Curvas

7.1 INTRODUÇÃO

7.1.1 Curvas em Álgebra Linear

Muitos objetos geométricos podem receber uma dimensão. Este número nos diz quantos parâmetros precisamos para descrever o objeto. Um ponto tem dimensão $0$, uma reta tem dimensão $1$, um plano tem dimensão $2$. Isso é formalizado na álgebra linear. Dada uma matriz $A$, o número de líderes $1\mathrm{in}\mathrm{rref}(A)$ é a dimensão da imagem de $A$. O número de variáveis livres (colunas sem líder $1$ em $\mathrm{rref}(A)$) é a dimensão do núcleo de $A$. Por exemplo, para $A=[1,2,3]$ que já está na forma escalonada reduzida, temos um líder $1$ e duas variáveis livres $y$ e $z$. A equação $1x+2y+3z=0$ descreve um objeto de dimensão $2$, um plano. Se $y,z$ são dados, podemos encontrar $x$ a partir da equação. A imagem do vetor coluna $v=A^T$ é a reta gerada por este vetor. Esta reta é perpendicular ao plano e ilustra o teorema fundamental da álgebra linear, garantindo que o núcleo de $A$ é perpendicular à imagem de $A^T$, ou equivalentemente, o núcleo de $A^T$ é perpendicular à imagem de $A$.

7.1.2 Dimensionalidade e Curvas

Curvas são objetos de dimensão $1$. Por exemplo, a reta gerada por um vetor $v$ é escrita como o conjunto de pontos $r(t)=tv=[t,2t,3t{]}^T$. Chamamos isso de parametrização da reta. A variável livre $t$ é chamada de tempo. Ela determina onde estamos localizados em um instante fixo $t$. No instante $t=12$, por exemplo, estamos posicionados no ponto $(12,24,36)$ correspondente ao vetor $[12,24,36{]}^T$.¹ O vetor $v$ tem a interpretação de uma velocidade. Ele nos diz quão rápido nos movemos na reta. Claro, substituir $v$ por $3v$ nos daria a mesma reta, mas viajaríamos três vezes mais rápido e alcançaríamos o ponto $(12,24,36)$ três vezes mais rápido.

7.1.3 Explorando Curvas no Espaço

Se a velocidade pode mudar de direção e comprimento, podemos percorrer caminhos mais interessantes. A estrutura é tomar três funções contínuas $x(t),y(t),z(t)$ e olhar para o caminho $(x(t),y(t),z(t))$ no espaço. Escrevemos isso em notação vetorial como $r(t)=[x(t),y(t),z(t){]}^T$. Agora, como nos cansamos de sempre escrever o $T$ indicando que usamos vetores coluna, vamos apenas escrever $r(t)=[x(t),y(t),z(t)]$. Na maioria das vezes, supomos que as funções são diferenciáveis, mas o caso de uma bola de pingue-pongue quicando em uma mesa mostra que curvas não suaves também podem importar, mesmo na vida cotidiana. As curvas podem ser muito complicadas. Pegue uma bola de pingue-pongue e coloque-a em um recipiente elíptico. A trajetória de bilhar que ela traça é caótica. Nesta aula, olhamos para curvas dadas por parametrizações, aprendemos a derivar para obter a velocidade ou a aceleração. Também aprendemos a integrar. Isso nos permite calcular caminhos. Podemos, por exemplo, calcular onde uma bola caindo em um campo gravitacional está no instante $t$.

7.2 AULA

7.2.1 Curvas Parametrizadas e Seus Caminhos

Dadas $n$ funções contínuas $x_j(t)$ de uma variável $t$, podemos olhar para a função de valor vetorial $r(t)={[x_1(t),\dots ,x_n(t)]}^T$. Chamamos isso de curva parametrizada. Um exemplo é $r(t)=[3+2t,4+6t]$ que é uma reta passando pelo ponto $(3,4)$ e contendo o vetor $[2,6]$.² Se $t$ está no intervalo de parâmetro $a\le t\le b$, então a imagem de $r$ é $\{r(t)\mid a\le t\le b\}$, que define uma curva em ${ℝ}^n$. A curva começa no ponto $r(a)$ e termina no ponto $r(b)$. Outro exemplo importante é o círculo $r(t)=[\cos (t),\sin (t)]$, onde $t$ está no intervalo $[0,2\pi ]$. Sua imagem é um círculo no plano ${ℝ}^2$. A parametrização $r(t)$ contém mais informações do que a própria curva: a curva parabólica $r(t)=[t,t^2]$ definida em $t\in [-1,1]$, por exemplo, é a mesma que a curva $r(t)=[t^3,t^6]$ para $\in [-1,1]$, mas na segunda parametrização, a curva é percorrida com velocidade diferente. Curvas em ${ℝ}^3$ podem ser admiradas em nosso espaço físico, como $r(t)=[x(t),y(t),z(t)]=[t\cos (t),t\sin (t),t]$ que é uma espiral. Esta curva particular está contida no cone $x^2+y^2=z^2$.

7.2.2 Velocidade e Aceleração em Curvas

Se as funções $t\to x_j(t)$ são diferenciáveis, podemos formar a derivada r^{\prime}(t)=\left[x_{1}^{\prime}(t), \ldots, x_{n}^{\prime}(t)\right]. Embora tecnicamente isso seja novamente uma curva, pensamos em r^{\prime}(t) como um vetor anexado ao ponto $r(t)$ e dizemos que r^{\prime}(t) é tangente a $r(t)$. O comprimento \left|r^{\prime}(t)\right| da velocidade é chamado de rapidez de $r$. Se também existirem derivadas superiores das funções $x_j(t)$, podemos formar a segunda derivada r^{\prime \prime}(t) chamada de aceleração, ou a terceira derivada r^{\prime \prime \prime}(t)=r^{(3)}(t) chamada de arranque. Depois vêm estalo $r^{(4)}(t)$, crepitação $r^{(5)}(t)$ e estouro $r^{(6)}(t)$ e o Harvard $r^{(7)}(t)$ introduzido no outono de 2016 em um exame multivariável.

7.2.3 O Teorema Fundamental do Cálculo e Curvas

Dada a função derivada primeira r^{\prime}(t) bem como o ponto inicial $r(0)$, podemos recuperar a função $r(t)$ graças ao teorema fundamental do cálculo. Por causa da lei de Newton, que diz que um ponto de massa $m$ sujeito a um campo de força $F$ dependendo da posição e da velocidade satisfaz a equação diferencial newtoniana m r^{\prime \prime}(t)=F\left(r(t), r^{\prime}(t)\right), o seguinte resultado é importante:

Um caso especial é se r^{\prime \prime}(t) é constante. Um caso especial é a situação de queda livre. As funções coordenadas são então quadráticas. Suponha r^{\prime \prime}(t)=[0,0,-10], e r^{\prime}(0)=[0,0,0] e $r(0)=[0,0,20]$, então $r(t)=[0,0,20-5t^2]$. Se você pular de $20$ metros em uma piscina, você precisa de $t=2$ segundos para atingir a água.

7.2.4 Vetores Tangente, Normal e Binormal

Dada uma curva $r(t)$ para a qual a velocidade r^{\prime}(t) nunca é zero, podemos formar o vetor tangente unitário T(t)=r^{\prime}(t) /|r^{\prime}(t)|. Se T^{\prime}(t) nunca é zero, podemos então formar N(t)=T^{\prime}(t) /|T^{\prime}(t)|, o vetor normal. O vetor $B=T\times N$ é chamado de vetor binormal. O escalar |T^{\prime}(t)| /|r^{\prime}(t)| é chamado de curvatura da curva.

7.2.5 Singularidades de Curvatura e Suavidade

Mesmo que $r(t)$ seja perfeitamente suave, a curvatura pode se tornar infinita. Vejamos o exemplo $r(t)=[t^2,t^3,0]$. Então r^{\prime}(t)=[2 t, 3 t^{2}, 0] e r^{\prime \prime}(t)=[2,6 t, 0] e r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)=[0,0,6 t^{2}]. A curvatura é $(6/t)(4+9t^2{)}^{-3/2}$ que tem uma singularidade em $t=0$.

7.2.6 Mudanças de Concavidade e Vetores Normais

Mesmo quando $r(t)$ é perfeitamente suave e nunca zero, o vetor normal pode depender de forma descontínua de $t$. Exemplo: $r(t)=[t,t^3/3]$. Agora r^{\prime}(t)=[1, t^{2}] e $T(t)=$ $[0,t^2]/\sqrt{1+t^4}$. Vemos que T^{\prime}(t) assume sinais diferentes na segunda coordenada. Após a normalização, temos e . No ponto de inflexão do gráfico da função cúbica, a concavidade mudou de côncava para baixo para côncava para cima. Isso mudou a direção do vetor normal $N$.

7.2.7 Observação: Curvas com Valores Matriciais

Até agora, olhamos apenas para vetores parametrizados. Se as entradas $A_{ij}(t)$ de uma matriz dependem do tempo, temos uma curva de valor matricial $A(t)$. Isso aparece em equações diferenciais, em mecânica quântica (operadores que se movem no tempo) ou –mais importante– em imagens em movimento! Um filme é apenas uma curva de valor matricial.

7.2.8 Observação: Curvas Fechadas Simples

Uma curva plana $r(t)=[x(t),y(t){]}^T$ no plano definida em $t\in [0,2\pi ]$ é chamada de curva fechada simples se $r(0)=r(2\pi )$ e não existem valores para os quais $r(t)=r(s)$. Para uma curva suave, significando que as duas primeiras derivadas existem, podemos olhar para o ângulo polar $\alpha (t)$ do vetor r^{\prime}(t). Defina a curvatura com sinal da curva como \kappa(t)=\alpha^{\prime}(t) /|r^{\prime}(t)|. Temos $|\kappa (t)|=K(t)$. O Hopf Umlaufsatz diz ${\int }_0^{2\pi }\kappa (t)dt=2\pi$. No caso do círculo, por exemplo, $\kappa (t)=1$.

7.2.9 Observação: Reparametrização com Velocidade Constante

Podemos verificar que qualquer curva $r(t)$ parametrizada em $[a,b]$ tal que r^{\prime}(t) \neq 0 para todo $t\in [a,b]$ pode ser reparametrizada como $R(t)$ em $[a,b]$ de modo que |R^{\prime}(t)|=1 para todo $t$.

Prova: procuramos uma função monótona $s(t)$ tal que a derivada de $r(s(t))$ tenha comprimento $1$. Isso significa que queremos |r^{\prime}(s(t))| s^{\prime}(t)=1. Em outras palavras, procuramos uma função $s(t)$ tal que s^{\prime}(t)=1 /|r^{\prime}(s(t))|=F(s(t)) e $s(a)=0$. Isso é o que chamamos de equação diferencial. Existe um teorema geral de existência para equações diferenciais (provado posteriormente) que garante que existe uma única solução $s(t)$. Fim da prova.

O resultado é muito intuitivo. Você pode ir de $r(a)$ a $r(b)$ ao longo da curva traçada por $r(t)$ simplesmente mantendo a velocidade $1$. Isso fornece sua nova parametrização. Seu novo intervalo de tempo será $[0,L]$ onde $L$ é o comprimento de arco (o comprimento da sua viagem). Abordaremos o cálculo do comprimento de arco na próxima aula.

7.2.10 Observação Lateral: Complexidades das Curvas Contínuas

Curvas contínuas podem ser complicadas: se você observar uma partícula de pólen em um microscópio, ela se move erraticamente em uma curva que não é diferenciável em lugar nenhum, pois é constantemente bombardeada por moléculas de ar que a fazem quicar. Isso é o movimento browniano. Existem também as curvas de Peano ou curvas de Hilbert $[0,1]\to [0,1{]}^2$ ou curvas de Hilbert que preenchem o espaço $r(t):[0,1]\to Q=[0,1{]}^3$ que cobrem todos os pontos do cubo $Q$. Essas curvas definem uma bijeção contínua de $[0,1]$ para $[0,1{]}^3$. (A inversa não é contínua. Ainda assim, a construção mostra que há o mesmo número de pontos em $[0,1]$ que em $[0,1{]}^3$).

7.3 EXEMPLOS

EXERCÍCIOS