First Hourly

14.1 Mots-clés pour le premier examen partiel

Ceci est une sorte de liste de contrôle. Faites votre propre liste. Mais voici une liste qui essaie d'être exhaustive. Cochez les sujets que vous connaissez et revenez sur ceux dont vous ne vous souvenez pas. Vous devrez avoir les éléments suivants sur le bout des doigts.

14.1.1 Théorèmes

• Cauchy-Schwarz $|v\cdot w|\le |v||w|$ en général pour $M(n,m)$
• Pythagore $c^2=a^2+b^2$ pour tout espace de produit scalaire
• Al Khashi $c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\alpha )$ pour tout triangle
• Unicité de la réduction par lignes : $\mathrm{rref}(A)$ est unique dans $M(n,m)$
• La formule du produit scalaire $v\cdot w=|v||w|\cos (\alpha )$
• La formule du produit vectoriel $|v\times w|=|v||w|\sin (\alpha )$
• L'image de la transposée $\mathrm{im}(A^T)$ est le noyau $\ker (A)$
• Formule de Cauchy-Binet $|v\times w{|}^2=|v{|}^2|w{|}^2-(v\cdot w{)}^2$
• Longueur d'arc \int_{a}^{b}|r^{\prime}(t)|\,d t pour $r$ différentiable
• Formules de courbure |T^{\prime}| /|r^{\prime}|=|r^{\prime} \times r^{\prime \prime}| /|r^{\prime}|^{3}
• Formule d'Euler $e^{it}=\cos (t)+i\sin (t)$ et cas particulier
• Formule de distorsion $\sqrt{det(d{r}^{T}dr)}=|r_u\times r_v|$ pour $r:{ℝ}^2\to {ℝ}^3$

14.1.2 Preuves

• L'utilisation de définitions et de notations précises
• Être capable de raisonner par l'absurde
• Penser visuellement, faire de bons dessins
• Utiliser l'algèbre pour aborder des problèmes géométriques
• Maîtriser la méthode d'induction
• Connaître les avantages et les risques de l'intuition
• Être conscient de la vérification assistée par ordinateur
• Croire en votre créativité

14.1.3 Algorithmes

• Trouver l'angle entre des vecteurs ou des matrices
• Trouver l'aire d'un parallélogramme
• Trouver le volume d'un parallélépipède
• Réduire par lignes une matrice dans $M(n,m)$
• Obtenir la position à partir de la vitesse ou de l'accélération
• Trouver le vecteur perpendiculaire à un plan
• Trouver la longueur d'une courbe ou d'une matrice
• Trouver la courbure en un point
• Calculer avec des nombres complexes
• Passer d'un système de coordonnées à un autre
• Calculer le facteur de distorsion
• Obtenir les distances entre des objets

14.1.4 Objets

• Matrices $A$
• Vecteurs colonnes et lignes
• Courbes paramétrées $r(t)=[x(t),y(t),z(t){]}^T$
• Surfaces paramétrées $r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v){]}^T$
• Fonctions $f(x,y,z)$
• Surfaces de niveau $f(x,y,z)=d$
• Variétés linéaires $\{x\mid Ax=d\}$
• Variétés quadratiques $\{x\mid x^{T}Bx+Ax=d\}$
• Noyau d'une application linéaire $\{x\mid Ax=0\}$
• Image d'une application linéaire $\{Ax\mid x\in {ℝ}^n\}$

14.1.5 Différenciation

• Vitesse r^{\prime}
• Accélération r^{\prime \prime}
• Jerk r^{\prime \prime \prime}
• Chute libre : r^{\prime \prime}=v donné
• Repère TNB, T=r^{\prime} /|r^{\prime}|, N=T^{\prime} /|T^{\prime}|, $B=T\times N$
• dérivée $dr\in M(n,m)$ d'une application ${ℝ}^m\to {ℝ}^n$
• Matrice jacobienne $dr$ d'une application ${ℝ}^n\to {ℝ}^n$
• Facteur de distorsion $\sqrt{\det (d{r}^{T}dr)}$
• Le facteur de distorsion pour $n=m$ se simplifie en $|\det (dr)|$
• Exemple : r^{\prime}(t)=d r, \sqrt{\operatorname{det}(d r^{T} d r)}=|r^{\prime}| est la vitesse
• Courbure |T^{\prime}| /|r^{\prime}|, dans ${ℝ}^3$ aussi |r^{\prime} \times r^{\prime \prime}| /|r^{\prime}|^{3}

14.1.6 Intégration

• Intégrer pour obtenir la longueur d'arc.
• Intégrer pour obtenir la position à partir de la vitesse, etc.
• Technique d'intégration : substitution
• Technique d'intégration : intégration par parties
• Technique d'intégration : fractions partielles
• Technique d'intégration : simplification

14.1.7 Systèmes de coordonnées

• Coordonnées cartésiennes
• Coordonnées polaires
• Coordonnées cylindriques
• Coordonnées sphériques
• Changement de coordonnées général
• Facteur de distorsion $|\det (dr)|=\sqrt{\det (d{r}^{T}dr)}$

14.1.8 Surfaces paramétrées

• Sphères
• Surfaces de révolution
• Graphes
• Plans
• Tore
• Hélicoïde

14.1.9 Personnes

• Mandelbrot
• Hamilton
• Descartes
• Cauchy
• Binet
• Schwarz
• Euler
• Heine
• Cantor
• Bolzano
• Archimedes
• Newton
• Einstein
• Napoleon

14.1.10 Géométrie de l'espace

• $v=[v_1,v_2,v_3{]}^T$, $w=[w_1,w_2,w_3{]}^T$, $v+w=[v_1+w_1,v_2+w_2,v_3+w_3{]}^T$
• produit scalaire $v\cdot w=v_1{w}_1+v_2{w}_2+v_3{w}_3=|v||w|\cos (\alpha )$
• angle $\cos (\alpha )=(v\cdot w)/|v||w|$
• produit vectoriel $v\cdot (v\times w)=0$, $w\cdot (v\times w)=0$
• aire du parallélogramme $|v\times w|=|v||w|\sin (\alpha )$
• produit mixte $u\cdot (v\times w)$
• volume du parallélépipède : $|u\cdot (v\times w)|$
• vecteurs parallèles $v\times w=0$, vecteurs orthogonaux : $v\cdot w=0$
• projection scalaire ${\mathrm{comp}}_w(v)=v\cdot w/|w|$
• projection vectorielle ${\mathrm{proj}}_w(v)=(v\cdot w)w/|w{|}^2$
• complétion du carré : $x^2-4x+y^2=1$ donne $(x-2{)}^2+y^2=5$
• vecteur unitaire $=$ direction : vecteur de longueur $1$

14.1.11 Droites, plans, fonctions

• équation paramétrique du plan $r(t,s)=p+tv+sw$ contenant $p$
• plan $A^T[x,y,z]=ax+by+cz=d$
• équation paramétrique de la droite $r(t)=p+tv$ contenant $p$
• graphe $G=\{(x,y,f(x,y))\mid (x,y)$ dans le domaine de $f\}$
• le plan $ax+by+cz=d$ a pour normale $n=[a,b,c{]}^T$
• la droite $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ contient $v=[a,b,c{]}^T$
• plan passant par $A$, $B$, $C$ : trouver le vecteur normal $(a,b,c)=AB\times CB$

14.1.12 Surfaces de niveau

• intersections : intersections d'une surface avec les axes de coordonnées
• traces : intersections d'une surface avec les plans de coordonnées
• traces généralisées : intersections avec $\{x=c\}$, $\{y=c\}$ ou $\{z=c\}$
• surface de niveau $g(x,y,z)=c$ : Exemple : graphe $g(x,y,z)=z-f(x,y)$
• une équation linéaire comme $2x+3y+5z=7$ définit un plan
• quadrique : ellipsoïde, paraboloïde, hyperboloïde, cylindre, cône

14.1.13 Formules de distance

• distance $d(P,Q)=|PQ|=\sqrt{(P_1-Q_1{)}^2+(P_2-Q_2{)}^2+(P_3-Q_3{)}^2}$
• distance point-plan : $d(P,\mathrm{\Sigma })=|(PQ)\cdot n|/|n|$
• distance point-droite : $d(P,L)=|(PQ)\times u|/|u|$
• distance droite-droite : $d(L,M)=|(PQ)\cdot (u\times v)|/|u\times v|$
• distance entre droites parallèles $L$, $M$ : distance point $d(P,M)$ où $P$ est sur $L$.
• distance entre plans parallèles : $d(P,\mathrm{\Sigma })$ où $P$ est dans le premier plan.

14.1.14 Fonctions

• graphe : $z=f(x,y)$
• courbe de niveau : $f(x,y)=c$ est une courbe dans le plan
• carte de contours : tracer les courbes $f(x,y)=c$ pour différentes valeurs de $c$
• surface de niveau : $f(x,y,z)=c$ dans l'espace

14.1.15 Courbes

• courbes planes et spatiales $r(t)$
• cercle : $x^2+y^2=r^2$, $r(t)=[r\cos t,r\sin t{]}^T$
• ellipse : $(x-x_0{)}^2/a^2+(y-y_0{)}^2/b^2=1$, $r(t)=[x_0+a\cos t,y_0+b\sin t{]}^T$
• vitesse r^{\prime}(t), accélération r^{\prime \prime}(t), |r^{\prime}(t)| vitesse scalaire
• vecteur tangent unitaire T(t)=r^{\prime}(t) /|r^{\prime}(t)|
• intégration : obtenir $r(t)$ à partir de r^{\prime}(t) et $r(0)$ par intégration
• intégration : obtenir $r(t)$ à partir de l'accélération r^{\prime \prime}(t) ainsi que r^{\prime}(0) et $r(0)$
• r^{\prime}(t) est tangent à la courbe au point $r(t)$
• $r(t)=[f(t)\cos (t),f(t)\sin (t){]}^T$ courbe polaire du graphe polaire $r=f(\theta )$
• \int_{a}^{b}|r^{\prime}(t)| \,d t, longueur d'arc de la courbe paramétrée
• N(t)=T^{\prime}(t) /|T^{\prime}(t)| vecteur normal, est perpendiculaire à $T(t)$
• $B(t)=T(t)\times N(t)$ vecteur binormal, est perpendiculaire à $T$ et $N$
• \kappa(t)=|T^{\prime}(t)| /|r^{\prime}(t)| courbure =|r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)| /|r^{\prime}(t)|^{3}
• $\kappa (t)$ et la longueur d'arc sont indépendants de la paramétrisation

14.1.16 Coordonnées

• Coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$
• coordonnées polaires $(x,y)=(r\cos (\theta ),r\sin (\theta ))$, $r\ge 0$
• coordonnées cylindriques $(x,y,z)=(r\cos (\theta ),r\sin (\theta ),z)$, $r\ge 0$
• coordonnées sphériques $(x,y,z)=(\rho \cos (\theta )\sin (\varphi ),\rho \sin (\theta )\sin (\varphi ),\rho \cos (\varphi ))$
• rayon : $r=x^2+y^2$ et rayon sphérique $\rho =x^2+y^2+z^2$
• rayon : relation importante $r=\rho \sin (\varphi )$
• Matrice jacobienne
• Facteur de distorsion

14.1.17 Surfaces

• $g(r,\theta )=0$ courbe polaire, en particulier $r=f(\theta )$, graphes polaires
• $r=f(z,\theta )$ surface cylindrique, $r=r(z)$ surface de révolution
• $g(\rho ,\theta ,\varphi )=0$ surface sphérique : exemple $\rho =1$ sphère
• $f(x,y)=c$ courbes de niveau de $f(x,y)$
• plan : $ax+by+cz=d$, $r(s,t)=r_0+sv+tw$, $[a,b,c{]}^T=v\times w$
• surface de révolution : $x^2+y^2=r(z{)}^2$, $r(\theta ,z)=[r(z)\cos (\theta ),r(z)\sin (\theta ),z{]}^T$

14.2 Premier Contrôle (Pratique A)

Problème 14A.1 (10 points) :

Les nombres de Fibonacci sont définis récursivement comme suit : commencer avec $F_0=0$, $F_1=1$ puis définir $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$, de sorte que $F_2=1$, $F_3=2$, $F_4=3$, $F_5=5$, etc. Prouver que $$F_0+F_1+\cdots +F_n=F_{n+2}-1$$ pour tout entier positif $n$.

Problème 14A.2 (10 points) :

Soit

1. (4 points) Calculer $AB$ et $\mathrm{rref}(AB)$.
2. (4 points) Maintenant, réduire par lignes $A$ et $B$ et former $\mathrm{rref}(A)\mathrm{rref}(B)$.
3. (2 points) L’affirmation $\mathrm{rref}(AB)=\mathrm{rref}(A)\mathrm{rref}(B)$ est-elle vraie pour toutes les matrices $A$, $B$ ?

Problème 14A.3 (10 points) :

1. (2 points) Paramétrer la droite passant par $(1,1,1)$ et $(4,3,1)$ dans ${ℝ}^3$.
2. (2 points) Paramétrer l’ellipse $x^2/16+y^2/25=1$ dans ${ℝ}^2$.
3. (2 points) Paramétrer le graphe $y=x^5+x$ dans ${ℝ}^2$.
4. (2 points) Paramétrer le cercle $x^2+(y-2{)}^2=1$, $z=4$ dans ${ℝ}^3$.
5. (2 points) Paramétrer la droite $x=y=z$ dans ${ℝ}^3$.

Problème 14A.4 (10 points) :

Trouver la longueur d’arc de la courbe $$r(t)=[t\cos (t^2),t\sin (t^2),t^2]$$ pour $0\le t\le 2$.

Problème 14A.5 (10 points) :

1. (2 points) Qu’est-ce que le théorème de Heine-Cantor ?
2. (2 points) Énoncer l’inégalité triangulaire.
3. (2 points) Qu’est-ce que l’identité d’Al Kashi ?
4. (2 points) Donner le nom d’une fonction nulle part dérivable.
5. (2 points) Est-il vrai qu’une courbe continue $r(t)$ a une longueur d’arc finie ?

Problème 14A.6 (10 points) :

1. (2 points) Calculer $(3+i)(4+2i)$.
2. (2 points) Que vaut $e^{i3\pi /4}$ ?
3. (2 points) Passer des coordonnées cylindriques $(r,\theta ,z)=(2,\pi /2,1)$ aux coordonnées cartésiennes.
4. (2 points) Quelles sont les coordonnées sphériques de $(1,\sqrt{3},2)$ ?
5. (2 points) Quelle surface est donnée en coordonnées sphériques par $\rho \sin (\varphi )=1$ ?

Problème 14A.7 (10 points) :

1. (5 points) On donne r^{\prime \prime \prime}(t) = (3, 4, 5), $r(0)=(7,8,9)$, r^{\prime}(0)=(1,0,0) et r^{\prime \prime}(0)=(0,1,0). Trouver $r(1)$.
2. (5 points) Quelle est la courbure de $r(t)=[t,t+t^2,t+t^2+t^3]$ en $t=0$ ?

Problème 14A.8 (10 points) :

1. (5 points) Trouver une paramétrisation $r(u,v)$ du cylindre $x^2+z^2=9$.
2. (5 points) Trouver $r(u,v)$ pour le paraboloïde $y^2+3z^2=x$.

Problème 14A.9 (10 points) :

Soit

1. (2 points) L’image de $A$ est un plan. En utilisant le produit vectoriel, écrivez-le sous la forme $ax+by+cz=d$.
2. (2 points) Quelle est la première forme fondamentale $g=A^{T}A$ ?
3. (2 points) D’après a), vous avez $[a,b,c{]}^T=v\times w$. Calculer $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
4. (2 points) Trouver le facteur de distorsion $\Vert A\Vert =\sqrt{\det (A^{T}A)}$ de $A$.
5. (2 points) Quel théorème a été utilisé pour obtenir $\Vert A\Vert =|v\times w|$ ?

Problème 14A.10 (10 points) :

1. (5 points) Quelle est la matrice jacobienne $df$ de l’application $$f(x,y,z)={[x^2+y^2+z^2,x+y,-x^2]}^T?$$
2. (5 points) Trouver le facteur de distorsion $\det (df)$.

14.3 Premier Contrôle (Pratique B)

Problème 14B.1 (10 points) :

Prouver que $1+2+4+8+\cdots +2^n=2^{n+1}-1$ pour tout entier positif $n$.

Problème 14B.2 (10 points) :

1. (5 points) Réduire par lignes la matrice
2. (5 points) Calculer le produit matriciel

Problème 14B.3 (10 points) :

1. (2 points) Paramétrer la courbe $x=\sin (y)$ dans ${ℝ}^2$.
2. (2 points) Paramétrer la courbe $r={\sin }^2(5\theta )$ dans ${ℝ}^2$.
3. (2 points) Paramétrer la courbe $y=x^5+x$, $z=4$ dans ${ℝ}^3$.
4. (2 points) Paramétrer la droite $2x+y=4$ dans ${ℝ}^2$.
5. (2 points) Paramétrer l’ellipse $(x-1{)}^2+y^2/4=1$ dans ${ℝ}^2$.

Problème 14B.4 (10 points) :

Trouver la longueur d’arc de la courbe $$r(t)=\left[\begin{array}{c}{e}^t\\ e^{-t}\\ \sqrt{2}t\end{array}\right]$$ pour $0\le t\le 1$.

Problème 14B.5 (10 points) :

1. (2 points) Énoncer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
2. (2 points) Quelle formule donne l’aire du parallélogramme engendré par deux vecteurs $v$ et $w$ ?
3. (2 points) Quelle formule donne le volume d’un parallélépipède engendré par trois vecteurs $u$, $v$, $w$ ?
4. (2 points) Qui a inventé les quaternions ?
5. (2 points) Supposons $\mathrm{rref}(A)=\mathrm{rref}(B)$. Cela implique-t-il que $A=B$ ?

Problème 14B.6 (10 points) :

1. (2 points) Écrire le nombre complexe $z=e^{-i\pi /2}$ sous la forme $z=a+ib$.
2. (2 points) Quel point $(x,y,z)$ a pour coordonnées cylindriques $(r,\theta ,z)=(1,\pi /2,0)$ ?
3. (2 points) Quelles sont les coordonnées sphériques $(\rho ,\varphi ,\theta )$ du point $(x,y,z)=(\sqrt{2},\sqrt{2},-2)$ ?
4. (2 points) Quelle surface est $\rho {\sin }^2(\varphi )=\cos (\varphi )$ ? Donner son nom et l’écrire en coordonnées cartésiennes.
5. (2 points) Quelle surface est donnée en coordonnées cylindriques par l’équation $r\sin (\theta )=2$ ?

Problème 14B.7 (10 points) :

1. (5 points) On donne r^{\prime \prime}(t)=\left[\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ t\end{array}\right], \quad r(0)=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right], \quad r^{\prime}(0)=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]. Trouver $r(1)$.
2. (5 points) Quelle est la courbure de $$r(t)=\left[\begin{array}{c}\cos (t)\\ \sin (t)\\ t\end{array}\right]$$ en $t=0$ ?

Problème 14B.8 (10 points) :

1. (2 points) Trouver une paramétrisation du cône $x^2+y^2=z^2$.
2. (2 points) Trouver une paramétrisation de $x^2/4+y^2/9+z^2/16=1$.
3. (2 points) Trouver une paramétrisation de la surface $x^2-y^2=z$.
4. (2 points) Trouver une paramétrisation du plan $z=2$.
5. (2 points) Trouver une paramétrisation du cylindre $x^2+z^2=1$.

Problème 14B.9 (10 points) :

1. (5 points) Calculer le produit scalaire $A\cdot B=\mathrm{tr}(A^{T}B)$ entre les deux matrices \begin{aligned} & A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right], \\ & B=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right]. \end{aligned}
2. (5 points) Trouver le cosinus de l’angle entre ces deux matrices.

Problème 14B.10 (10 points) :

1. (5 points) Quelle est la matrice jacobienne $df$ du changement de coordonnées $$f\left(\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}2x-y+\sin (x)\\ x\end{array}\right].$$
2. (5 points) Quel est le facteur de distorsion $\det (df)$ de l’application $f$ qui, soit dit en passant, est appelée l’application de Chirikov.

14.4 Premier Contrôle

Problème 14.1 (10 points) :

Prouver par récurrence que pour tout $n\ge 1$ la formule $2\sum _{k=0}^{n-1}{3}^k=$ $3^n-1$ est vraie.

Problème 14.2 (10 points) :

1. (5 points) Réduire par lignes la matrice en utilisant les étapes élémentaires de réduction par lignes.
2. (5 points) Pour , calculer soit $AB$ soit $BA$ selon celui qui a un sens.

Problème 14.3 (10 points) :

1. (2 points) Paramétrer la courbe $4x^2+y^2=1$ dans ${ℝ}^2$.
2. (2 points) Paramétrer la courbe $y-e^x=0$ dans ${ℝ}^2$.
3. (2 points) Paramétrer la courbe $x=y^3$, $z=4$ dans ${ℝ}^3$.
4. (2 points) Paramétrer la droite $x+y=4$, $z=2$ dans ${ℝ}^3$.
5. (2 points) Paramétrer le cercle $x^2+y^2+z^2=4$, $z=1$ dans ${ℝ}^3$.

Problème 14.4 (10 points) :

1. (8 points) Calculer la longueur d’arc de $r(t)=[\frac{t^3}{3},\sqrt{2}\frac{t^4}{4},\frac{t^5}{5}]$ pour $0\le t\le 1$.
2. (2 points) Sans aucun calcul, quelle est la longueur d’arc de la nouvelle paramétrisation $r(t^3)$ avec $0\le t\le 1$ ?

Problème 14.5 (10 points) :

1. (2 points) Énoncer la formule d’Al-Kashi.
2. (2 points) Nous avons vu un théorème de Heine-$\dots \dots$. Donnez le deuxième nom !
3. (2 points) L’espace linéaire $\{x\mid Ax=0\}$ est aussi appelé le $\dots \dots$ de $A$.
4. (2 points) Donner la formule d’Euler $e^{it}=\dots \dots$ et en déduire la « plus belle formule des mathématiques ».
5. (2 points) La matrice est-elle sous forme échelonnée réduite ?

Problème 14.6 (10 points) :

1. (2 points) Exprimer $z=e^{i\pi /2}+3e^{i\pi }$ sous la forme $z=a+ib$.
2. (2 points) Écrire $(r,\theta ,z)=(2,-\pi /2,0)$ en coordonnées cartésiennes.
3. (2 points) Écrire $(x,y,z)=(2,2,0)$ en coordonnées sphériques $(\rho ,\varphi ,\theta )$.
4. (2 points) Écrire la surface $\rho \cos (\varphi )=2$ en coordonnées cartésiennes.
5. (2 points) Écrire la surface $r\cos (\theta )=2$ en coordonnées cartésiennes.

Problème 14.7 (10 points) :

1. (5 points) On donne r^{\prime \prime}(t)=\left[\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ \cos (t)\end{array}\right], \quad r(0)=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right], \quad r^{\prime}(0)=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right]. Trouver $r(1)$.
2. (2 points) Existe-t-il un temps $t$ tel que la courbe $r(t)$ atteigne le sol $z=0$ ?
3. (3 points) Quelle est la courbure de $$r(t)=\left[\begin{array}{c}{t}^2\\ \cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right]$$ en $t=0$ ?

Problème 14.8 (10 points) :

Nous paramétrons quelques surfaces. Choisissez les paramètres vous-mêmes.

1. (2 points) Trouver une paramétrisation de l’hyperboloïde $x^2+y^2-z^2=1$.
2. (2 points) Trouver une paramétrisation du cylindre $(x-1{)}^2/4+y^2/9=1$.
3. (2 points) Trouver une paramétrisation de la surface $z=\cos (xy)$.
4. (2 points) Trouver une paramétrisation du plan $x+y-3z=1$.
5. (2 points) Trouver une paramétrisation du cylindre $x^2/9+(y-2{)}^2=1$.

Problème 14.9 (10 points) :

1. (4 points) Calculer le produit scalaire (produit interne) $A\cdot B=\mathrm{tr}(A^{T}B)$ des deux matrices
2. (4 points) Déterminer maintenant le cosinus de l’angle entre $A$ et $B$.
3. (2 points) Enfin, trouver la distance $|A-B|$ entre $A$ et $B$.

Problème 14.10 (10 points) :

1. (4 points) Quelle est la matrice jacobienne $dr$ du changement de coordonnées $$r\left(\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}4x+y\\ y^2\end{array}\right]?$$
2. (2 points) Trouver maintenant la première forme fondamentale $g=d{r}^{T}dr$.
3. (2 points) Calculer le facteur de distorsion $|\det (dr)|$.