Reglas De Suma, Diferencia, Producto Y Cociente

Ejemplo 6.1. Si ahora tomamos el ejemplo del párrafo anterior, y ponemos los valores de las dos funciones, tendremos, usando la notación muestra \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{d(x^2+c)}{dx} + \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\ &= 2x + 4ax^3, \end{align} exactamente como antes.

Ejemplo 6.2. Queremos diferenciar el producto $$(x^2+c)\times (a{x}^4+b).$$

Llámese $(x^2+c)=u$; y $(a{x}^4+b)=v$.

Entonces, por la regla general recién establecida, podemos escribir: \begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= (x^2 + c)\, \frac{d(ax^4 + b)}{dx} &&+ (ax^4 + b)\, \frac{d(x^2 + c)}{dx} \\ &= (x^2 + c)\, 4ax^3 &&+ (ax^4 + b)\, 2x \\ &= 4ax^5 + 4acx^3 &&+ 2ax^5 + 2bx, \end{align} $$\frac{dy}{dx}=6a{x}^5+4ac{x}^3+2bx,$$

exactamente como antes.

Ejemplo 6.3. Volviendo a nuestro ejemplo $y={\displaystyle \frac{b{x}^5+c}{x^2+a}}$,

escribamos $$b{x}^5+c=u;$$ y $$x^2+a=v.$$

Entonces \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + a)\, \dfrac{d(bx^5 + c)}{dx} - (bx^5 + c)\, \dfrac{d(x^2 + a)}{dx}}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{(x^2 + a)(5bx^4) - (bx^5 + c)(2x)}{(x^2 + a)^2}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3bx^6 + 5abx^4 - 2cx}{(x^2 + a)^2}.\quad {(\text{Respuesta}.)} \end{align}

Ejemplo 6.4. Diferenciar $y={\displaystyle \frac{a}{b^2}}{x}^3-{\displaystyle \frac{a^2}{b}}x+{\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}$.

Solución. Al ser una constante, ${\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}$ se desvanece, y tenemos $$\frac{dy}{dx}=\frac{a}{b^2}\times 3\times x^{3-1}-\frac{a^2}{b}\times 1\times x^{1-1}.$$

Pero $x^{1-1}=x^0=1$; así que obtenemos: $$\frac{dy}{dx}=\frac{3a}{b^2}{x}^2-\frac{a^2}{b}.$$

Ejemplo 6.5. Diferenciar $y=2a\sqrt{b{x}^3}-{\displaystyle \frac{3b\sqrt[3]{a}}{x}}-2\sqrt{ab}$.

Solución. Poniendo $x$ en forma de índice, obtenemos $$y=2a\sqrt{b}{x}^{\frac{3}{2}}-3b\sqrt[3]{a}{x}^{-1}-2\sqrt{ab}.$$

Ahora $$\frac{dy}{dx}=2a\sqrt{b}\times \frac{3}{2}\times x^{\frac{3}{2}-1}-3b\sqrt[3]{a}\times (-1)\times x^{-1-1};$$ o, $$\frac{dy}{dx}=3a\sqrt{bx}+\frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}.$$

Ejemplo 6.6. Diferenciar $z=1.8\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{{\theta }^2}}}-{\displaystyle \frac{4.4}{\sqrt[5]{\theta }}}-27$.

Solución. Esto se puede escribir: $z=1.8{\theta }^{-\frac{2}{3}}-4.4{\theta }^{-\frac{1}{5}}-27$.

El $27$ desaparece, y tenemos $$\frac{dz}{d\theta }=1.8\times -\frac{2}{3}\times {\theta }^{-\frac{2}{3}-1}-4.4\times (-\frac{1}{5}){\theta }^{-\frac{1}{5}-1};$$ o, $$\frac{dz}{d\theta }=-1.2{\theta }^{-\frac{5}{3}}+0.88{\theta }^{-\frac{6}{5}};$$ o, $$\frac{dz}{d\theta }=\frac{0.88}{\sqrt[5]{{\theta }^6}}-\frac{1.2}{\sqrt[3]{{\theta }^5}}.$$

Ejemplo 6.7. Diferenciar $v=(3t^2-1.2t+1{)}^3$.

Solución. Se explicará una forma directa de hacer esto más adelante; pero podemos manejarlo ahora sin ninguna dificultad.

Desarrollando el cubo, obtenemos $$v=27t^6-32.4t^5+39.96t^4-23.328t^3+13.32t^2-3.6t+1;$$ por lo tanto $$\frac{dv}{dt}=162t^5-162t^4+159.84t^3-69.984t^2+26.64t-3.6.$$

Ejemplo 6.8. Diferenciar $y=(2x-3)(x+1{)}^2$.

Solución. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= (2x - 3)\, \frac{d\bigl[(x + 1)(x + 1)\bigr]}{dx}+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= (2x - 3) \left[(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}+(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right] + (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= 2(x + 1)\bigl[(2x - 3) + (x + 1)\bigr]\\ & = 2(x + 1)(3x - 2); \end{align} o, más simplemente, multiplica y luego diferencia.

Ejemplo 6.9. Diferenciar $y=0.5x^3(x-3)$.

Solución. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= 0.5\left[x^3 \frac{d(x-3)}{dx} + (x-3) \frac{d(x^3)}{dx}\right] \\ &= 0.5\left[x^3 + (x-3) \times 3x^2\right] = 2x^3 - 4.5x^2. \end{align}

Mismas observaciones que en el ejemplo anterior.

Ejemplo 6.10. Diferenciar $w=(\theta +{\displaystyle \frac{1}{\theta }})(\sqrt{\theta }+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\theta }}})$.

Solución. Esto se puede escribir $$w=(\theta +{\theta }^{-1})({\theta }^{\frac{1}{2}}+{\theta }^{-\frac{1}{2}}).$$ \begin{align} \frac{dw}{d\theta} &= (\theta + \theta^{-1}) \frac{d(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})}{d\theta} + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}) \frac{d(\theta+\theta^{-1})}{d\theta} \\ &= (\theta + \theta^{-1})(\tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{1}{2}} - \tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{3}{2}}) + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})(1 - \theta^{-2}) \\ &= \tfrac{1}{2}(\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) + (\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) \\&= \tfrac{3}{2} \left(\sqrt{\theta} - \frac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) + \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{\theta}} - \frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \end{align}

Esto, nuevamente, podría obtenerse más fácilmente multiplicando primero los dos factores, y diferenciando después. Sin embargo, esto no siempre es posible; véase, por ejemplo, el Ejemplo 15.8, en el que la regla para diferenciar un producto debe ser utilizada.

Ejemplo 6.11. Diferenciar $y={\displaystyle \frac{a}{1+a\sqrt{x}+a^{2}x}}$.

Solución. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x) \times 0 - a\dfrac{d(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)}{dx}} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2} \\ &= - \frac{a(\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}} + a^2)} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2}. \end{align}

Ejemplo 6.12. Diferenciar $y={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}$.

Solución. $$\frac{dy}{dx}=\frac{(x^2+1)2x-x^2\times 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}.$$

Ejemplo 6.13. Diferenciar $y={\displaystyle \frac{a+\sqrt{x}}{a-\sqrt{x}}}$.

Solución. En la forma indexada, $y={\displaystyle \frac{a+x^{\frac{1}{2}}}{a-x^{\frac{1}{2}}}}$. $$\frac{dy}{dx}=\frac{(a-x^{\frac{1}{2}})(\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}})-(a+x^{\frac{1}{2}})(-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}})}{(a-x^{\frac{1}{2}}{)}^2}=\frac{a-x^{\frac{1}{2}}+a+x^{\frac{1}{2}}}{2(a-x^{\frac{1}{2}}{)}^2{x}^{\frac{1}{2}}};$$ por lo tanto $$\frac{dy}{dx}=\frac{a}{(a-\sqrt{x}{)}^2\sqrt{x}}.$$

Ejemplo 6.14. Diferenciar $$\theta =\frac{1-a\sqrt[3]{t^2}}{1+a\sqrt[2]{t^3}}.$$

Solución. Ahora \begin{align} \theta &= \frac{1 - at^{\frac{2}{3}}}{1 + at^{\frac{3}{2}}}. \\[9pt] \frac{d\theta}{dt} &= \frac{(1 + at^{\frac{3}{2}}) (-\tfrac{2}{3} at^{-\frac{1}{3}}) - (1 - at^{\frac{2}{3}}) \times \tfrac{3}{2} at^{\frac{1}{2}}} {(1 + at^{\frac{3}{2}})^2} \\ &= \frac{5a^2 \sqrt[6]{t^7} - \dfrac{4a}{\sqrt[3]{t}} - 9a \sqrt[2]{t}} {6(1 + a \sqrt[2]{{t^3}})^2}. \end{align}

Ejemplo 6.15. Un depósito de sección transversal cuadrada tiene lados inclinados a un ángulo de ${45}^{\circ }$ con la vertical. El lado del fondo es $200$ pies. Encuentra una expresión para la cantidad que entra o sale cuando la profundidad de agua varía en $1$ pie; por lo tanto encuentra, en galones, la cantidad retirada por hora cuando la profundidad se reduce de $14$ a $10$ pies en $24$ horas.

El volumen de un tronco de pirámide (véase la figura siguiente) de altura $H$, y de bases $A$ y $a$, es $V={\displaystyle \frac{H}{3}}(A+a+\sqrt{Aa})$.

Solución. Se ve fácilmente que, siendo la pendiente de ${45}^{\circ }$, si la profundidad es $h$, la longitud del lado de la superficie cuadrada del agua es $200+2h$ pies (véase la figura siguiente), de modo que el volumen de agua es $$\frac{h}{3}[{200}^2+(200+2h{)}^2+200(200+2h)]=40,000h+400h^2+\frac{4h^3}{3}.$$

${\displaystyle \frac{dV}{dh}}=40,000+800h+4h^2=$ pies cúbicos por pie de variación de profundidad. El nivel promedio desde $14$ hasta $10$ pies es $12$ pies, cuando $h=12$, ${\displaystyle \frac{dV}{dh}}=50,176$ pies cúbicos.

Galones por hora correspondientes a un cambio de profundidad de $4$ ft en $24$ horas $={\displaystyle \frac{4\times 50,176\times 6.25}{24}}=52,267$ galones.

Ejemplo 6.16. La presión absoluta, en atmósferas, $P$, del vapor saturado a la temperatura $T$ medida en Centígrados es dada por Dulong como $P={\left({\displaystyle \frac{40+T}{140}}\right)}^5$ mientras que $T$ esté por encima de $80{}^{\circ }$C. Encuentra la tasa de variación de la presión con la temperatura a $100{}^{\circ }$C.

Solución. Expande el numerador usando el teorema binomial (ver el apéndice). $$P=\frac{1}{{140}^5}({40}^5+5\times {40}^{4}T+10\times {40}^3{T}^2+10\times {40}^2{T}^3+5\times 40T^4+T^5);$$

por lo tanto \begin{align} \dfrac{dP}{dT} = &\dfrac{1}{537,824 \times 10^5}\left(5 \times 40^4 + 20 \times 40^3 T + 30 \times 40^2 T^2 + 20 \times 40 T^3 + 5 T^4\right), \end{align} cuando $T=100$ esto se convierte en $0.036$ atmósfera por grado cambio de temperatura.