弧长

8.1 引言

**图 1.** 一条相当复杂的结曲线 $r (t)$ 。尽管复杂，我们可以通过积分在参数区间上数值计算曲线的长度。在这种情况下，曲线的直径为 $14$ ，长度已达 $1243$ 。而DNA双螺旋的宽度为 $10$ 纳米，人类DNA的总长度约为 $2$ 米。

8.1.1 弧长简介

在本讲座中，我们真正进入微积分，同时使用微分和积分来计算曲线的长度。这一单元也是复习一些积分技巧的好时机。主要的理论结果是，如果是分段连续的，那么我们可以计算长度。从数学上看，我们会发现对于每个连续函数，黎曼积分 $\int_{a}^{b} f (t) d t$ 都存在。

8.1.2 弧长的微积分基础

在单变量微积分课程中，通常假设 $f$ 是可微的，这种情况下证明要简单得多。因此，在某种意义上，我们想在这里说明微积分也引向实分析，这同样接近数学的核心基础。无论是计算导数还是积分，我们都在使用“极限”的概念。当我们计算曲线的长度时，我们将其分成小段，并将这些段的长度相加。这个过程给出一个有限的极限结果绝非易事。如果我们观察流体中花粉粒子的运动，并通过追踪越来越小的时间间隔来计算长度，长度实际上会发散到无穷大。

**图 2.** 来自各种植物（如向日葵）的花粉粒的彩色电子显微镜扫描图。这张图片由达特茅斯电子显微镜设施制作，并已进入公共领域。顺便提一下，这些粒子也是曲面的灵感来源。

8.2 讲座

8.2.1 连续曲线与参数化的唯一性

在本讲座中，我们假设曲线是连续可微的，这意味着速度是连续的。我们会写成 $r \in C^{1} ([a, b], ℝ^{d})$ 。给定一条在区间 $I = [a, b]$ 上定义的参数化曲线 $r (t)$ ，其弧长定义为对于，积分定义为上极限（我们尚不知道极限是否存在）， $\int_{a}^{b} f (t) d t = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{S_{n}}{n} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{1}{n} \sum_{a \leq \frac{k}{n} < b} f (\frac{k}{n})$ 这个阿基米德积分是一种特殊的黎曼积分。它满足 $min (f) \leq (b - a)^{- 1} \int_{a}^{b} f (t) d t \leq max (f) .$ 介值定理表明存在 $y \in [a, b]$ 使得 $f (y) = (b - a)^{- 1} \int_{a}^{b} f (t) d t .$ 最小值和最大值由博尔扎诺极值定理保证存在。与博尔扎诺相关的是海涅-康托尔定理，它确保闭有限区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f$ 是一致连续的：存在一个函数 $M (t)$ 满足 $lim_{t \to 0} M (t) = 0$ 且对所有 $x, y \in [a, b]$ 有 $| f (x) - f (y) | \leq M | x - y |$ 。更强的是利普希茨连续性，即对于某个常数 $M$ 有 $M (t) = M \cdot t$ 。下面的证明总体上表明连续函数是黎曼可积的；上极限实际上是一个极限：

定理 1. 弧长存在且与参数化无关。

证明。

为了证明参数无关性，假设一个时间变换 $ϕ (t)$ 具有单调光滑函数 $ϕ : [a, b] \to [ϕ (a), ϕ (b)]$ 。如果 $r (t)$ 在 $[ϕ (a), ϕ (b)]$ 上且 $R (t) = r (ϕ (t))$ 在 $[a, b]$ 上是两个参数化，且 $和$ 那么通过代换， $r (t)$ 的弧长为即 $\int_{a}^{b} F (t) d t$ ，也就是 $R (t)$ 的弧长。
由(i)我们可以假设 $[a, b] = [0, 1]$ 。根据一致连续性，存在 $M_{n} \to 0$ 使得如果 $| y - x | \leq 1 / n$ ，则 $| f (y) - f (x) | \leq M_{n}$ 。介值定理给出对于每个 $I_{k} = [x_{k}, x_{k + 1}] = [k / n, (k + 1) / n] \subset [0, 1],$ 存在 $y_{k} \in I_{k}$ 使得 $\int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} f (x) d x = f (y_{k}) / n$ 。现在， $\int_{0}^{1} f (x) d x = (1 / n) \sum_{k} f (y_{k})$ 且

◻

8.3 示例

示例 1. 圆 $r (t) = [R \cos (t), R \sin (t)]$ 在 $t \in [0, 2 π]$ 上的弧长为

示例 2. 抛物线 $r (t) = [t, t^{2} / 2]$ 在 $t \in [- 1, 1]$ 上的弧长为 $\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 + t^{2}} d t$ 。我们将在课堂上计算这个积分。结果是 $\sqrt{2} + arcsinh (1)$ 。

示例 3. 曲线 $r (t) = [\log (t), \sqrt{2} t, t^{2} / 2]$ 在 $t \in [1, 2]$ 上的弧长为 $\int_{1}^{2} \sqrt{1 / t^{2} + t^{2} + 2} d t = \int_{1}^{2} (t + 1 / t) d t = \log (2) + 3 / 2.$

8.4 插图

练习

练习 1. 求曲线 $r (t) = [12 t, 8 t^{3 / 2}, 3 t^{2}],$ 在 $t \in [0, 7]$ 上的弧长。

练习 2. 求摆线 $r (t) = [t - \sin (t), 1 + \cos (t)]$ 从 $0$ 到 $2 π$ 的弧长。倒置的摆线是著名的最速降线问题的解，即球体下降最快的曲线。

提示。你可能想使用倍角公式 $2 - 2 \cos (t) = 4 \sin^{2} (\frac{t}{2})$ 。

练习 3. 数值计算结 $r (t) = [\sin (4 t), \sin (3 t), \cos (5 t), \cos (7 t)]$ 从 $t = 0$ 到 $t = 2 π$ 的弧长。仅绘制前两个坐标并使用颜色作为第四个坐标，我们可以看到在 $ℝ^{4}$ 中没有非平凡的结。你在 $ℝ^{4}$ 中系不了鞋带！

练习 4. 和之间有什么关系？给出两边的解释。

练习 5. 求悬链线¹ $r (t) = [t, \cosh (t)]$ 的弧长，其中 $\cosh (t) = (e^{t} + e^{- t}) / 2$ 是双曲余弦，且 $t \in [- 1, 1]$ 。

提示。你可以使用恒等式 $\cosh^{2} (t) - \sinh^{2} (t) = 1$ ，其中 $\sinh (t) =$ $(e^{t} - e^{- t}) / 2$ 是双曲正弦。我们有，。

伽利略是第一个研究悬链线的人。它是自由悬挂的重绳在端点高度相同时所描述的曲线。伽利略误以为它是抛物线。1691年，约翰·伯努利在与惠更斯、莱布尼茨和两位伯努利的竞争中得到了它的真实形式。“catenarian”（=链曲线）这个名称最早由惠更斯在1690年给莱布尼茨的信中使用。↩︎

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