Funciones continuas

Definición 1.

Sea $f (x)$ definida en un intervalo que contiene a $x_{0}$ , y supongamos ahora que $f (x_{0})$ está definida. Entonces decimos que $f (x)$ es continua en $x_{0}$ si

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}),

o en otras palabras, si para cada $ϵ > 0$ podemos encontrar un $δ > 0$ tal que siempre que $| x - x_{0} | < δ$ , entonces $| f (x) - f (x_{0}) | < ϵ \cdot$

Esta es la forma precisa de decir " $f (x)$ está cerca de $f (x_{0})$ cuando $x$ está cerca de $x_{0}$ ", o que "un pequeño cambio en $x$ produce solo un pequeño cambio en $f (x)$ ". Nótese, sin embargo, que no es el cambio en $x$ con el que comenzamos, sino más bien el número $ϵ$ , que ha de ser una cota para el cambio en $f (x)$ . Entonces encontramos un intervalo alrededor de $x_{0}$ , de longitud $2 δ$ , tal que si $x$ está en este intervalo, es decir, si $x$ no está a más de $δ$ de distancia de $x_{0}$ , entonces $f (x)$ no está más alejada de $f (x_{0})$ que la cota dada $ϵ$ . Es solo mediante este tipo de definición que podemos estar seguros de responder al desafío de un hombre que dice: "No llamaré a $f (x)$ cerca de $f (x_{0})$ hasta que esté dentro de $10^{- 4}$ ", a un segundo que dice "Cerca significa para mí dentro de $10^{- 8}$ ", y así sucesivamente. Así, para demostrar que una función dada $f (x)$ es continua en $x_{0}$ , debemos comenzar con un símbolo $ϵ$ , que representa un número positivo general, y luego demostrar que podemos encontrar un número positivo $δ$ , que generalmente dependerá de $ϵ$ , tal que la desigualdad $| x - x_{0} | < δ$ nos dé alguna información sobre la expresión $| f (x) - f (x_{0}) |$ , a saber, que es menor que $ϵ$ . Para demostrar que $f (x)$ no es continua en $x_{0}$ , bastaría con demostrar sólo un $ϵ$ para el cual no pudiéramos encontrar un $δ$ adecuado. (Por supuesto, entonces no podríamos encontrar un $δ$ adecuado para ningún $ϵ$ menor.)

Ilustremos esto discutiendo algunos ejemplos:

Ejemplo 1.

$f (x) = x^{2}, x_{0} = 1$ . Si vuelves a revisar nuestra demostración de que una función diferenciable es continua, verás que es completamente rigurosa en términos de las definiciones y los teoremas sobre límites que ya hemos dado. Sin embargo, demostremos que $x^{2}$ es continua en $1$ usando solo la definición de continuidad.

Sea $ϵ > 0$ dado. Entonces debemos estudiar $| f (x) - f (x_{0}) | = | x^{2} - 1 |$ . Escribamos $h = x - 1, x = 1 + h$ . Entonces

| f (x) - f (x_{0}) | = | 1 + 2 h + h^{2} - 1 | = | 2 h + h^{2} | = | h | | 2 + h | \cdot

Ahora tomemos $δ = Min (1, \frac{ϵ}{3})$ . Entonces si $| h | < δ$ ,

| 2 + h | \leq 2 + | h | < 3, y | h | | 2 + h | < 3 | h | < ϵ \cdot

Dado que $h = x - 1 = x - x_{0}$ , vemos que siempre que $| x - x_{0} | < δ$ , tenemos $| f (x) - f (x_{0}) | < ϵ$ , y por lo tanto que $f (x)$ es continua en $x_{0} \cdot$

Ejemplo 2.

Nuestro segundo ejemplo parecerá algo más extraño. Sea $f (x)$ definida para $0 \leq x \leq 1$ de la siguiente manera:
Si $x$ es irracional, $f (x) = 0$ .
Si $x = \frac{p}{q}$ en mínimos términos ( $q > 0$ , $p \geq 0$ , $p$ y $q$ enteros), entonces

f (x) = \frac{1}{q} \cdot

Por ejemplo,
$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$ , $f (\frac{π}{4}) = 0$ , $f (\frac{6}{7}) = \frac{1}{7}$ , $f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ , $f (\frac{2}{3}) = \frac{1}{3};$

f (0) = 1 (0 = \frac{0}{1} en mínimos términos), f (1) = 1 \cdot

En primer lugar, $f (x)$ no es continua en $x_{0}$ si $x_{0}$ es un número racional; pues si $x_{0} = \frac{p}{q}$ en mínimos términos, $f (x_{0}) = \frac{1}{q} > 0$ . En todo intervalo alrededor de $x_{0}$ hay números irracionales $x$ , donde $f (x) = 0$ . Por lo tanto, si intentáramos $ϵ = \frac{1}{2 q}$ , no podríamos encontrar un $δ$ adecuado. Ahora demostramos que $f (x)$ es continua en $x_{0}$ si $x_{0}$ es cualquier número irracional; entonces $f (x_{0}) = 0$ . Sea $ϵ > 0$ dado, y encontremos un entero $n > 0$ tal que $\frac{1}{n} < ϵ \cdot$ Ahora bien, en el intervalo $0 \leq x \leq 1$ hay solo un número finito de números racionales que, en mínimos términos, tienen denominadores menores que $n$ ; hay dos con denominador $1$ , uno con denominador $2$ , dos con denominador $3$ , dos con denominador $4$ , cuatro con denominador $5, \dots \cdot$ En general, excepto para el denominador $1$ , hay a lo sumo $(k - 1)$ con denominador $k$ (y esto solo se alcanza si $k$ es primo). Por lo tanto, aquellos con denominador menor que $n$ son a lo sumo

2 + 1 + 2 + \dots + (n - 2) = 2 + \frac{(n - 1) (n - 2)}{2}

en número. Uno de éstos, digamos $r$ , es por lo tanto el más cercano a $x_{0}$ . Sea $δ = | r - x_{0} | \cdot δ > 0$ , ya que $x_{0}$ es irracional. Ahora sea $| x - x_{0} | < δ$ . Si $x$ es irracional, entonces $| f (x) - f (x_{0}) | = | 0 - 0 | = 0 < ϵ$ . Si $x = \frac{p}{q}$ es racional, sabemos que $q \geq n$ , o $f (x) = \frac{1}{q} \leq \frac{1}{n} < ϵ$ . Así, $| f (x) - f (x_{0}) | = \frac{1}{q} < ϵ$ , y hemos demostrado que $f (x)$ es continua en $x_{0}$ .

EJERCICIOS

Ejercicio 1.

Demuestra que $| x |$ es continua en $x = 0$ .

Ejercicio 2.

Demuestra que $x^{2 / 3}$ es continua en $x = 0$ .

Ejercicio 3.

Demuestra que

f(x) = \begin{cases} x \sin \dfrac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}

es continua en $x = 0$ .

Ejercicio 4.

Demuestra que $[x]$ es continua en $x_{0}$ si $x_{0}$ no es un entero, y que no es continua en $x_{0}$ si $x_{0}$ es un entero.

Ejercicio 5.

Demuestra lo siguiente, suponiendo que $f (x)$ y $g (x)$ son continuas en $x_{0}$ :
a) $f (x) + g (x)$ es continua en $x_{0}$ .
b) $c f (x)$ es continua en $x_{0}$ , donde $c$ es una constante.
c) $f (x) g (x)$ es continua en $x_{0}$ .
d) Si $f (x_{0}) \neq 0, \frac{1}{f (x)}$ es continua en $x_{0}$ .

Ejercicio 6.

Escribe en lenguaje formal la demostración de que si f'(x_0) existe, entonces $f (x)$ es continua en $x_{0}$ .

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