Funções Contínuas

Definição 1.

Seja $f (x)$ definida em um intervalo contendo $x_{0}$ , e suponha agora que $f (x_{0})$ está definida. Então dizemos que $f (x)$ é contínua em $x_{0}$ se

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}),

ou, em outras palavras, se para todo $ϵ > 0$ podemos encontrar um $δ > 0$ tal que, sempre que $| x - x_{0} | < δ$ , então $| f (x) - f (x_{0}) | < ϵ \cdot$

Esta é a maneira precisa de dizer que " $f (x)$ está próximo de $f (x_{0})$ quando $x$ está próximo de $x_{0}$ ", ou que "uma pequena mudança em $x$ produz apenas uma pequena mudança em $f (x)$ ." Note, porém, que não é a mudança em $x$ com que começamos, mas sim o número $ϵ$ , que deve ser um limite para a mudança em $f (x)$ . Então encontramos um intervalo em torno de $x_{0}$ , de comprimento $2 δ$ , tal que, se $x$ está neste intervalo, isto é, se $x$ não está a mais de $δ$ de distância de $x_{0}$ , então $f (x)$ não está a mais de distância de $f (x_{0})$ do que o limite dado $ϵ$ . É somente por este tipo de definição que podemos ter certeza de atender ao desafio de um homem que diz: "Eu não considero $f (x)$ próximo de $f (x_{0})$ até que esteja dentro de $10^{- 4}$ ", um segundo que diz "Próximo, para mim, significa dentro de $10^{- 8}$ ", e assim por diante. Assim, para mostrar que uma dada função $f (x)$ é contínua em $x_{0}$ , devemos começar com um símbolo $ϵ$ , representando um número positivo geral, e então mostrar que podemos encontrar um número positivo $δ$ , que geralmente dependerá de $ϵ$ , tal que a desigualdade $| x - x_{0} | < δ$ nos dê alguma informação sobre a expressão $| f (x) - f (x_{0}) |$ , a saber, que ela é menor que $ϵ$ . Para provar que $f (x)$ não é contínua em $x_{0}$ , bastaria demonstrar apenas um $ϵ$ para o qual não pudéssemos encontrar um $δ$ adequado. (É claro que, então, não poderíamos encontrar um $δ$ adequado para nenhum $ϵ$ menor.)

Ilustremos discutindo alguns exemplos:

Exemplo 1.

$f (x) = x^{2}, x_{0} = 1$ . Se você reverificar nossa demonstração de que uma função diferenciável é contínua, verá que ela é completamente rigorosa em termos das definições e dos teoremas sobre limites que agora apresentamos. No entanto, provemos que $x^{2}$ é contínua em $1$ usando apenas a definição de continuidade.

Seja dado $ϵ > 0$ . Então devemos estudar $| f (x) - f (x_{0}) | = | x^{2} - 1 |$ . Escrevamos $h = x - 1, x = 1 + h$ . Então

| f (x) - f (x_{0}) | = | 1 + 2 h + h^{2} - 1 | = | 2 h + h^{2} | = | h | | 2 + h | \cdot

Agora tomemos $δ = Min (1, \frac{ϵ}{3})$ . Então, se $| h | < δ$ ,

| 2 + h | \leq 2 + | h | < 3, e | h | | 2 + h | < 3 | h | < ϵ \cdot

Como $h = x - 1 = x - x_{0}$ , vemos que sempre que $| x - x_{0} | < δ$ , temos $| f (x) - f (x_{0}) | < ϵ$ , e, portanto, que $f (x)$ é contínua em $x_{0} \cdot$

Exemplo 2.

Nosso segundo exemplo parecerá um pouco mais bizarro. Seja $f (x)$ definida para $0 \leq x \leq 1$ como segue:
Se $x$ é irracional, $f (x) = 0$ .
Se $x = \frac{p}{q}$ em forma irredutível ( $q > 0$ , $p \geq 0$ , $p$ e $q$ inteiros), então

f (x) = \frac{1}{q} \cdot

Por exemplo,
$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$ , $f (\frac{π}{4}) = 0$ , $f (\frac{6}{7}) = \frac{1}{7}$ , $f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ , $f (\frac{2}{3}) = \frac{1}{3};$

f (0) = 1 (0 = \frac{0}{1} em forma irredutível), f (1) = 1 \cdot

Em primeiro lugar, $f (x)$ não é contínua em $x_{0}$ se $x_{0}$ é um número racional; pois, se $x_{0} = \frac{p}{q}$ em forma irredutível, $f (x_{0}) = \frac{1}{q} > 0$ . Em todo intervalo em torno de $x_{0}$ temos números irracionais $x$ , onde $f (x) = 0$ . Portanto, se tentássemos $ϵ = \frac{1}{2 q}$ , não poderíamos encontrar um $δ$ adequado. Agora mostramos que $f (x)$ é contínua em $x_{0}$ se $x_{0}$ é qualquer número irracional; então $f (x_{0}) = 0$ . Seja dado $ϵ > 0$ , e encontre um inteiro $n > 0$ tal que $\frac{1}{n} < ϵ \cdot$ Agora, há no intervalo $0 \leq x \leq 1$ apenas um número finito de números racionais que, em forma irredutível, têm denominadores menores que $n$ ; há dois com denominador $1$ , um com denominador $2$ , dois com denominador $3$ , dois com denominador $4$ , quatro com denominador $5, \dots \cdot$ Em geral, exceto para o denominador $1$ , há no máximo $(k - 1)$ com denominador $k$ (e isso só é alcançado se $k$ é primo). Portanto, aqueles com denominador menor que $n$ são no máximo

2 + 1 + 2 + \dots + (n - 2) = 2 + \frac{(n - 1) (n - 2)}{2}

em número. Algum destes, digamos $r$ , é portanto o mais próximo de $x_{0}$ . Seja $δ = | r - x_{0} | \cdot δ > 0$ , pois $x_{0}$ é irracional. Agora seja $| x - x_{0} | < δ$ . Se $x$ é irracional, então $| f (x) - f (x_{0}) | = | 0 - 0 | = 0 < ϵ$ . Se $x = \frac{p}{q}$ é racional, sabemos que $q \geq n$ , ou $f (x) = \frac{1}{q} \leq \frac{1}{n} < ϵ$ . Assim, $| f (x) - f (x_{0}) | = \frac{1}{q} < ϵ$ , e provamos que $f (x)$ é contínua em $x_{0}$ .

EXERCÍCIOS

Exercício 1.

Prove que $| x |$ é contínua em $x = 0$ .

Exercício 2.

Prove que $x^{2 / 3}$ é contínua em $x = 0$ .

Exercício 3.

Prove que

f(x) = \begin{cases} x \sin \dfrac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}

é contínua em $x = 0$ .

Exercício 4.

Prove que $[x]$ é contínua em $x_{0}$ se $x_{0}$ não é um inteiro, e que não é contínua em $x_{0}$ se $x_{0}$ é um inteiro.

Exercício 5.

Prove o seguinte, supondo que $f (x)$ e $g (x)$ são contínuas em $x_{0}$ :
a) $f (x) + g (x)$ é contínua em $x_{0}$ .
b) $c f (x)$ é contínua em $x_{0}$ , onde $c$ é uma constante.
c) $f (x) g (x)$ é contínua em $x_{0}$ .
d) Se $f (x_{0}) \neq 0, \frac{1}{f (x)}$ é contínua em $x_{0}$ .

Exercício 6.

Escreva em linguagem formal a demonstração de que, se f'(x_0) existe, então $f (x)$ é contínua em $x_{0}$ .

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