Curvas

7.1 INTRODUCCIÓN

7.1.1 Curvas en el Álgebra Lineal

A muchos objetos geométricos se les puede asignar una dimensión. Este número indica cuántos parámetros necesitamos para describir el objeto. Un punto tiene dimensión $0$, una línea tiene dimensión $1$, un plano tiene dimensión $2$. Esto se formaliza en el álgebra lineal. Dada una matriz $A$, el número de $1$ principales en $\mathrm{rref}(A)$ es la dimensión de la imagen de $A$. El número de variables libres (columnas sin $1$ principal en $\mathrm{rref}(A)$) es la dimensión del núcleo de $A$. Por ejemplo, para $A=[1,2,3]$ que ya está en forma escalonada reducida por filas, tenemos un $1$ principal y dos variables libres $y$ y $z$. La ecuación $1x+2y+3z=0$ describe un objeto de dimensión $2$, un plano. Si se dan $y,z$, podemos encontrar $x$ a partir de la ecuación. La imagen del vector columna $v=A^T$ es la línea generada por este vector. Esta línea es perpendicular al plano e ilustra el teorema fundamental del álgebra lineal, que asegura que el núcleo de $A$ es perpendicular a la imagen de $A^T$ o, equivalentemente, el núcleo de $A^T$ es perpendicular a la imagen de $A$.

7.1.2 Dimensionalidad y Curvas

Las curvas son objetos de dimensión $1$. Por ejemplo, la línea generada por un vector $v$ se escribe como el conjunto de puntos $r(t)=tv=[t,2t,3t{]}^T$. A esto lo llamamos una parametrización de la línea. La variable libre $t$ se llama tiempo. Determina dónde estamos ubicados en un tiempo fijo $t$. En el tiempo $t=12$, por ejemplo, estamos posicionados en el punto $(12,24,36)$ correspondiente al vector $[12,24,36{]}^T$.¹ El vector $v$ tiene la interpretación de una velocidad. Nos dice qué tan rápido nos movemos sobre la línea. Por supuesto, reemplazar $v$ con $3v$ nos daría la misma línea, pero viajaríamos tres veces más rápido y alcanzaríamos el punto $(12,24,36)$ tres veces más rápido.

7.1.3 Explorando Curvas en el Espacio

Si la velocidad puede cambiar de dirección y magnitud, podemos movernos en trayectorias más interesantes. El marco de trabajo es tomar tres funciones continuas $x(t),y(t),z(t)$ y observar la trayectoria $(x(t),y(t),z(t))$ en el espacio. Escribimos esto en notación vectorial como $r(t)=[x(t),y(t),z(t){]}^T$. Ahora, como nos cansamos de escribir siempre el $T$ que indica que usamos vectores columna, simplemente escribiremos $r(t)=[x(t),y(t),z(t)]$. La mayor parte del tiempo, asumimos que las funciones son diferenciables, pero el caso de una pelota de ping-pong rebotando en una mesa muestra que también las curvas no suaves pueden importar, incluso en la vida diaria. Las curvas pueden ser muy complicadas. Toma una pelota de ping-pong y colócala en un contenedor elíptico. La trayectoria de billar que traza es caótica. En esta lección observamos curvas dadas por parametrizaciones, aprendemos a derivar para obtener la velocidad o la aceleración. También aprendemos a integrar. Esto nos permite calcular trayectorias. Podemos, por ejemplo, calcular dónde está una bola que cae en un campo gravitatorio en el tiempo $t$.

7.2 LECCIÓN

7.2.1 Curvas Parametrizadas y Sus Trayectorias

Dadas $n$ funciones continuas $x_j(t)$ de una variable $t$, podemos considerar la función de valor vectorial $r(t)={[x_1(t),\dots ,x_n(t)]}^T$. La llamamos una curva parametrizada. Un ejemplo es $r(t)=[3+2t,4+6t]$ que es una línea que pasa por el punto $(3,4)$ y contiene el vector $[2,6]$.² Si $t$ está en el intervalo paramétrico $a\le t\le b$, entonces la imagen de $r$ es $\{r(t)\mid a\le t\le b\}$, lo que define una curva en ${ℝ}^n$. La curva comienza en el punto $r(a)$ y termina en el punto $r(b)$. Otro ejemplo importante es el círculo $r(t)=[\cos (t),\sin (t)]$, donde $t$ está en el intervalo $[0,2\pi ]$. Su imagen es un círculo en el plano ${ℝ}^2$. La parametrización $r(t)$ contiene más información que la curva en sí: la curva parabólica $r(t)=[t,t^2]$ definida en $t\in [-1,1]$, por ejemplo, es la misma que la curva $r(t)=[t^3,t^6]$ para $t\in [-1,1]$, pero en la segunda parametrización, la curva se recorre con diferente velocidad. Las curvas en ${ℝ}^3$ pueden admirarse en nuestro espacio físico, como $r(t)=[x(t),y(t),z(t)]=[t\cos (t),t\sin (t),t]$ que es una espiral. Esta curva en particular está contenida en el cono $x^2+y^2=z^2$.

7.2.2 Velocidad y Aceleración en Curvas

Si las funciones $t\to x_j(t)$ son diferenciables, podemos formar la derivada r^{\prime}(t)=\left[x_{1}^{\prime}(t), \ldots, x_{n}^{\prime}(t)\right]. Aunque técnicamente esto es nuevamente una curva, pensamos en r^{\prime}(t) como un vector unido al punto $r(t)$ y decimos que r^{\prime}(t) es tangente a $r(t)$. La longitud \left|r^{\prime}(t)\right| de la velocidad se llama la rapidez de $r$. Si también existen derivadas superiores de las funciones $x_j(t)$, podemos formar la segunda derivada r^{\prime \prime}(t) llamada aceleración, o la tercera derivada r^{\prime \prime \prime}(t)=r^{(3)}(t) llamada sacudida. Luego vienen el tirón $r^{(4)}(t)$, el chasquido $r^{(5)}(t)$ y el pop $r^{(6)}(t)$ y el Harvard $r^{(7)}(t)$ introducido en el otoño de 2016 en un examen de varias variables.

7.2.3 El Teorema Fundamental del Cálculo y las Curvas

Dada la función primera derivada r^{\prime}(t) así como el punto inicial $r(0)$, podemos recuperar la función $r(t)$ gracias al teorema fundamental del cálculo. Debido a la ley de Newton, que dice que un punto de masa $m$ sujeto a un campo de fuerza $F$ que depende de la posición y la velocidad satisface la ecuación diferencial newtoniana m r^{\prime \prime}(t)=F\left(r(t), r^{\prime}(t)\right), el siguiente resultado es importante:

Un caso especial es si r^{\prime \prime}(t) es constante. Un caso especial es la situación de caída libre. Las funciones coordenadas son entonces cuadráticas. Supongamos r^{\prime \prime}(t)=[0,0,-10], y r^{\prime}(0)=[0,0,0] y $r(0)=[0,0,20]$, entonces $r(t)=[0,0,20-5t^2]$. Si saltas desde $20$ metros a una piscina, necesitas $t=2$ segundos para tocar el agua.

7.2.4 Vectores Tangente, Normal y Binormal

Dada una curva $r(t)$ para la cual la velocidad r^{\prime}(t) nunca es cero, podemos formar el vector tangente unitario T(t)=r^{\prime}(t) /|r^{\prime}(t)|. Si T^{\prime}(t) nunca es cero, podemos formar entonces N(t)=T^{\prime}(t) /|T^{\prime}(t)|, el vector normal. El vector $B=T\times N$ se llama el vector binormal. El escalar |T^{\prime}(t)| /|r^{\prime}(t)| se llama la curvatura de la curva.

7.2.5 Singularidades de Curvatura y Suavidad

Incluso si $r(t)$ es perfectamente suave, la curvatura puede volverse infinita. Veamos el ejemplo $r(t)=[t^2,t^3,0]$. Entonces r^{\prime}(t)=[2 t, 3 t^{2}, 0] y r^{\prime \prime}(t)=[2,6 t, 0] y r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)=[0,0,6 t^{2}]. La curvatura es $(6/t)(4+9t^2{)}^{-3/2}$ que tiene una singularidad en $t=0$.

7.2.6 Cambios de Concavidad y Vectores Normales

Incluso cuando $r(t)$ es perfectamente suave y nunca cero, el vector normal puede depender de manera discontinua de $t$. Ejemplo: $r(t)=[t,t^3/3]$. Ahora r^{\prime}(t)=[1, t^{2}] y $T(t)=$ $[0,t^2]/\sqrt{1+t^4}$. Vemos que T^{\prime}(t) toma signos diferentes en la segunda coordenada. Después de normalizar tenemos y . En el punto de inflexión de la gráfica de la función cúbica, la concavidad ha cambiado de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Esto ha cambiado la dirección del vector normal $N$.

7.2.7 Comentario Adicional: Curvas de Valores Matriciales

Hemos considerado solo vectores parametrizados. Si las entradas $A_{ij}(t)$ de una matriz dependen del tiempo, tenemos una curva de valores matriciales $A(t)$. Esto aparece en ecuaciones diferenciales, en mecánica cuántica (operadores que se mueven en el tiempo) o –lo más importante– ¡en imágenes en movimiento! Una película es simplemente una curva de valores matriciales.

7.2.8 Comentario Adicional: Curvas Cerradas Simples

Una curva plana $r(t)=[x(t),y(t){]}^T$ en el plano, definida en $t\in [0,2\pi ]$, se llama una curva cerrada simple si $r(0)=r(2\pi )$ y no existen valores para los cuales $r(t)=r(s)$. Para una curva suave, lo que significa que existen las dos primeras derivadas, podemos considerar el ángulo polar $\alpha (t)$ del vector r^{\prime}(t). Se define la curvatura con signo de la curva como \kappa(t)=\alpha^{\prime}(t) /|r^{\prime}(t)|. Tenemos $|\kappa (t)|=K(t)$. El Umlaufsatz de Hopf dice ${\int }_0^{2\pi }\kappa (t)dt=2\pi$. En el caso del círculo, por ejemplo, $\kappa (t)=1$.

7.2.9 Comentario Adicional: Reparametrización a Velocidad Constante

Podemos verificar que cualquier curva $r(t)$ parametrizada en $[a,b]$ tal que r^{\prime}(t) \neq 0 para todo $t\in [a,b]$ puede reparametrizarse como $R(t)$ en $[a,b]$ de modo que |R^{\prime}(t)|=1 para todo $t$.

Demostración: buscamos una función monótona $s(t)$ tal que la derivada de $r(s(t))$ tenga longitud $1$. Esto significa que queremos |r^{\prime}(s(t))| s^{\prime}(t)=1. En otras palabras, buscamos una función $s(t)$ tal que s^{\prime}(t)=1 /|r^{\prime}(s(t))|=F(s(t)) y $s(a)=0$. Esto es lo que llamamos una ecuación diferencial. Existe un teorema general de existencia para ecuaciones diferenciales (demostrado más adelante) que asegura que existe una solución única $s(t)$. Fin de la demostración.

El resultado es muy intuitivo. Puedes conducir desde $r(a)$ hasta $r(b)$ a lo largo de la curva trazada por $r(t)$ simplemente manteniendo la velocidad $1$. Esto te da tu nueva parametrización. Tu nuevo intervalo de tiempo será $[0,L]$ donde $L$ es la longitud de arco (la longitud de tu viaje). Llegaremos al cálculo de la longitud de arco en la próxima lección.

7.2.10 Observación adicional: Complejidades de las curvas continuas

Las curvas continuas pueden ser complicadas: si observas la partícula de polen en un microscopio, se mueve de manera errática sobre una curva que no es diferenciable en ningún punto, ya que es constantemente bombardeada por moléculas de aire que la hacen rebotar. Esto es el movimiento browniano. También existen las curvas de Peano o curvas de Hilbert $[0,1]\to [0,1{]}^2$ o las curvas de Hilbert que llenan el espacio $r(t):[0,1]\to Q=[0,1{]}^3$ que cubren todos los puntos del cubo $Q$. Estas curvas definen una biyección continua de $[0,1]$ a $[0,1{]}^3$. (La inversa no es continua. Aun así, la construcción muestra que hay la misma cantidad de puntos en $[0,1]$ que en $[0,1{]}^3$).

7.3 EJEMPLOS

EJERCICIOS