Règles de la Somme, de la Différence, du Produit et du Quotient

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Les règles de la somme et de la différence

Nous avons appris à différencier des fonctions algébriques simples telles que \(x^2 + c\) ou \(ax^4\), et nous devons maintenant considérer comment aborder la somme de deux ou plusieurs fonctions.

Par exemple, soit \[y = (x^2+c) + (ax^4+b);\] quelle sera sa \(\dfrac{dy}{dx}\)? Comment devons-nous aborder ce nouveau travail?

La réponse à cette question est assez simple : il suffit de les différencier, l'une après l'autre, ainsi : \[\dfrac{dy}{dx} = 2x + 4ax^3.\quad (\text{Réponse}.)\]

Si vous avez des doutes quant à savoir si cela est correct, essayez un cas plus général, en travaillant d'abord par les premiers principes. Et voici comment.

Soit \(y = u+v\), où \(u\) est une fonction quelconque de \(x\), et \(v\) une autre fonction quelconque de \(x\). Ensuite, en laissant \(x\) augmenter jusqu'à \(x+dx\), \(y\) augmentera jusqu'à \(y+dy\); et \(u\) augmentera jusqu'à \(u+du\); et \(v\) jusqu'à \(v+dv\).

Et nous aurons : \[y+dy = u+du + v+dv.\] En soustrayant l'original \(y = u+v\), nous obtenons \[dy = du+dv,\] et en divisant par \(dx\), nous obtenons : \[\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{du}{dx} + \dfrac{dv}{dx}.\]

Cela justifie la procédure. Vous différenciez chaque fonction séparément et additionnez les résultats. Cela s'appelle la règle de la somme.

\[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{y=u+v\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}+\dfrac{dv}{dx}}\tag{Règle de la somme}\]

Exemple 6.1. Si nous prenons maintenant l'exemple du paragraphe précédent, et insérons les valeurs des deux fonctions, nous aurons, en utilisant la notation montrée \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{d(x^2+c)}{dx} + \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\ &= 2x + 4ax^3, \end{align}\] exactement comme avant.

S'il y avait trois fonctions de \(x\), que nous pouvons appeler \(u\), \(v\) et \(w\), de sorte que \[\begin{align} y &= u+v+w; \end{align}\] alors \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} + \frac{dw}{dx}. \end{align}\]

Quant à la soustraction, elle en découle immédiatement; car si la fonction \(v\) avait eu elle-même un signe négatif, sa dérivée serait également négative; de sorte qu'en différenciant \[\begin{align} y &= u-v, \end{align}\] nous devrions obtenir \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}. \end{align}\] Cela s'appelle la règle de la différence. \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{y=u-v\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}-\dfrac{dv}{dx}}\tag{Règle de la différence}\]

La règle du produit

Quand nous avons affaire aux produits, ce n'est pas aussi simple.

Supposons que l'on nous demande de différencier l'expression \[y = (x^2+c) \times (ax^4+b),\] que devons-nous faire? Le résultat ne sera certainement pas \(2x \times 4ax^3\); car il est facile de voir que ni \(c \times ax^4\), ni \(x^2 \times b\) n'auraient été pris en compte dans ce produit.

Il y a maintenant deux manières de procéder.

Faire la multiplication en premier, et, après l'avoir résolue, différencier ensuite.

En conséquence, nous multiplions ensemble \(x^2 + c\) et \(ax^4 + b\).

Cela donne \[ax^6 + acx^4 + bx^2 + bc.\]

Maintenant, différencions, et nous obtenons: \[\dfrac{dy}{dx} = 6ax^5 + 4acx^3 + 2bx.\]

Revenons aux premiers principes, et considérons l'équation \[y = u \times v;\] où \(u\) est une fonction de \(x\), et \(v\) est une autre fonction de \(x\). Ensuite, si \(x\) devient \(x+dx\); et \(y\) devient \(y+dy\); et \(u\) devient \(u+du\), et \(v\) devient \(v+dv\), nous aurons: \[\begin{align} y + dy &= (u + du) \times (v + dv) \\ &= u \cdot v + u \cdot dv + v \cdot du + du \cdot dv. \end{align}\]

Maintenant \(du \cdot dv\) est une quantité petite du second ordre de petitesse, et donc dans la limite peut être négligée, laissant \[y + dy = u \cdot v + u \cdot dv + v \cdot du.\]

Puis, en soustrayant l'original \(y = u\cdot v\), il reste \[dy = u \cdot dv + v \cdot du;\] et, en divisant par \(dx\), nous obtenons le résultat: \[\dfrac{dy}{dx} = u\, \dfrac{dv}{dx} + v\, \dfrac{du}{dx}.\]

Cela montre que nos instructions seront les suivantes: Pour différencier le produit de deux fonctions, multipliez chaque fonction par la dérivée de l'autre, et additionnez ensuite les deux produits obtenus. Cela s'appelle la règle du produit.

Vous devriez noter que ce processus revient à ce qui suit: Traitez \(u\) comme constant pendant que vous différenciez \(v\); puis traitez \(v\) comme constant pendant que vous différenciez \(u\); et toute la dérivée \(\dfrac{dy}{dx}\) sera la somme de ces deux traitements.

\[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{y=u\times v\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx} = u\, \dfrac{dv}{dx} + v\, \dfrac{du}{dx}}\tag{Règle du produit}\]

Maintenant, ayant trouvé cette règle, appliquez-la à l'exemple concret qui a été considéré ci-dessus.

Exemple 6.2. Nous voulons différencier le produit \[(x^2 + c) \times (ax^4 + b).\]

Appelons \((x^2 + c) = u\); et \((ax^4 + b) = v\).

Ensuite, par la règle générale récemment établie, nous pouvons écrire: \[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= (x^2 + c)\, \frac{d(ax^4 + b)}{dx} &&+ (ax^4 + b)\, \frac{d(x^2 + c)}{dx} \\ &= (x^2 + c)\, 4ax^3 &&+ (ax^4 + b)\, 2x \\ &= 4ax^5 + 4acx^3 &&+ 2ax^5 + 2bx, \end{align}\] \[\dfrac{dy}{dx}= 6ax^5 + 4acx^3 + 2bx,\]

exactement comme avant.

La règle du quotient

Enfin, nous devons différencier les quotients.

Pensez à cet exemple, \(y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a}\). Dans un tel cas, il est inutile d'essayer de résoudre la division à l'avance, car \(x^2 + a\) ne s'annulera pas dans \(bx^5 + c\), ni n'ont-ils de facteur commun. Donc il ne reste rien d'autre à faire que de revenir aux premiers principes, et de trouver une règle.

Donc, nous allons mettre \[y = \frac{u}{v};\] où \(u\) et \(v\) sont deux fonctions différentes de la variable indépendante \(x\). Ensuite, quand \(x\) devient \(x + dx\), \(y\) deviendra \(y + dy\); et \(u\) deviendra \(u + du\); et \(v\) deviendra \(v + dv\). Alors \[y + dy = \dfrac{u + du}{v + dv}.\] Maintenant, effectuez la division algébrique, ainsi:

image

Comme ces deux restes sont de faibles quantités du second ordre, ils peuvent être négligés, et la division peut s'arrêter ici, car tout reste ultérieur serait de magnitudes encore plus faibles.

Ainsi, nous avons obtenu : \[y + dy = \dfrac{u}{v} + \dfrac{du}{v} - \dfrac{u\cdot dv}{v^2};\] qui peut être écrit \[= \dfrac{u}{v} + \dfrac{v\cdot du - u\cdot dv}{v^2}.\] Maintenant, soustrayez l'original \(y = \dfrac{u}{v}\), et il reste: \[dy = \dfrac{v\cdot du - u\cdot dv}{v^2};\] donc, \[\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{v\, \dfrac{du}{dx} - u\, \dfrac{dv}{dx}}{v^2}.\]

Une approche différente pour obtenir la règle du quotient est d'écrire le quotient \[y=\frac{u}{v}\] comme \[u=yv.\] Si on différencie les deux côtés par rapport à \(x\), par la règle du produit on obtient \[\frac{du}{dx}=y\frac{dv}{dx}+v\frac{dy}{dx}.\] Résoudre pour \(\dfrac{dy}{dx}\) donne \[\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{du}{dx}-y\dfrac{dv}{dx}}{v}\] Maintenant si nous faisons la substitution \(y=\dfrac{u}{v}\) dans le côté droit de la formule ci-dessus, nous obtenons \[\begin{align} \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{du}{dx}-\dfrac{u}{v}\dfrac{dv}{dx}}{v} \end{align}\] ou \[\begin{align} \frac{dy}{dx}=\frac{v\dfrac{du}{dx}-u\dfrac{dv}{dx}}{v^2}, \end{align}\] comme précédemment.

Cela nous donne nos instructions sur la manière de différencier un quotient de deux fonctions. Multipliez la fonction du diviseur par la dérivée de la fonction du dividende; puis multipliez la fonction du dividende par la dérivée de la fonction du diviseur; et soustrayez. Enfin, divisez par le carré de la fonction du diviseur. Cela s'appelle la règle du quotient.

\[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{y=\dfrac{u}{v}\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v\dfrac{du}{dx}-u\dfrac{dv}{dx}}{v^2}}\tag{Règle du quotient}\]

Exemple 6.3. Revenons à notre exemple \(y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a}\),

écrivons \[bx^5 + c = u;\] et \[x^2 + a = v.\]

Ensuite \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + a)\, \dfrac{d(bx^5 + c)}{dx} - (bx^5 + c)\, \dfrac{d(x^2 + a)}{dx}}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{(x^2 + a)(5bx^4) - (bx^5 + c)(2x)}{(x^2 + a)^2}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3bx^6 + 5abx^4 - 2cx}{(x^2 + a)^2}.\quad {(\text{Réponse}.)} \end{align}\]

Travailler avec les quotients est souvent fastidieux, mais il n'y a rien de difficile à cela.

Plusieurs exemples supplémentaires entièrement résolus sont donnés ci-après.

 

Exemple 6.4. Différenciez \(y = \dfrac{a}{b^2} x^3 - \dfrac{a^2}{b} x + \dfrac{a^2}{b^2}\).

Solution. Étant une constante, \(\dfrac{a^2}{b^2}\) s'annule, et nous avons \[\frac{dy}{dx} = \frac{a}{b^2} \times 3 \times x^{3-1} - \frac{a^2}{b} \times 1 \times x^{1-1}.\]

Mais \(x^{1-1} = x^0 = 1\); donc nous obtenons: \[\frac{dy}{dx} = \frac{3a}{b^2} x^2 - \frac{a^2}{b}.\]

Exemple 6.5. Différenciez \(y = 2a\sqrt{bx^3} - \dfrac{3b \sqrt[3]{a}}{x} - 2\sqrt{ab}\).

Solution. En mettant \(x\) sous forme d'indice, nous obtenons \[y = 2a\sqrt{b} x^{\frac{3}{2}} - 3b \sqrt[3]{a} x^{-1} - 2\sqrt{ab}.\]

Maintenant \[\frac{dy}{dx} = 2a\sqrt{b} \times \dfrac{3}{2} \times x^{\frac{3}{2}-1} - 3b\sqrt[3]{a} \times (-1) \times x^{-1-1};\] ou, \[\frac{dy}{dx} = 3a\sqrt{bx} + \frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}.\]

Exemple 6.6. Différenciez \(z = 1.8 \sqrt[3]{\dfrac{1}{\theta^2}} - \dfrac{4.4}{\sqrt[5]{\theta}} - 27\).

Solution. Cela peut être écrit: \(z= 1.8\, \theta^{-\frac{2}{3}} - 4.4\, \theta^{-\frac{1}{5}} - 27\).

Le \(27\) s'annule, et nous avons \[\frac{dz}{d\theta} = 1.8 \times -\dfrac{2}{3} \times \theta^{-\frac{2}{3}-1} - 4.4 \times \left(-\dfrac{1}{5}\right)\theta^{-\frac{1}{5}-1};\] ou, \[\frac{dz}{d\theta} = -1.2\, \theta^{-\frac{5}{3}} + 0.88\, \theta^{-\frac{6}{5}};\] or, \[\frac{dz}{d\theta} = \frac{0.88}{\sqrt[5]{\theta^6}} - \frac{1.2}{\sqrt[3]{\theta^5}}.\]

Exemple 6.7. Différenciez \(v = (3 t^2 - 1.2 t + 1)^3\).

Solution. Une méthode directe pour faire cela sera expliquée plus tard; mais nous pouvons néanmoins le faire maintenant sans aucune difficulté.

En développant le cube, nous obtenons \[v = 27 t^6 - 32.4 t^5 + 39.96 t^4 - 23.328 t^3 + 13.32 t^2 - 3.6 t + 1;\] donc \[\frac{dv}{dt} = 162 t^5 - 162 t^4 + 159.84 t^3 - 69.984 t^2 + 26.64 t - 3.6.\]

Exemple 6.8. Différenciez \(y = (2x - 3)(x + 1)^2\).

Solution. \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= (2x - 3)\, \frac{d\bigl[(x + 1)(x + 1)\bigr]}{dx}+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= (2x - 3) \left[(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}+(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right] + (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= 2(x + 1)\bigl[(2x - 3) + (x + 1)\bigr]\\ & = 2(x + 1)(3x - 2); \end{align}\] ou, plus simplement, développez et dérivez ensuite.

Exemple 6.9. Différenciez \(y = 0.5 x^3(x-3)\).

Solution. \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= 0.5\left[x^3 \frac{d(x-3)}{dx} + (x-3) \frac{d(x^3)}{dx}\right] \\ &= 0.5\left[x^3 + (x-3) \times 3x^2\right] = 2x^3 - 4.5x^2. \end{align}\]

Mêmes remarques que pour l'exemple précédent.

Exemple 6.10. Différenciez \(w = \left(\theta + \dfrac{1}{\theta}\right) \left(\sqrt{\theta} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta}}\right)\).

Solution. Cela peut être écrit \[w = (\theta + \theta^{-1})(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}).\] \[\begin{align} \frac{dw}{d\theta} &= (\theta + \theta^{-1}) \frac{d(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})}{d\theta} + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}) \frac{d(\theta+\theta^{-1})}{d\theta} \\  &= (\theta + \theta^{-1})(\tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{1}{2}} - \tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{3}{2}}) + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})(1 - \theta^{-2}) \\  &= \tfrac{1}{2}(\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) + (\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) \\&= \tfrac{3}{2} \left(\sqrt{\theta} - \frac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) + \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{\theta}} - \frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \end{align}\]

Cela, à nouveau, pourrait être obtenu plus simplement en multipliant d'abord les deux facteurs, puis en dérivant par la suite. Cela n'est cependant pas toujours possible; voir, par exemple, l'Exemple 15.8, dans lequel la règle pour différencier un produit doit être utilisée.

Exemple 6.11. Différenciez \(y =\dfrac{a}{1 + a\sqrt{x} + a^2x}\).

Solution. \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x) \times 0 - a\dfrac{d(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)}{dx}} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2} \\ &= - \frac{a(\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}} + a^2)} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2}. \end{align}\]

Exemple 6.12. Différenciez \(y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}\).

Solution. \[\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x^2 + 1)\, 2x - x^2 \times 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}.\]

Exemple 6.13. Différenciez \(y = \dfrac{a + \sqrt{x}}{a - \sqrt{x}}\).

Solution. Sous forme indexée, \(y = \dfrac{a + x^{\frac{1}{2}}}{a - x^{\frac{1}{2}}}\). \[\frac{dy}{dx} = \frac{(a - x^{\frac{1}{2}})( \tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}) - (a + x^{\frac{1}{2}})(-\tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}})} {(a - x^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{ a - x^{\frac{1}{2}} + a + x^{\frac{1}{2}}} {2(a - x^{\frac{1}{2}})^2\, x^{\frac{1}{2}}};\] donc \[\frac{dy}{dx} = \frac{a}{(a - \sqrt{x})^2\, \sqrt{x}}.\]

Exemple 6.14. Différenciez \[\theta = \frac{1 - a \sqrt[3]{t^2}}{1 + a \sqrt[2]{t^3}}.\]

Solution. Maintenant \[\begin{align} \theta &= \frac{1 - at^{\frac{2}{3}}}{1 + at^{\frac{3}{2}}}. \\[9pt] \frac{d\theta}{dt} &= \frac{(1 + at^{\frac{3}{2}}) (-\tfrac{2}{3} at^{-\frac{1}{3}}) - (1 - at^{\frac{2}{3}}) \times \tfrac{3}{2} at^{\frac{1}{2}}} {(1 + at^{\frac{3}{2}})^2} \\ &= \frac{5a^2 \sqrt[6]{t^7} - \dfrac{4a}{\sqrt[3]{t}} - 9a \sqrt[2]{t}} {6(1 + a \sqrt[2]{{t^3}})^2}. \end{align}\]

Exemple 6.15. Un réservoir de section carrée a des côtés inclinés à un angle de \(45^\circ\) avec la verticale. Le côté du fond mesure \(200\) pieds. Trouvez une expression pour la quantité entrant ou sortant lorsque la profondeur de l'eau varie de \(1\) pied; trouvez ensuite, en gallons, la quantité retirée à l'heure lorsque la profondeur est réduite de \(14\) à \(10\) pieds en \(24\) heures.

Le volume d'un tronc de pyramide (voir la figure suivante) de hauteur \(H\), et de bases \(A\) et \(a\), est \(V = \dfrac{H}{3} \left(A + a + \sqrt{Aa} \right)\).

 

Solution. Il est facile de voir que, la pente étant \(45^\circ\), si la profondeur est \(h\), la longueur du côté de la surface carrée de l'eau est de \(200 + 2h\) pieds (voir la figure suivante), de sorte que le volume d'eau est \[\dfrac{h}{3} [200^2 + (200 + 2h)^2 + 200(200 + 2h)] = 40,000 h + 400 h^2 + \dfrac{4 h^3}{3}.\]

 

\(\dfrac{dV}{dh} = 40,000 + 800h + 4h^2 = {}\) pieds cubes par pied de variation de profondeur. Le niveau moyen, de \(14\) à \(10\) pieds, est de \(12\) pieds, lorsque \(h = 12\), \(\dfrac{dV}{dh} = 50,176\) pieds cubes.

Gallons par heure correspondant à une variation de profondeur de \(4\) pieds en \(24\) heures \({} = \dfrac{4 \times 50,176 \times 6.25}{24} = 52,267\) gallons.

Exemple 6.16. La pression absolue, en atmosphères, \(P\), de la vapeur saturée à la température \(T\) mesurée en degrés Celsius est donnée par Dulong comme étant \(P = \left( \dfrac{40 + T}{140} \right)^5\) tant que \(T\) est supérieur à \(80\,^\circ\)C. Trouvez le taux de variation de la pression avec la température à \(100\,^\circ\)C.

Solution. Développez le numérateur par le théorème binomial (voir l'appendice). \[P = \frac{1}{140^5}\left (40^5 + 5\times40^4 T+ 10 \times 40^3 T^2 + 10 \times 40^2 T^3 + 5 \times 40 T^4 + T^5\right);\]

donc \[\begin{align} \dfrac{dP}{dT} = &\dfrac{1}{537,824 \times 10^5}\left(5 \times 40^4 + 20 \times 40^3 T + 30 \times 40^2 T^2 + 20 \times 40 T^3 + 5 T^4\right), \end{align}\] quand \(T = 100\) cela devient \(0.036\) atmosphère par degré de variation de température.

Exercices

Exercice 6.1. Différenciez

\(u = 1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3} + \dotsb\).

\(y = ax^2 + bx + c\).

\(y = (x + a)^2\).

\(y = (x + a)^3\).

 

Réponse

(1) \(1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} + \ldots\).

 

(2) \(2ax + b\).

(3) \(2x + 2a\).

(4) \(3x^2 + 6ax + 3a^2\).

 

 

Solution

(1)

 

\[\begin{align} & u=1+x+\frac{x^{2}}{1 \times 2}+\frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}+\cdots \\ & \frac{d u}{d x}=1+x+\frac{x^{2}}{1 \times 2}+\frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}+\cdots=u \end{align}\]

(2)

\[\begin{align} & y=a x^{2}+b x+c \\ & \frac{d y}{d x}=2 a x+b \end{align}\]

(3)

\[\begin{align} & y=(x+a)^{2} \\ & y=x^{2}+2 a x+a^{2} \\ & \frac{d y}{d x}=2 x+2 a=2(x+a) \end{align}\]

(4)

\[\begin{align} y & =(x+a)^{3} \\ y & =x^{3}+3 x^{2} a+3 x a+a^{3} \\ \frac{d y}{d x} & =3 x^{2}+6 x a+3 a^{2} \\ & =3\left(x^{2}+2 a x+a^{2}\right) \\ & =3(x+a)^{2} \end{align}\]

 

Exercice 6.2. Si \(w = at - \frac{1}{2}bt^2\), trouvez \(\dfrac{dw}{dt}\).

 

Réponse

\(\dfrac{dw}{dt} = a - bt\).

 

 

Solution

 

\[\begin{align} w & =a t-\frac{1}{2} b t^{2} \\ \frac{d w}{d t} & =a-b t \end{align}\]

 

Exercice 6.3. Trouvez la dérivée de \[y = (x + \sqrt{-1}) \times (x - \sqrt{-1}).\]

 

Réponse

\(\dfrac{dy}{dx} = 2x\).

 

 

Solution

\[y=(x+\sqrt{-1})(x-\sqrt{-1})\]

 

Méthode 1) En utilisant la règle du produit, nous obtenons

\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =1 \times(x-\sqrt{-1})+1 \times(x+\sqrt{-1}) \\ & =2 x \end{align}\]

Méthode 2) Tout d'abord, simplifions l'expression \[\begin{align} y & =(x+\sqrt{-1})(x-\sqrt{-1}) \\ & =x^{2}-(\sqrt{-1})^{2} \\ & =x^{2}-(-1)=x^{2}+1 \end{align}\] Maintenant, nous pouvons facilement la différencier : \[\frac{d y}{d x} =2 x\]

 

Exercice 6.4. Différenciez \[y = (197x - 34x^2) \times (7 + 22x - 83x^3).\]

 

Réponse

\(14110x^4 - 65404x^3 - 2244x^2 + 8192x + 1379\).

 

 

Solution

\[y=\left(197 x-34 x^{2}\right) \times\left(7+22 x-83 x^{3}\right)\] Méthode a) Utiliser la règle du produit \[\begin{gathered} \frac{d y}{d x}=(197-68 x)\left(7+22 x-83 x^{3}\right)+\left(197 x-34 x^{2}\right)\left(22-249 x^{2}\right) \\ =1379+4334 x-16351 x^{3}-476 x-1496 x^{2}+5644 x^{4} \\ +4334 x-49053 x^{3}-748 x^{2}+8466 x^{4} \end{gathered}\] Donc,

 

\[\frac{d y}{d x}=14110 x^{4}-65404 x^{3}-22404 x^{2}+8192 x+1379\]

Méthode b) Développer l'expression donnée, puis différencier

\[\begin{align} y & =\left(197 x-34 x^{2}\right)\left(7+22 x-83 x^{3}\right) \\ & =2822 x^{5}-16351 x^{4}-748 x^{3}+4096 x^{2}+1379 x \\ \frac{d y}{d x} & =14110 x^{4}-65404 x^{3}-2244 x^{2}+8192 x+1379 \end{align}\]

 

Exercice 6.5. Si \(x = (y + 3) \times (y + 5)\), trouvez \(\dfrac{dx}{dy}\).

 

Réponse

\(\dfrac{dx}{dy} = 2y + 8\).

 

 

Solution

\[x=(y+3)(y+5)\]

 

En utilisant la règle du produit, nous obtenons : \[\begin{align} \frac{d x}{d y}&=\frac{d(y+3)}{dy}(y+5)+\frac{d(y+5)}{dy}(y+3) \\ &=1(y+5)+1(y+3)\\ & =2 y+8 \end{align}\]

 

Exercice 6.6. Différenciez \(y = 1.3709x \times (112.6 + 45.202x^2)\).

 

Réponse

\(185.9022654x^2 + 154.36334\).

 

 

Solution

 

\[\begin{gathered} y=1.3709 x \times\left(112.6+45.202 x^{2}\right) \\ \frac{d y}{d x}=1.3709\left(112.6+45.202 x^{2}\right)+1.3709 x(90.404 x) \\ =154.36334+61.9674218 x^{2}+123.9348436 x^{2} \\ =185.9022654 x^{2}+154.36334 \end{gathered}\]

 

Trouvez les dérivées de

Exercice 6.7. \(y = \dfrac{2x + 3}{3x + 2}\).

 

Réponse

\(\dfrac{-5}{(3x + 2)^2}\).

 

 

Solution

 

\[y=\frac{2 x+3}{3 x+2}\]

En utilisant la règle du quotient, nous obtenons:

\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{\dfrac{d(2x+3)}{dx}(3x+2)-\dfrac{d(3x+2)}{dx}(2x+3)}{(3x+2)^2}\\ &=\frac{2(3 x+2)-3(2 x+3)}{(3 x+2)^{2}} \\ & =-\frac{5}{(3 x+2)^{2}} \end{align}\]

 

Exercice 6.8. \(y = \dfrac{1 + x + 2x^2 + 3x^3}{1 + x + 2x^2}\).

 

Réponse

\(\dfrac{6x^4 + 6x^3 + 9x^2}{(1 + x + 2x^2)^2}\).

 

 

Solution

 

\[y=\frac{1+x+2 x^{2}+3 x^{3}}{1+x+2 x^{2}}\] En utilisant la règle du quotient, nous obtenons

\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & = \frac{\dfrac{d(1+x+2 x^{2}+3 x^{3})}{dx}\left(1+x+2 x^{2}\right)-\dfrac{d(1+x+2 x^{2})}{dx}(1+x+2 x^{2}+3 x^{3})}{\left(1+x+2 x^{2}\right)^2}\\ &=\frac{\left(1+4 x+9 x^{2}\right)\left(1+x+2 x^{2}\right)-(1+4 x)\left(1+x+2 x^{2}+3 x^{3}\right)}{(1+x+2 x)^{2}} \\ & =\frac{6 x^{4}+6 x^{3}+9 x^{2}}{(1+x+2 x)^{2}} \end{align}\]

 

Exercice 6.9. \(y = \dfrac{ax + b}{cx + d}\).

 

Réponse

\(\dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}\).

 

 

Solution

 

\[\begin{gathered} y=\frac{a x+b}{c x+d} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{a(c x+d)-c(a x+b)}{(c x+d)^{2}} \\ =\frac{a d-c b}{(c x+d)^{2}} \end{gathered}\]

 

Exercice 6.10. \(y = \dfrac{x^n + a}{x^{-n} + b}\).

 

Réponse

\(\dfrac{anx^{-n-1} + bnx^{n-1} + 2nx^{-1}}{(x^{-n} + b)^2}\).

 

 

Solution

\[\begin{align} \frac{dy}{d x}&= \frac{n x^{n-1}\left(x^{-n}+b\right)-(-n) x^{-n-1}\left(x^{n}+a\right)}{\left(x^{-n}+b\right)^{2}} \\ &= \frac{n x^{-1}+n b x^{n-1}+n x^{-1}+a n x^{-n-1}}{\left(x^{-n}+b\right)^{2}} \\ &= \frac{a n x^{-n-1}+b n x^{n-1}+2 n x^{-1}}{\left(x^{-n}+b\right)^{2}} \end{align}\]

 

Exercice 6.11. La température \(T\) du filament d'une lampe à incandescence est reliée au courant traversant la lampe par la relation \[C = a + b T + c T^2.\] Trouvez une expression donnant la variation du courant correspondant à une variation de température.

 

Réponse

\(b + 2 c T\).

 

 

Solution

 

\[\begin{align} C&=a+b T+c T^{2} \\ \frac{d C}{d T}&=b+2 c T \end{align}\]

 

Exercice 6.12. Les formules suivantes ont été proposées pour exprimer la relation entre la résistance électrique \(R\) d'un fil à la température \(T\) mesurée en \(^\circ\)C., et la résistance \(R_0\) de ce même fil à \(0\) degrés Celsius, \(a\), \(b\), \(c\) étant des constantes. \[\begin{align} R &= R_0\left(1 + a T + bT^2\right). \\ R &= R_0\left(1 + a T + b\sqrt{T}\right). \\ R &= R_0\left(1 + a T + bT^2\right)^{-1}. \end{align}\] Trouvez le taux de variation de la résistance par rapport à la température donné par chacune de ces formules.

 

Réponse

\(R_0(a + 2 b T)\),\(R_0 \left(a + \dfrac{b}{2\sqrt{T}}\right)\), \(-\dfrac{R_0(a + 2bT)}{(1 + a T + b T^2)^2}\)ou\(\dfrac{R^2 (a + 2 b T)}{R_0}\).

 

 

Solution

Si \(R = R_0\left(1 + a T + bT^2\right)\): \[\begin{align} \frac{d R}{d T}&=\frac{d\left\{R_{0}\left(1+a T+b T^{2}\right)\right\}}{d T}\\ &=R_0\ \frac{d\left(1+a T+b T^{2}\right)}{d T}\\ &=R_{0}\,(a+2 b T) \end{align}\]

 

Si \(R=R_0\left(1 + a T + b\sqrt{T}\right)\)

\[\begin{align} \frac{d R}{d T}&=\frac{d\left\{R_{0}\left(1+a T+b T^{\frac{1}{2}}\right)\right\}}{d T}\\ &= R_0 \frac{d\left(1+a T+b T^{\frac{1}{2}}\right)}{d T}\\ &=R_{0}\left(a+\frac{b}{2} T^{-\frac{1}{2}}\right)\\ &=R_{0}\left(a+\frac{b}{2 \sqrt{T}}\right) \end{align}\]

Si \(R=R_0\left(1 + a T + bT^2\right)^{-1}\) \[\begin{align} \frac{d R}{d T}&=\frac{d}{d T}\left(\frac{R_{0}}{1+a T+b T^{2}}\right)\\ &=R_{0} \frac{-(a+2 b T)}{\left(1+a T+b T^{2}\right)^{2}} \end{align}\]

Étant donné que \(R=\dfrac{R_{0}}{\left(1+a T+b T^{2}\right)}\), le résultat peut également être écrit comme

\[\frac{d R}{d T}=-\frac{R^{2}(a+2 b T)}{R_{0}}\]

 

 

Exercice 6.13. La force électromotrice \(E\) d'un certain type de pile standard a été trouvée comme variant avec la température \(T\) selon la relation \[E = 1.4340 \bigl[1 - 0.000814(T-15)+ 0.000007(T-15)^2\bigr] \text{ volts}.\] Trouvez la variation de la force électromotrice par degré, à \(15\,^\circ\)C, \(20\ ^\circ\)C et \(25\,^\circ\)C.

 

Réponse

\(1.4340(0.000014 T - 0.001024)\),\(-0.00117\),\(-0.00107\),\(-0.00097\).

 

 

Solution

 

\[E=1.4340\left[1-0.000814(T-15)+0.000007(T-15)^{2}\right]\] ou \[E=1.4340\left[-0.000814 T+0.01221+0.000007\left(T^{2}-30 T+225\right)\right]\] Donc

\[\begin{align} & \frac{d E}{d T}=1.4340[-0.000814-0.00021+0.000014 T] \\ & =1.4340[-0.001024+0.000014 T] \end{align}\]

Quand \(T=15\),

\[\frac{d E}{d T}=-0.001167\]

Quand \(T=20\),

\[\frac{d E}{d T}=-0.001067\]

Quand \(T=25\),

\[\frac{d E}{d T}=-0.000967\]

 

Exercice 6.14. La force électromotrice nécessaire pour maintenir un arc électrique de longueur \(l\) avec un courant d'intensité \(i\) a été trouvée par Mme Ayrton pour être \[E = a + bl + \frac{c + kl}{i},\] où \(a\), \(b\), \(c\), \(k\) sont des constantes.

Trouvez une expression pour la variation de la force électromotrice (a) par rapport à la longueur de l'arc; (b) par rapport à l'intensité du courant.

 

Réponse

\(\dfrac{dE}{dl} = b + \dfrac{k}{i}\),\(\dfrac{dE}{di} = -\dfrac{c + kl}{i^2}\).

 

 

Solution

\[E =a+b l+\frac{c+k l}{i}\] La variation de la force électromotrice par rapport à la longueur de l'arc: \[\frac{d E}{d l} =b+\frac{k}{i}\]

 

Pour trouver la variation de la force électromotrice par rapport à l'intensité du courant ou \(\dfrac{d E}{d i}\), nous réécrivons \(E\) comme \[E=a+b l+(c+k l) i^{-1}.\] Ensuite \[\begin{align} \frac{d E}{d i} & =-(c+k l) i^{-2} \\ & =-\frac{c+k l}{i^{2}} \end{align}\]

 

 

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