la dérivée

Tout au long du calcul nous traitons des quantités qui augmentent, et des taux de croissance. Nous classons toutes les quantités en deux catégories : constantes et variables. Celles que nous considérons comme ayant une valeur fixe, et que nous appelons constantes, nous les désignons généralement algébriquement par des lettres du début de l'alphabet, telles que \(a\), \(b\), ou \(c\) ; tandis que celles que nous considérons comme pouvant croître, ou (comme disent les mathématiciens) « varier », nous les désignons par des lettres de la fin de l'alphabet, telles que \(x\), \(y\), \(z\), \(u\), \(v\), \(w\), ou parfois \(t\).

De plus, nous traitons généralement de plus d'une variable à la fois et réfléchissons à la façon dont une variable dépend de l'autre : par exemple, nous pensons à la manière dont la hauteur atteinte par un projectile dépend du temps nécessaire pour atteindre cette hauteur. Ou on nous demande de considérer un rectangle de surface donnée, et de savoir comment toute augmentation de sa longueur obligera une diminution correspondante de sa largeur. Ou nous réfléchissons à la façon dont toute variation de l'inclinaison d'une échelle fera varier la hauteur qu'elle atteint.

Supposons que nous ayons deux telles variables qui dépendent l'une de l'autre. Une modification de l'une entraînera une modification de l'autre, en raison de cette dépendance. Appelons une des variables \(x\), et l'autre qui en dépend \(y\).

Supposons que nous faisions varier \(x\), c'est-à-dire que nous la modifions ou que nous imaginions qu'elle soit modifiée, en lui ajoutant un morceau que nous appelons \(dx\). Nous faisons ainsi en sorte que \(x\) devienne \(x + dx\). Ensuite, parce que \(x\) a été modifié, \(y\) sera également modifié, et deviendra \(y + dy\). Ici, le morceau \(dy\) peut être positif dans certains cas, dans d'autres négatif ; et il ne sera (sauf miracle) pas de la même taille que \(dx\).

Prendre deux exemples

Exemple 3.1. Soit \(x\) et \(y\) respectivement la base et la hauteur d'un triangle rectangle (la figure suivante), dont la pente de l'autre côté est fixée à \(30^\circ\). Si nous supposons que ce triangle se dilate et garde néanmoins ses angles identiques à ceux de départ, alors, lorsque la base augmente pour devenir \(x + dx\), la hauteur devient \(y + dy\). Ici, augmenter \(x\) entraîne une augmentation de \(y\). Le petit triangle, dont la hauteur est \(dy\) et dont la base est \(dx\), est similaire au triangle original ; et il est évident que la valeur du rapport \(\dfrac{dy}{dx}\) est la même que celle du rapport \(\dfrac{y}{x}\). Comme l'angle est \(30^\circ\), on verra ici que \[\frac{dy}{dx} =\tan 30^\circ\approx \frac{1}{1.73}.\]

Fig. 3.1

Exemple 3.2. Soit \(x\) qui représente, dans la figure suivante, la distance horizontale, depuis un mur, de l'extrémité inférieure d'une échelle, \(AB\), de longueur fixe ; et soit \(y\) la hauteur qu'elle atteint sur le mur. Maintenant \(y\) dépend clairement de \(x\). Il est facile de voir que, si nous éloignons un peu plus l'extrémité inférieure \(A\) du mur, l'extrémité supérieure \(B\) descendra un peu plus bas. Exprimons cela en langage scientifique. Si nous augmentons \(x\) à \(x + dx\), alors \(y\) deviendra \(y + dy\). Si \(dx>0\) alors \(dy<0\) ; c'est-à-dire que, lorsque \(x\) reçoit une augmentation positive, l'augmentation qui en résulte pour \(y\) est négative.

Fig. 3.2

Oui, mais combien? Supposons que l'échelle soit si longue que lorsque l'extrémité inférieure \(A\) se trouve à \(19\) pouces du mur, l'extrémité supérieure \(B\) atteigne juste \(15\) pieds du sol. Maintenant, si vous deviez éloigner l'extrémité inférieure de \(1\) pouce de plus, de combien l'extrémité supérieure descendrait-elle ? Traduisons tout cela en pouces : \(x = 19\) pouces, \(y = 180\) pouces. Maintenant l'augmentation de \(x\) que nous appelons \(dx\), est \(1\) pouce: ou \(x + dx = 20\) pouces.

De combien sera réduite \(y\) ? La nouvelle hauteur sera \(y + dy\). Si nous calculons la hauteur par le théorème de Pythagore,¹ nous pourrons alors déterminer combien \(dy\) sera. La longueur de l'échelle est \[\sqrt{ (180)^2 + (19)^2 } = 181 \text{ pouces}.\] Clairement donc, la nouvelle hauteur, qui est \(y + dy\), sera telle que \[\begin{align} (y + dy)^2 &= (181)^2 - (20)^2 = 32761 - 400 = 32361, \\ y + dy &= \sqrt{32361} \approx 179.89 \text{ pouces}. \end{align}\] Maintenant \(y\) est \(180\), de sorte que \(dy\) est approximativement \(179.89-180 = -0.11\) pouces.

Nous voyons donc qu'une augmentation de \(dx\) de \(1\) pouce a entraîné une diminution de \(dy\) de approximativement \(0.11\) pouces.

Et le rapport de \(dy\) à \(dx\) peut être exprimé ainsi: \[\frac{dy}{dx} \approx - \frac{0.11}{1}.\]

Il est également facile de voir que (sauf dans une position particulière) \(dy\) aura une taille différente de \(dx\).

Maintenant à travers tout le calcul différentiel nous cherchons, cherchons, cherchons une chose curieuse, un simple rapport, à savoir la proportion que \(dy\) a par rapport à \(dx\) quand tous les deux sont infiniment petits.

Il convient de noter ici que nous ne pouvons trouver ce rapport \(\dfrac{dy}{dx}\) que lorsque \(y\) et \(x\) sont liés d'une manière ou d'une autre, de sorte que chaque fois que \(x\) varie, \(y\) varie également. Par exemple, dans le premier exemple ci-dessus, si la base \(x\) du triangle est allongée, la hauteur \(y\) du triangle augmente également, et dans le second exemple, si la distance \(x\) du pied de l'échelle au mur est augmentée, la hauteur \(y\) atteinte par l'échelle diminue de manière correspondante, lentement au début, mais de plus en plus rapidement à mesure que \(x\) devient plus grande. Dans ces cas, la relation entre \(x\) et \(y\) est parfaitement définie, elle peut être exprimée mathématiquement, étant \(\dfrac{y}{x} = \tan 30^\circ\) et \(x^2 + y^2 = l^2\) (où \(l\) est la longueur de l'échelle) respectivement, et \(\dfrac{dy}{dx}\) a le sens que nous avons trouvé dans chaque cas.

Si, tandis que \(x\) est, comme avant, la distance du pied de l'échelle au mur, \(y\) est, au lieu de la hauteur atteinte, la longueur horizontale du mur, ou le nombre de briques qu'il contient, ou le nombre d'années depuis sa construction, toute modification de \(x\) ne provoquerait naturellement aucun changement en \(y\) ; dans ce cas \(\dfrac{dy}{dx}\) n'a aucun sens et il n'est pas possible de trouver une expression pour cela. Chaque fois que nous utilisons des différentiels \(dx\), \(dy\), \(dz\), etc., l'existence d'une certaine relation entre \(x\), \(y\), \(z\), etc., est sous-entendue, et cette relation est appelée « fonction » en \(x\), \(y\), \(z\), etc. ; les deux expressions données ci-dessus, par exemple, à savoir \(\dfrac{y}{x} = \tan 30^\circ\) et \(x^2 + y^2 = l^2\), sont des fonctions de \(x\) et \(y\). De telles expressions contiennent implicitement (c'est-à-dire contiennent sans le montrer distinctement) les moyens d'exprimer soit \(x\) en termes de \(y\) soit \(y\) en termes de \(x\), et pour cette raison elles sont appelées fonctions implicites en \(x\) et \(y\); elles peuvent être respectivement mises dans les formes \[y = x \tan 30^\circ \quad\text{ou}\quad x = \frac{y}{\tan 30^\circ}\] et \[y = \sqrt{ l^2 - x^2} \quad\text{ou}\quad x = \sqrt{ l^2 - y^2}.\]

Ces dernières expressions énoncent explicitement (c'est-à-dire distinctement) la valeur de \(x\) en termes de \(y\), ou de \(y\) en termes de \(x\), et pour cette raison, elles sont appelées fonctions explicites de \(x\) ou \(y\). Par exemple \(x^2 + 3 = 2y - 7\) est une fonction implicite en \(x\) et \(y\); elle peut être écrite \(y = \dfrac{x^2 + 10}{2}\) (fonction explicite de \(x\)) ou \(x = \sqrt{2y - 10}\) (fonction explicite de \(y\)).² Nous voyons que une fonction explicite en \(x\), \(y\), \(z\), etc., est simplement quelque chose dont la valeur change lorsque \(x\), \(y\), \(z\), etc., changent, soit un à la fois soit plusieurs ensemble. Pour cette raison, la valeur de la fonction explicite est appelée la variable dépendante, car elle dépend de la valeur des autres quantités variables dans la fonction ; ces autres variables sont appelées les variables indépendantes parce que leur valeur n'est pas déterminée par la valeur supposée par la fonction. Par exemple, si \(u = x^2 \sin \theta\), \(x\) et \(\theta\) sont les variables indépendantes, et \(u\) est la variable dépendante.

Parfois, la relation exacte entre plusieurs quantités \(x\), \(y\), \(z\) n'est pas connue ou il n'est pas commode de l'exposer ; il est seulement connu, ou commode de l'exposer, qu'il y a une sorte de relation entre ces variables, de sorte qu'il est impossible de modifier \(x\) ou \(y\) ou \(z\) ve seule sans affecter les autres quantités ; l'existence d'une fonction en \(x\), \(y\), \(z\) est alors indiquée par la notation \(F(x, y, z)\) (fonction implicite) ou par \(x = F(y, z)\), \(y = F(x, z)\) ou \(z = F(x, y)\) (fonction explicite). Parfois la lettre \(f\) ou \(\phi\) est utilisée au lieu de \(F\), de sorte que \(y = F(x)\), \(y = f(x)\) et \(y = \phi(x)\) signifient tous la même chose, à savoir, que la valeur de \(y\) dépend de la valeur de \(x\) d'une manière qui n'est pas indiquée.

Nous appelons le rapport \(\dfrac{dy}{dx}\) « la dérivée de \(\boldsymbol{y}\) par rapport à \(\boldsymbol{x}\). » C'est un nom scientifique solennel pour cette chose très simple. Mais nous ne serons pas effrayés par des noms solennels, alors que les choses elles-mêmes sont si faciles. Au lieu d'être effrayés, nous prononcerons simplement une courte malédiction sur la stupidité de donner de longs noms difficiles à prononcer ; et, ayant soulagé nos esprits, nous passerons à la chose simple elle-même, à savoir le rapport \(\dfrac{dy}{dx}\).

En algèbre ordinaire que vous avez appris à l'école, vous étiez toujours à la recherche de quelque quantité inconnue que vous appeliez \(x\) ou \(y\) ; ou parfois il y avait deux quantités inconnues à rechercher simultanément. Vous devez maintenant apprendre à aller à la chasse d'une nouvelle manière ; le renard étant maintenant ni \(x\) ni \(y\). Au lieu de cela, vous devez rechercher ce curieux renardeau appelé \(\dfrac{dy}{dx}\). Le processus de détermination de la valeur de \(\dfrac{dy}{dx}\) est appelé « différenciation ». Mais, souvenez-vous, ce qui est recherché, c'est la valeur de ce rapport lorsque \(dy\) et \(dx\) sont eux-mêmes infiniment petits. La vraie valeur de la dérivée est celle à laquelle elle s'approche dans le cas limite où chacun d'eux est considéré comme infinitésimalement minuscule.

Apprenons maintenant comment rechercher \(\dfrac{dy}{dx}\).

Comment Lire les Dérivées

Il ne faut jamais tomber dans l'erreur de débutant de penser que \(dx\) signifie \(d\) fois \(x\), car \(d\) n'est pas un facteur–cela signifie « un élément de » ou « un morceau de » ce qui suit. On lit \(dx\) ainsi : « di-ix ».

Au cas où le lecteur n'aurait personne pour le guider ou la guider en ce qui concerne ces sujets, il peut être simplement dit ici que l'on lit les dérivées de la manière suivante. La dérivée

\(\dfrac{dy}{dx}\) est lue « di-iyi par di-ix, » ou « di-iyi sur di-ix. »

\(\dfrac{du}{dt}\) est lue « di-ou par di-té. »

La seconde dérivée sera rencontrée plus tard. Elles sont comme ceci:

\(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\); qui se lit « di-deux-yi sur di-ix-carré, »

et cela signifie que l'opération consistant à différencier \(y\) par rapport à \(x\) a été (ou doit être) effectuée deux fois.

Une autre manière d'indiquer qu'une fonction a été différenciée est de mettre un accent au symbole de la fonction. Ainsi si \(y=F(x)\), ce qui signifie que \(y\) est une fonction non spécifiée de \(x\), on peut écrire \(F^\prime(x)\) au lieu de \(\dfrac{d\bigl(F(x)\bigr)}{dx}\). De même, \(F^{\prime\prime}(x)\) signifiera que la fonction originale \(F(x)\) a été différenciée deux fois par rapport à \(x\).

Le théorème de Pythagore énonce que dans un triangle rectangle le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.↩︎
Ici nous avons supposé que \(x\) est positif. Cependant, si nous avons donné que \(x\) est négatif, nous devons l'exprimer comme \(x=-\sqrt{2y-10}\).↩︎