad de $(x_0,y_0)$ tal que para todos los puntos $(x,y)$ de esta vecindad,

$$f(x,y)\le f(x_0,y_0)\cdot$$

Un mínimo relativo se define de manera similar. Supongamos que $f_x$ y $f_y$ existen en el máximo relativo $(x_0,y_0)$. Entonces la función $g(x)=f(x,y_0)$ tiene un máximo relativo en $x_0$, así que g'(x_0) = f_x(x_0, y_0) = 0. Asimismo, $h(y)=f(x_0,y)$ tiene un máximo relativo en $y_0$, así que h'(y_0) = f_y(x_0, y_0) = 0. Por lo tanto concluimos:

La recíproca no es más cierta que en el caso de funciones de una variable. Existen pruebas con derivadas superiores como antes, pero no las discutiremos aquí.

C. Planos Tangentes y Rectas Normales a Superficies

A continuación consideramos el conjunto de puntos $(x,y,z)$ tales que $f(x,y,z)=c$, donde $c$ es alguna constante y $f(x,y,z)$ tiene derivadas primeras continuas. Tal conjunto de puntos se llama superficie de nivel para la función $f(x,y,z)$. Es completamente análogo a las curvas de nivel para las funciones $f(x,y)$ de dos variables que usamos al dibujar nuestros mapas de contorno. Un caso particular de una superficie de nivel es la "gráfica" de una función $g(x,y)$ de dos variables. Los puntos que trazamos en este caso son los puntos $(x,y,g(x,y))$, y estos son exactamente la superficie de nivel $f(x,y,z)=0$ donde

$$f(x,y,z)=z-g(x,y)\cdot$$

Un ejemplo que no es de este tipo es la esfera de radio $5$ centrada en el origen, que es la superficie de nivel

$$x^2+y^2+z^2=25\cdot$$

Deseamos encontrar la recta normal y el plano tangente a tal superficie en un punto $(x_0,y_0,z_0)$ de la superficie. Si podemos encontrar un vector perpendicular, en algún sentido, a la superficie en $(x_0,y_0,z_0)$, entonces habremos terminado. Pues este será un vector $A$ paralelo a la recta normal y perpendicular al plano tangente. Lo que mostraremos es que grad f, evaluado en $(x_0,y_0,z_0)$, es tal vector $A$.

Pero ¿qué debe significar que un vector sea perpendicular a la superficie en $(x_0,y_0,z_0)$? Si supiéramos que hay rectas sobre la superficie que pasan por $(x_0,y_0,z_0)$, podríamos decir que el vector debe ser perpendicular a todas tales rectas. Pero no hay rectas sobre la esfera, por ejemplo; así que a continuación tratamos de encontrar un vector perpendicular en $(x_0,y_0,z_0)$ a todas las curvas sobre la superficie que pasan por $(x_0,y_0,z_0)$. Por lo tanto, sea $X(t)=(x(t),y(t),z(t))$ una curva sobre la superficie, y sea $(x_0,y_0,z_0)=X(t_0)$. Como la curva está sobre la superficie, sabemos que

$$f(x(t),y(t),z(t))=c\text{para todo }t\cdot$$

Por lo tanto

$$\frac{d}{dt}(f(x(t),y(t),z(t)))=\frac{dc}{dt}=0\cdot$$

Pero hemos visto que

\frac{d}{dt} (f(x(t), y(t), z(t))) = (\text{grad } f) \cdot X'(t),

así que

(\text{grad } f) \cdot X'(t) = 0 \cdot

En particular,

((\text{grad } f)(x_0, y_0, z_0)) \cdot X'(t_0) = 0 \cdot

Pero X'(t_0) es un vector paralelo a la tangente a la curva $X(t)$ en $t=t_0$. Como $(\text{grad }f)(x_0,y_0,z_0)$ es perpendicular a X'(t_0), es perpendicular a la tangente a la curva en $t_0$, y esto es cierto para cualquier curva sobre la superficie que pase por $(x_0,y_0,z_0)$. Así, $(\text{grad }f)(x_0,y_0,z_0)$ es el vector $A$ deseado. Esto da una interpretación geométrica a la dirección de grad f: grad f, evaluado en $(x_0,y_0,z_0)$, es perpendicular a la superficie de nivel $f(x,y,z)=f(x_0,y_0,z_0)$ en el punto $(x_0,y_0,z_0)$. Daremos una interpretación de su longitud en el siguiente párrafo.

D. Derivada direccional

Sea $f(x,y,z)$ una función de tres variables (aunque $n$ variables serviría igualmente). Sea $A=(a_1,a_2,a_3)$ un vector dado no nulo, y sea $X_0=(x_0,y_0,z_0)$ un punto dado. Cuando encontramos $f_x,f_y,f_z$ en $X_0$, estamos encontrando las tasas de cambio de $f$ con respecto a la distancia recorrida desde el punto $X_0$ en una de las tres direcciones paralelas a los ejes respectivos. Ahora supongamos en cambio que ubicamos el vector $A$ con el punto $X_0$ como punto inicial y viajamos a lo largo de $A$, o en otras palabras, viajamos desde $X_0$ en la misma dirección que $A$, y deseamos medir la tasa de cambio de $f$ con respecto a la distancia recorrida. Si vamos de $X_0$ a $X_0+dX$, la "tasa promedio" será

$$\frac{f(x_0+dx,y_0+dy,z_0+dz)-f(x_0,y_0,z_0)}{|dX|}\cdot$$

Ahora el vector $dX=(X_0+dX)-X_0$ debe tener la misma dirección que $A$, así que $dX=hA$ para algún . Por lo tanto $|dX|=h|A|$. Además,

$$f(x_0+dx,y_0+dy,z_0+dz)-f(x_0,y_0,z_0)=(\text{grad }f)\cdot dX+\text{error},$$

donde

$$\frac{\text{error}}{|dX|}\to 0\text{cuando }|dX|\to 0\cdot$$

La "tasa instantánea", que llamamos la derivada direccional de $f(x,y,z)$ en $X_0$ en la dirección de $A$, será el límite cuando $|dX|\to 0$ de la tasa promedio, o dado que $|dX|\to 0$ significa lo mismo que $h\to 0$,

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{(\text{grad }f)\cdot hA}{h|A|}+\frac{\text{error}}{h|A|}\cdot$$

Pero hemos visto que el segundo término tiende a cero, y el primero es simplemente

$$\frac{(\text{grad }f)\cdot A}{|A|}\cdot$$

Este resultado nos da una fórmula sencilla para encontrar la derivada direccional.

Ahora observemos que si $\theta$ es el ángulo entre $A$ y grad f, entonces $(\text{grad }f)\cdot A=|\text{grad }f||A|\cos \theta$, o la derivada direccional es simplemente $|\text{grad }f|\cos \theta$. Esto es por supuesto máximo cuando $\cos \theta =1$, es decir, cuando $A$ tiene la misma dirección que grad f, y en ese caso es simplemente $|\text{grad }f|$. Así tenemos nuestra interpretación de $|\text{grad }f|$: Es el valor máximo para la derivada direccional de $f$ en cualquier dirección. Nótese también que el valor mínimo para la derivada direccional de $f$ ocurre cuando la dirección es opuesta a la de grad f, y que este valor mínimo es $-|\text{grad }f|$.

EJERCICIOS