Longueur d'arc

Table des matières

8.1 INTRODUCTION
- 8.1.1 Introduction à la longueur d'arc
- 8.1.2 Fondements du calcul de la longueur d'arc
8.2 COURS
- 8.2.1 Courbes continues et unicité du paramétrage
8.3 EXEMPLES
8.4 ILLUSTRATIONS
EXERCICES

8.1 INTRODUCTION

**Figure 1.** Une courbe de nœud plutôt compliquée $r (t)$ . Malgré sa complexité, on peut calculer la longueur de la courbe numériquement en intégrant |r^{\prime}(t)| sur l'intervalle de paramètre. Dans ce cas, la courbe a un diamètre de $14$ et déjà une longueur de $1243$ . Alors qu'une double hélice d'ADN a une largeur de $10$ nanomètres, la longueur totale de l'ADN humain est d'environ $2$ mètres.

8.1.1 Introduction à la longueur d'arc

Dans ce cours, nous entrons vraiment dans le calcul différentiel et intégral en utilisant à la fois la dérivation et l'intégration pour calculer la longueur des courbes. Cette unité est aussi un bon moment pour réviser quelques techniques d'intégration. Le principal résultat théorique est que si r^{\prime}(t) est continue par morceaux, alors on peut calculer la longueur. Mathématiquement, nous verrons que l'intégrale de Riemann $\int_{a}^{b} f (t) d t$ existe pour toute fonction continue.

8.1.2 Fondements du calcul de la longueur d'arc

Dans les cours de calcul à une variable, on suppose généralement que $f$ est dérivable, auquel cas la preuve est beaucoup plus simple. Donc, en un sens, nous voulons aussi illustrer ici que le calcul mène à l'analyse réelle, qui est proche également des fondements des mathématiques. Tant pour le calcul des dérivées que des intégrales, on utilise une notion de « limite ». Lorsqu'on calcule la longueur d'une courbe, on la découpe en petits morceaux et on additionne les longueurs de ces morceaux. Que ce processus donne un résultat fini par passage à la limite n'est nullement trivial. Si l'on regarde le mouvement d'une particule de pollen dans un fluide et qu'on calcule la longueur en suivant des intervalles de temps de plus en plus petits, la longueur diverge en réalité vers l'infini.

**Figure 2.** Un balayage colorisé au microscope électronique de grains de pollen de diverses plantes, comme les tournesols. Cette image a été réalisée par le centre de microscopie électronique de Dartmouth et placée dans le domaine public. Au fait, ces particules sont aussi une source d'inspiration pour les surfaces.

8.2 COURS

8.2.1 Courbes continues et unicité du paramétrage

Nous supposons dans ce cours que les courbes sont continûment différentiables, ce qui signifie que la vitesse est continue. On écrirait $r \in C^{1} ([a, b], ℝ^{d})$ . Étant donnée une courbe paramétrée $r (t)$ définie sur un intervalle $I = [a, b]$ , sa longueur d'arc est définie comme L=\int_{a}^{b}\left|r^{\prime}(t)\right| dt. Pour f(t)=\left|r^{\prime}(t)\right| l'intégrale est définie comme la limite supérieure (lim sup) (on ne sait pas encore si la limite existe), $\int_{a}^{b} f (t) d t = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{S_{n}}{n} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{1}{n} \sum_{a \leq \frac{k}{n} < b} f (\frac{k}{n})$ Cette intégrale d'Archimède est une intégrale de Riemann particulière. Elle vérifie $min (f) \leq (b - a)^{- 1} \int_{a}^{b} f (t) d t \leq max (f) .$ Le théorème des valeurs intermédiaires implique qu'il existe $y \in [a, b]$ tel que $f (y) = (b - a)^{- 1} \int_{a}^{b} f (t) d t .$ Le minimum et le maximum existent d'après le théorème des valeurs extrêmes de Bolzano. Lié à Bolzano, le théorème de Heine-Cantor assure qu'une fonction continue $f$ sur un intervalle fermé borné $[a, b]$ est uniformément continue : il existe une fonction $M (t)$ satisfaisant $lim_{t \to 0} M (t) = 0$ avec $| f (x) - f (y) | \leq M | x - y |$ pour tout $x, y \in [a, b]$ . Plus forte est la continuité lipschitzienne, qui est $M (t) = M \cdot t$ pour une constante $M$ . La preuve suivante montre en général que les fonctions continues sont Riemann-intégrables ; la limsup est en fait une limite :

Théorème 1. La longueur d'arc existe et est indépendante du paramétrage.

Preuve.

Pour voir l'indépendance du paramétrage, supposons un changement de temps $ϕ (t)$ avec une fonction lisse monotone $ϕ : [a, b] \to [ϕ (a), ϕ (b)]$ . Si $r (t)$ sur $[ϕ (a), ϕ (b)]$ et $R (t) = r (ϕ (t))$ sur $[a, b]$ sont les deux paramétrages et f(t)=|r^{\prime}(t)| \quad \text{et} \quad F(t)=|R^{\prime}(t)|=|r^{\prime}(\phi(t))| \phi^{\prime}(t), alors par substitution, la longueur d'arc de $r (t)$ est \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t)\, d t=\int_{a}^{b} f(\phi(t)) \phi^{\prime}(t)\, d t qui est $\int_{a}^{b} F (t) d t$ , la longueur d'arc de $R (t)$ .
De (i) on peut supposer $[a, b] = [0, 1]$ . Par continuité uniforme, il existe $M_{n} \to 0$ tels que si $| y - x | \leq 1 / n$ , alors $| f (y) - f (x) | \leq M_{n}$ . Le théorème des valeurs intermédiaires donne pour chaque $I_{k} = [x_{k}, x_{k + 1}] = [k / n, (k + 1) / n] \subset [0, 1],$ un $y_{k} \in I_{k}$ tel que $\int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} f (x) d x = f (y_{k}) / n$ . Maintenant, $\int_{0}^{1} f (x) d x = (1 / n) \sum_{k} f (y_{k})$ et \begin{aligned} \left|S_{n} / n-\int_{0}^{1} f(x)\, d x\right|&=(1 / n)\Big|\sum_{k}\left[f(x_{k})-f(y_{k})\right]\Big|\\ &\leq(1 / n) \sum_{k}\left|f(x_{k})-f(y_{k})\right|\\ &\leq 1 / n \sum_{k} M_{n}\\ &=M_{n} \rightarrow 0. \end{aligned}

◻

8.3 EXEMPLES

Exemple 1. La longueur d'arc du cercle $r (t) = [R \cos (t), R \sin (t)]$ avec $t \in [0, 2 π]$ est \int_{0}^{2 \pi}|r^{\prime}(t)|\,d t=\int_{0}^{2 \pi} R\, d t=2 \pi R.

Exemple 2. La longueur d'arc de la parabole $r (t) = [t, t^{2} / 2]$ avec $t \in [- 1, 1]$ est $\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 + t^{2}} d t$ . Nous ferons cette intégrale en classe. Le résultat est $\sqrt{2} + arcsinh (1)$ .

Exemple 3. La longueur d'arc de la courbe $r (t) = [\log (t), \sqrt{2} t, t^{2} / 2]$ pour $t \in [1, 2]$ . C'est $\int_{1}^{2} \sqrt{1 / t^{2} + t^{2} + 2} d t = \int_{1}^{2} (t + 1 / t) d t = \log (2) + 3 / 2.$

8.4 ILLUSTRATIONS

**Figure 3.** Une approximation polygonale d'une courbe produit une approximation par somme de Riemann de l'intégrale de longueur.

**Figure 4.** Une approximation par somme de Riemann d'une fonction continue produit à la limite l'« aire sous la courbe ».

**Figure 5.** Le mouvement brownien produit des chemins continus qui ne sont pas différentiables. L'intégrale de longueur d'arc n'existe pas.

EXERCICES

Exercice 1. Trouver la longueur d'arc de la courbe $r (t) = [12 t, 8 t^{3 / 2}, 3 t^{2}],$ où $t \in [0, 7]$ .

Exercice 2. Trouver la longueur d'arc de la cycloïde $r (t) = [t - \sin (t), 1 + \cos (t)]$ de $0$ à $2 π$ . La cycloïde renversée est la solution du célèbre problème de la brachistochrone, la courbe le long de laquelle une bille descend le plus vite.

Indice. Vous pourriez utiliser la formule de l'angle double $2 - 2 \cos (t) = 4 \sin^{2} (\frac{t}{2})$ .

Exercice 3. Calculer numériquement la longueur d'arc du nœud $r (t) = [\sin (4 t), \sin (3 t), \cos (5 t), \cos (7 t)]$ de $t = 0$ à $t = 2 π$ . En traçant seulement les premières coordonnées et en utilisant la couleur comme quatrième coordonnée, on peut voir qu'il n'y a pas de nœuds non triviaux dans $ℝ^{4}$ . On ne peut pas lacer ses chaussures dans $ℝ^{4}$ !

Exercice 4. Quelle est la relation entre \left|\int_{0}^{1} r^{\prime}(t)\, d t\right| et \int_{0}^{1}\left|r^{\prime}(t)\right| d t ? Donner une interprétation des deux côtés.

Exercice 5. Trouver la longueur d'arc de la caténaire¹ $r (t) = [t, \cosh (t)]$ , où $\cosh (t) = (e^{t} + e^{- t}) / 2$ est le cosinus hyperbolique et $t \in [- 1, 1]$ .

Indice. Vous pouvez utiliser l'identité $\cosh^{2} (t) - \sinh^{2} (t) = 1$ , où $\sinh (t) =$ $(e^{t} - e^{- t}) / 2$ est le sinus hyperbolique. On a \cosh ^{\prime}=\sinh, \sinh ^{\prime}=\cosh.

Galilée fut le premier à étudier la caténaire. C'est la courbe que décrit une corde lourde suspendue librement, si les extrémités sont à la même hauteur. Galilée confondit la courbe avec une parabole. Ce fut Johannes Bernoulli en 1691 qui obtint sa véritable forme après une compétition impliquant Huygens, Leibniz et deux Bernoulli. Le nom « caténaire » (= courbe de la chaîne) fut utilisé pour la première fois par Huygens dans une lettre à Leibniz en 1690.↩︎