Contradiction et déformation

Table des matières

15.1 INTRODUCTION
15.2 SÉMINAIRE
EXERCICES

15.1 INTRODUCTION

15.1.1 Preuve par contradiction

Une des erreurs logiques les plus courantes dans l'argumentation logique est d'inverser une implication. Si $A$ implique $B$ , alors $B$ implique $A$ . N'est-ce pas ? Si vous êtes un idiot, vous faites des choses stupides. Donc, si vous faites des choses stupides, vous êtes un idiot. Ce n'est pas vrai. L'implication $A \Rightarrow B$ n'implique pas $B \Rightarrow A$ , mais elle implique $\neg B ⟹ \neg A$ . Cela s'appelle la contradiction. On note $\neg A$ la négation de $A$ . La méthode de la « reductio ad absurdum » est liée à la contradiction. Pour prouver un énoncé $B$ à partir d'énoncés $A$ , on peut supposer que $B$ est faux et en déduire que $A$ est faux.

**Figure 1.** Reductio ad absurdum. Peinture du peintre écossais John Pettie (1839-1993). Cette image figure sur la page Wikipédia consacrée à la reductio ad absurdum.

15.1.2 Inverser les implications est une erreur logique : un exemple

Voici un exemple : soit $A$ l'énoncé « Il pleut ». Et soit $B$ l'énoncé « La rue est mouillée ». Il est évident que $A$ implique $B$ . Mais $B$ n'implique pas $A$ . Il se pourrait que la rue soit mouillée à cause d'une pluie qui s'est arrêtée plus tôt ou que quelqu'un nettoyait la rue. Mais on peut en conclure : si la rue n'est pas mouillée, alors il ne pleut pas. L'énoncé $A ⟹ B$ est en effet équivalent à $\neg B ⟹ \neg A$ .

15.1.3 La beauté et le danger de la preuve par contradiction

Geoffrey Hardy décrit ainsi : « La preuve est par reductio ad absurdum, et la reductio ad absurdum, qu'Euclide aimait tant, est l'une des plus belles armes du mathématicien. » Mais tout mathématicien ayant fait des preuves connaît les écueils. Voici une déclaration bien formulée de Henry Cohn du MIT : « Malheureusement, cette technique de preuve peut vraiment poser des problèmes aux débutants. Typiquement, ce qui arrive est que la preuve commence de manière assez raisonnable, puis se perd dans un labyrinthe de complexité. Quelque part dans la confusion, une erreur est commise, ce qui conduit à une contradiction. Alors il semble que la preuve soit terminée, mais malheureusement la contradiction n'a rien à voir avec l'hypothèse initiale et provient uniquement de l'erreur au milieu. »

15.2 SÉMINAIRE

15.2.1 Au-delà des preuves directes : techniques de contradiction et de déformation

Nous avons déjà vu une technique de preuve, la « méthode d'induction ». D'autres preuves ont été faites soit par des calculs directs, soit en combinant des théorèmes ou des inégalités déjà connus. Aujourd'hui, nous examinons deux nouvelles techniques de preuve fondamentalement différentes. La première est la méthode « par contradiction ». La seconde méthode est la « méthode de déformation ». Les deux méthodes sont illustrées par un théorème.

15.2.2 Surprise pythagoricienne

Le premier théorème est l'un des résultats les plus anciens en mathématiques. C'est le théorème d'Hypassus datant de 500 av. J.-C. Ce résultat a tellement choqué les pythagoriciens qu'Hypassus a été tué pour sa découverte. C'est du moins ce que racontent les rumeurs.

Théorème 1. La diagonale d'un carré unité a une longueur irrationnelle.

Preuve. $Supposons$ que l'énoncé est faux et que la diagonale a une longueur rationnelle $p / q$ . Alors, par le théorème de Pythagore, $2 = p^{2} / q^{2}$ ou $2 q^{2} = p^{2}$ . D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, le membre de gauche a un nombre impair de facteurs 2, le membre de droite un nombre pair. C'est une $contradiction$ . L'hypothèse doit être fausse. ◻

Problème A : Prouver que la racine cubique de $2$ est irrationnelle.

15.2.3 Compléter une preuve géométrique de la diagonale irrationnelle

Notez que la preuve reposait sur le théorème fondamental de l'arithmétique qui assure que tout entier a une factorisation première unique.

Problème B : La figure (15.2) est une preuve géométrique par contradiction qui n'a pas besoin du théorème fondamental de l'arithmétique. Complétez la preuve.¹

**Figure 2.** $\sqrt{2}$ est irrationnel. Commencez par supposer que la longueur du côté et la diagonale du grand carré jaune sont des entiers. Concluez que pour le carré orange strictement plus petit, la longueur du côté et la diagonale sont des entiers.

15.2.4 Au-delà de la contradiction

Les preuves par contradiction peuvent être dangereuses. Une preuve défectueuse peut « $supposer le contraire$ , manipuler des arguments, faire une erreur quelque part et obtenir une $contradiction$ . CQFD ». Mieux qu'une preuve par contradiction est une preuve constructive.

15.2.5 Une preuve non constructive des puissances rationnelles de nombres irrationnels

Voici une preuve non constructive qui est étonnante :

Théorème 2. Il existe deux nombres irrationnels $x$ , $y$ tels que $x^{y}$ est rationnel.

Preuve. Il y a deux possibilités. Soit $z = {\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ est irrationnel ou non. Dans le premier cas, nous avons trouvé un exemple où $x = y = \sqrt{2}$ . Dans le second cas, prenez $x = z$ et $y = \sqrt{2}$ . Alors $x^{y} = {\sqrt{2}}^{2} = 2$ est rationnel et nous avons un exemple. ◻

15.2.6 Exploration de la courbure et du théorème de Hopf Umlaufsatz

La deuxième technique de preuve que nous voyons aujourd'hui est un argument de déformation. Pour l'illustrer, prenons une courbe $C^{2}$ fermée dans $ℝ^{2}$ sans auto-intersections. Nous avons déjà défini sa courbure $κ (t)$ . Pour les courbes dans $ℝ^{2}$ , on définit la courbure signée $K (t)$ . Si la courbe est paramétrée de sorte que |r^{\prime}(t)|=1 et $T (t) = [\cos (α (t)), \sin (α (t))]$ , alors K(t)=\alpha^{\prime}(t). Notez que \kappa(t)=|T^{\prime}(t)|=\big|[-\sin (\alpha(t)), \cos (\alpha(t))] \alpha^{\prime}(t)\big|=|K(t)|. Maintenant, si nous avons une courbe $r : [a, b] \to ℝ^{2}$ , nous pouvons définir la courbure totale comme $\int_{a}^{b} K (t) d t$ . D'après le théorème fondamental du calcul, cette courbure totale est la variation de l'angle $α (b) - α (a)$ . Maintenant, si la courbe est fermée, les angles initial et final doivent différer d'un multiple de $2 π$ . Le théorème de Hopf Umlaufsatz dit que

Théorème 3. La courbure totale d'une courbe simple fermée est $2 π$ ou $- 2 π$ .

**Figure 3.** Quatre courbes simples fermées pour lesquelles il n'est pas évident que la courbure totale soit $2 π$ .

Problème C :

Pourquoi la courbure totale n'est-elle pas toujours $2 π$ ?
Formulez ce qui se passe dans la figure (15.4).

**Figure 4.** Preuve de déformation de Hopf : chaque image montre la droite passant par $r (s)$ , $r (t)$ et à droite le paramètre $(s, t)$ . Dans la colonne de gauche, où $s = t$ , on a affaire au retournement de la tangente. Nous devons montrer qu'elle tourne de $2 π$ . Les colonnes suivantes déforment la situation où le chemin à travers le carré des paramètres est modifié. Dans la colonne la plus à droite, nous tournons deux fois le segment de $π$ , soit au total $2 π$ .

EXERCICES

Exercice 1. Démontrez par contradiction que $\sqrt{12}$ est irrationnel.

Exercice 2. Démontrez par contradiction que $\log_{10} (2)$ est irrationnel. $\log_{10}$ est le logarithme en base $10$ .

Exercice 3. Démontrez par contradiction qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4 k - 1$ .

Indice : Si $p_{i}$ sont de la forme $4 k - 1$ , alors $4 \prod_{j} p_{i} - 1$ est aussi de la forme $4 k - 1$ .

Exercice 4. Vérifiez le théorème de Hopf Umlaufsatz pour un cercle de rayon $5$ , où $r (t) = [\begin{matrix} 5 \cos (t) \\ 5 \sin (t) \end{matrix}] .$ Facultatif : que dit le théorème d'Umlaufsatz pour un triangle ?

**Figure 5.** Pouvez-vous adapter le théorème de Hopf Umlaufsatz pour les triangles ?

Exercice 5. Il existe une variante de la preuve par contradiction qui est la preuve par descente infinie. Elle a été utilisée pour prouver un cas particulier du grand théorème de Fermat. Ce résultat particulier dit que l'équation $r^{2} + s^{4} = t^{4}$ n'a pas de solution avec $r$ , $s$ , $t$ positifs. Recherchez et écrivez la preuve de ce théorème.

**Figure 6.** Pierre de Fermat : recadré d'une photo de Didier Descouens montrant le Monument à Pierre de Fermat par Alexandre Falguière à Beaumont-de-Lomagne, Tarn-et-Garonne, France.

Pour plus d'explications, voir https://www.youtube.com/watch?v=Ih16BIoR9eM ↩︎