Comprimento de arco

Sumário

8.1 INTRODUÇÃO
- 8.1.1 Introdução ao Comprimento de Arco
- 8.1.2 Fundamentos de Cálculo do Comprimento de Arco
8.2 AULA
- 8.2.1 Curvas Contínuas e Unicidade da Parametrização
8.3 EXEMPLOS
8.4 ILUSTRAÇÕES
EXERCÍCIOS

8.1 INTRODUÇÃO

**Figura 1.** Uma curva de nó bastante complicada $r (t)$ . Apesar de sua complexidade, podemos calcular o comprimento da curva numericamente integrando |r^{\prime}(t)| sobre o intervalo do parâmetro. Neste caso, a curva tem diâmetro $14$ e já um comprimento de $1243$ . Enquanto uma dupla hélice de DNA tem $10$ nanômetros de largura, o comprimento total do DNA humano é de cerca de $2$ metros.

8.1.1 Introdução ao Comprimento de Arco

Nesta aula, realmente entramos no cálculo, pois usamos tanto a diferenciação quanto a integração para calcular o comprimento de curvas. Esta unidade também é um bom momento para revisar algumas técnicas de integração. O principal resultado teórico é que, se r^{\prime}(t) for contínua por partes, então podemos calcular o comprimento. Matematicamente, veremos que a integral de Riemann $\int_{a}^{b} f (t) d t$ existe para toda função contínua.

8.1.2 Fundamentos de Cálculo do Comprimento de Arco

Em cursos de cálculo de uma variável, geralmente assume-se que $f$ é diferenciável, caso em que a prova é muito mais simples. Então, de certa forma, queremos ilustrar aqui também que o cálculo leva à análise real, que está próxima também dos fundamentos centrais da matemática. Tanto ao calcular derivadas quanto integrais, estamos usando uma noção de "limite". Quando calculamos o comprimento de uma curva, dividimos em pequenos pedaços e somamos os comprimentos desses pedaços. Que esse processo dê um resultado final finito não é de forma alguma trivial. Se observarmos o movimento de uma partícula de pólen em um fluido e calcularmos o comprimento rastreando intervalos de tempo cada vez menores, o comprimento na verdade diverge para o infinito.

**Figura 2.** Uma imagem colorizada de microscópio eletrônico de grãos de pólen de várias plantas, como girassóis. Esta imagem foi feita pela instalação de microscópio eletrônico de Dartmouth e colocada em domínio público. A propósito, essas partículas também são uma inspiração para superfícies.

8.2 AULA

8.2.1 Curvas Contínuas e Unicidade da Parametrização

Nesta aula, assumimos que as curvas são continuamente diferenciáveis, o que significa que a velocidade é contínua. Escreveríamos $r \in C^{1} ([a, b], ℝ^{d})$ . Dada uma curva parametrizada $r (t)$ definida sobre um intervalo $I = [a, b]$ , seu comprimento de arco é definido como L=\int_{a}^{b}\left|r^{\prime}(t)\right| dt. Para f(t)=\left|r^{\prime}(t)\right|, a integral é definida como o lim sup (ainda não sabemos se o limite existe), $\int_{a}^{b} f (t) d t = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{S_{n}}{n} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{1}{n} \sum_{a \leq \frac{k}{n} < b} f (\frac{k}{n})$ Esta integral de Arquimedes é uma integral de Riemann especial. Ela satisfaz $min (f) \leq (b - a)^{- 1} \int_{a}^{b} f (t) d t \leq max (f) .$ O teorema do valor intermediário implica que existe $y \in [a, b]$ tal que $f (y) = (b - a)^{- 1} \int_{a}^{b} f (t) d t .$ O mínimo e o máximo existem pelo teorema do valor extremo de Bolzano. Relacionado a Bolzano está o teorema de Heine-Cantor, que garante que uma função contínua $f$ em um intervalo finito fechado $[a, b]$ é uniformemente contínua: existe uma função $M (t)$ satisfazendo $lim_{t \to 0} M (t) = 0$ com $| f (x) - f (y) | \leq M | x - y |$ para todos $x, y \in [a, b]$ . Mais forte é a continuidade de Lipschitz, que é $M (t) = M \cdot t$ para alguma constante $M$ . A próxima prova mostra, em geral, que funções contínuas são Riemann integráveis; o limsup é na verdade um limite:

Teorema 1. O comprimento de arco existe e é independente da parametrização.

Prova.

Para ver a independência da parametrização, suponha uma mudança de tempo $ϕ (t)$ com uma função suave monótona $ϕ : [a, b] \to [ϕ (a), ϕ (b)]$ . Se $r (t)$ em $[ϕ (a), ϕ (b)]$ e $R (t) = r (ϕ (t))$ em $[a, b]$ são as duas parametrizações e f(t)=|r^{\prime}(t)| \quad \text{e} \quad F(t)=|R^{\prime}(t)|=|r^{\prime}(\phi(t))| \phi^{\prime}(t), então, por substituição, o comprimento de arco de $r (t)$ é \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t)\, d t=\int_{a}^{b} f(\phi(t)) \phi^{\prime}(t)\, d t que é $\int_{a}^{b} F (t) d t$ , o comprimento de arco de $R (t)$ .
De (i), podemos assumir $[a, b] = [0, 1]$ . Por continuidade uniforme, existem $M_{n} \to 0$ tais que, se $| y - x | \leq 1 / n$ , então $| f (y) - f (x) | \leq M_{n}$ . O teorema do valor intermediário fornece, para cada $I_{k} = [x_{k}, x_{k + 1}] = [k / n, (k + 1) / n] \subset [0, 1],$ um $y_{k} \in I_{k}$ tal que $\int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} f (x) d x = f (y_{k}) / n$ . Agora, $\int_{0}^{1} f (x) d x = (1 / n) \sum_{k} f (y_{k})$ e \begin{aligned} \left|S_{n} / n-\int_{0}^{1} f(x)\, d x\right|&=(1 / n)\Big|\sum_{k}\left[f(x_{k})-f(y_{k})\right]\Big|\\ &\leq(1 / n) \sum_{k}\left|f(x_{k})-f(y_{k})\right|\\ &\leq 1 / n \sum_{k} M_{n}\\ &=M_{n} \rightarrow 0. \end{aligned}

◻

8.3 EXEMPLOS

Exemplo 1. O comprimento de arco do círculo $r (t) = [R \cos (t), R \sin (t)]$ com $t \in [0, 2 π]$ é \int_{0}^{2 \pi}|r^{\prime}(t)|\,d t=\int_{0}^{2 \pi} R\, d t=2 \pi R.

Exemplo 2. O comprimento de arco da parábola $r (t) = [t, t^{2} / 2]$ com $t \in [- 1, 1]$ é $\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 + t^{2}} d t$ . Faremos esta integral em aula. O resultado é $\sqrt{2} + arcsinh (1)$ .

Exemplo 3. O comprimento de arco da curva $r (t) = [\log (t), \sqrt{2} t, t^{2} / 2]$ para $t \in [1, 2]$ . É $\int_{1}^{2} \sqrt{1 / t^{2} + t^{2} + 2} d t = \int_{1}^{2} (t + 1 / t) d t = \log (2) + 3 / 2.$

8.4 ILUSTRAÇÕES

**Figura 3.** Uma aproximação poligonal de uma curva produz uma aproximação por soma de Riemann da integral do comprimento.

**Figura 4.** Uma aproximação por soma de Riemann de uma função contínua produz, no limite, a "área sob a curva".

**Figura 5.** O movimento browniano produz caminhos contínuos que não são diferenciáveis. A integral do comprimento de arco não existe.

EXERCÍCIOS

Exercício 1. Encontre o comprimento de arco da curva $r (t) = [12 t, 8 t^{3 / 2}, 3 t^{2}],$ onde $t \in [0, 7]$ .

Exercício 2. Encontre o comprimento de arco da cicloide $r (t) = [t - \sin (t), 1 + \cos (t)]$ de $0$ a $2 π$ . A cicloide invertida é a solução do famoso problema da braquistócrona, a curva ao longo da qual uma bola desce mais rápido.

Dica. Você pode querer usar a fórmula do ângulo duplo $2 - 2 \cos (t) = 4 \sin^{2} (\frac{t}{2})$ .

Exercício 3. Calcule numericamente o comprimento de arco do nó $r (t) = [\sin (4 t), \sin (3 t), \cos (5 t), \cos (7 t)]$ de $t = 0$ a $t = 2 π$ . Desenhando apenas as primeiras coordenadas e usando a cor como a quarta coordenada, podemos ver que não há nós não triviais em $ℝ^{4}$ . Você não pode amarrar seus sapatos em $ℝ^{4}$ !

Exercício 4. Qual é a relação entre \left|\int_{0}^{1} r^{\prime}(t)\, d t\right| e \int_{0}^{1}\left|r^{\prime}(t)\right| d t? Dê uma interpretação de ambos os lados.

Exercício 5. Encontre o comprimento de arco da catenária¹ $r (t) = [t, \cosh (t)]$ , onde $\cosh (t) = (e^{t} + e^{- t}) / 2$ é o cosseno hiperbólico e $t \in [- 1, 1]$ .

Dica. Você pode usar a identidade $\cosh^{2} (t) - \sinh^{2} (t) = 1$ , onde $\sinh (t) =$ $(e^{t} - e^{- t}) / 2$ é o seno hiperbólico. Temos \cosh ^{\prime}=\sinh, \sinh ^{\prime}=\cosh.

Galileu foi o primeiro a investigar a catenária. É a curva que uma corda pesada pendurada livremente descreve, se os pontos finais têm a mesma altura. Galileu confundiu a curva com uma parábola. Foi Johannes Bernoulli, em 1691, quem obteve sua verdadeira forma após uma competição envolvendo Huygens, Leibniz e dois Bernoullis. O nome "catenária" (=curva de corrente) foi usado pela primeira vez por Huygens em uma carta a Leibniz em 1690.↩︎