连续函数

定义 1.

设 $f (x)$ 定义在包含 $x_{0}$ 的区间上，并假设 $f (x_{0})$ 有定义。那么我们说，如果

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}),

换句话说，如果对每个 $ϵ > 0$ ，我们都能找到一个 $δ > 0$ ，使得每当 $| x - x_{0} | < δ$ 时，就有 $| f (x) - f (x_{0}) | < ϵ$ ，则称 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续。

这是对“当 $x$ 接近 $x_{0}$ 时， $f (x)$ 接近 $f (x_{0})$ ”，或者说“ $x$ 的微小变化只会引起 $f (x)$ 的微小变化”这一说法的精确表述。然而，请注意，我们并不是从 $x$ 的变化出发，而是从数 $ϵ$ 出发，它要成为 $f (x)$ 变化量的一个界。然后我们寻找一个以 $x_{0}$ 为中心、长度为 $2 δ$ 的区间，使得如果 $x$ 在这个区间内，即 $x$ 与 $x_{0}$ 的距离不超过 $δ$ ，那么 $f (x)$ 与 $f (x_{0})$ 的距离也不超过给定的界 $ϵ$ 。只有通过这种类型的定义，我们才能确保应对如下挑战：某个人说“除非 $f (x)$ 在 $10^{- 4}$ 的范围内，否则我不认为它接近 $f (x_{0})$ ”，另一个人说“对我来说，接近意味着在 $10^{- 8}$ 的范围内”，等等。因此，为了证明给定的函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，我们必须从一个符号 $ϵ$ 出发，它代表任意的正数，然后证明我们能找到一个正数 $δ$ （它通常依赖于 $ϵ$ ），使得不等式 $| x - x_{0} | < δ$ 给出关于表达式 $| f (x) - f (x_{0}) |$ 的某些信息，即它小于 $ϵ$ 。要证明 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处不连续，只需演示一个我们无法找到合适 $δ$ 的 $ϵ$ 即可。（当然，那时对于任何更小的 $ϵ$ ，我们也无法找到合适的 $δ$ 。）

让我们通过讨论一些例子来说明：

例 1.

$f (x) = x^{2}, x_{0} = 1$ 。如果你重新检查我们关于可微函数连续的证明，你会发现，就我们目前已给出的定义和极限定理而言，它完全是严格的。不过，让我们仅用连续性的定义来证明 $x^{2}$ 在 $1$ 处连续。

设给定 $ϵ > 0$ 。那么我们必须研究 $| f (x) - f (x_{0}) | = | x^{2} - 1 |$ 。令 $h = x - 1, x = 1 + h$ 。则

| f (x) - f (x_{0}) | = | 1 + 2 h + h^{2} - 1 | = | 2 h + h^{2} | = | h | | 2 + h | \cdot

现在取 $δ = Min (1, \frac{ϵ}{3})$ 。那么如果 $| h | < δ$ ，

| 2 + h | \leq 2 + | h | < 3, 且 | h | | 2 + h | < 3 | h | < ϵ \cdot

由于 $h = x - 1 = x - x_{0}$ ，我们看到每当 $| x - x_{0} | < δ$ 时，就有 $| f (x) - f (x_{0}) | < ϵ$ ，从而 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续。

例 2.

我们的第二个例子看起来会更加奇特。设 $f (x)$ 在 $0 \leq x \leq 1$ 上定义如下：
如果 $x$ 是无理数，则 $f (x) = 0$ 。
如果 $x = \frac{p}{q}$ 是最简形式（ $q > 0$ ， $p \geq 0$ ， $p$ 和 $q$ 为整数），则

f (x) = \frac{1}{q} \cdot

例如，
$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$ ， $f (\frac{π}{4}) = 0$ ， $f (\frac{6}{7}) = \frac{1}{7}$ ， $f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ ， $f (\frac{2}{3}) = \frac{1}{3};$

f (0) = 1 (0 = \frac{0}{1} 为最简形式), f (1) = 1 \cdot

首先，如果 $x_{0}$ 是有理数，则 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处不连续；因为如果 $x_{0} = \frac{p}{q}$ 是最简形式，则 $f (x_{0}) = \frac{1}{q} > 0$ 。而在 $x_{0}$ 的每个区间内都存在无理数 $x$ ，此时 $f (x) = 0$ 。因此，如果我们尝试 $ϵ = \frac{1}{2 q}$ ，我们就无法找到合适的 $δ$ 。现在我们证明 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 为任意无理数时于 $x_{0}$ 处连续；此时 $f (x_{0}) = 0$ 。设给定 $ϵ > 0$ ，并找一个整数 $n > 0$ 使得 $\frac{1}{n} < ϵ$ 。现在，在区间 $0 \leq x \leq 1$ 中，最简形式的分母小于 $n$ 的有理数只有有限多个；分母为 $1$ 的有两个，分母为 $2$ 的有一个，分母为 $3$ 的有两个，分母为 $4$ 的有两个，分母为 $5$ 的有四个，……一般地，除分母 $1$ 外，分母为 $k$ 的至多有 $(k - 1)$ 个（而且只有当 $k$ 为素数时才达到此数）。因此，分母小于 $n$ 的有理数至多有

2 + 1 + 2 + \dots + (n - 2) = 2 + \frac{(n - 1) (n - 2)}{2}

个。其中某一个，设为 $r$ ，因此是最接近 $x_{0}$ 的。令 $δ = | r - x_{0} |$ ，则 $δ > 0$ ，因为 $x_{0}$ 是无理数。现在设 $| x - x_{0} | < δ$ 。如果 $x$ 是无理数，则 $| f (x) - f (x_{0}) | = | 0 - 0 | = 0 < ϵ$ 。如果 $x = \frac{p}{q}$ 是有理数，我们知道 $q \geq n$ ，或者 $f (x) = \frac{1}{q} \leq \frac{1}{n} < ϵ$ 。于是 $| f (x) - f (x_{0}) | = \frac{1}{q} < ϵ$ ，我们就证明了 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续。

习题

练习 1.

证明 $| x |$ 在 $x = 0$ 处连续。

练习 2.

证明 $x^{2 / 3}$ 在 $x = 0$ 处连续。

练习 3.

证明

在 $x = 0$ 处连续。

练习 4.

证明：如果 $x_{0}$ 不是整数，则 $[x]$ 在 $x_{0}$ 处连续；而如果 $x_{0}$ 是整数，则它在 $x_{0}$ 处不连续。

练习 5.

假设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，证明：
a) $f (x) + g (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续。
b) $c f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，其中 $c$ 是常数。
c) $f (x) g (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续。
d) 如果 $f (x_{0}) \neq 0$ ，则 $\frac{1}{f (x)}$ 在 $x_{0}$ 处连续。

练习 6.

用形式化语言写出以下证明：如果存在，则 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续。